2022届高考数学二轮专题测练-计数（Word含答案解析）.docx

2022届高考数学二轮专题测练-计数 一、选择题（共20小题；共100分）1. 广东省实施“3+1+2”的新高考改革模式，“3”指全国统一高考的语文、数学、外语，“1”指物理 、历史 2 门中选择 1 门，“2”指思想政治、地理、化学、生物 4 门中选择 2 门已知甲选择物理，乙选择地理，则甲乙两人有 不同的选择组合方案A. 12 种B. 18 种C. 36 种D. 48 种 2. 某班有男生 26 人，女生 24 人，从中选位同学为数学课代表，则不同选法的种数有 A. 50B. 26C. 24D. 616 3. 如图，要给、四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同涂色方法种数为 A. 180B. 160C. 96D. 60 4. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数 19 的一种方法例如：3 可表示为“”，26 可表示为“=”现有 6 根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用 19 这 9 数字表示两位数的个数为 A. 13B. 14C. 15D. 16 5. 李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的 7 天假期中，到“东亚文化之都 泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有 A. 16 种B. 18 种C. 20 种D. 24 种 6. C30+C31+C32+C33= A. 5B. 6C. 7D. 8 7. 把 6 本不同的书借给甲、乙、丙 3 人，每人 2 本，不同的借书方法有 A. 15 种B. 90 种C. 270 种D. 540 种 8. 安排A，B，C，D，E，F六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人考虑到义工与老人住处距离问题，义工A不安排照顾老人甲，义工B不安排照顾老人乙，安排方法共有 A. 30 种B. 40 种C. 42 种D. 48 种 9. 设 m 为正整数，x+y2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，x+y2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b若 13a=7b，则 m 等于 A. 5B. 6C. 7D. 8 10. 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2，且 a2>a3，则称这样的三位数为凸数（如 120，343，275 等），那么所有凸数的个数为 A. 240B. 204C. 729D. 920 11. 下列关于二项式定理及二项式系数的性质的说法中，正确的有 （1）a+bn=Cn0an+Cn1an1b+Cnranrbr+CnnbnnN+（2）1+xn=1+Cn1x+Cnrxr+Cnn1xn1+xnnN+（3）二项展开式的通项公式：Tr+1=CnranrbrnN+,0rn（4）由于 Cnk=nn1n2nk+1k!=Cnk1nk+1k，所以 Cnk 相对于 Cnk1 的增减情况由 nk+1k 决定，nk+1k>1>k<n+12，当 k<n+12 时，二式项的式系的系数数逐逐渐渐增增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值当 n 是偶数时，中间一项 Cnn2 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项 Cnn12，Cnn+12 取得最大值（5）2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnr+Cnn（6）对二项式 ax+bn，记 fx=ax+bn，则展开后，各项系数和为 f1；各项的二项式系数之和为 Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n；奇数项的系数和为 12f1f1；偶数项的系数和为去 f1+f1A. 3 个B. 4 个C. 5 个D. 6 个 12. 5 名男运动员和 4 名女运动员进行乒乓球混合双打比赛，则不同的对阵方法数为 A. A94B. A52A42C. C52A42D. C52C42 13. 现有 5 人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有 A. 12 种B. 24 种C. 36 种D. 48 种 14. 在二项式 12xn 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 128，则展开式的中间项的系数为 A. 960B. 960C. 1120D. 1680 15. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 36B. 24C. 72D. 144 16. 若 x6+1xxn 的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于 A. 3B. 4C. 5D. 6 17. 若从 1，2，3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有 A. 60 种B. 63 种C. 65 种D. 66 种 18. 某单位安排 7 位员工在10月1日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 A. 504 种B. 960 种C. 1008 种D. 1108 种 19. 山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为A. 12B. 24C. 36D. 48 20. 已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为A. 12B. 24C. 36D. 48 二、填空题（共5小题；共25分）21. 若 x5=a0x+15+a1x+14+a2a+13+a3x+12+a4x+1+a5，则 a3=  （用数值表示） 22. 某公司招聘 5 名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中 2 名英语翻译人员不能分给同一部门，另 3 名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是   23. 若给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有  种 24. 由数字 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位数，偶数共有  个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有  个 25. 数字 1，2，3，4，5，6 按如图形式随机排列，设第一行的数为 N1，其中 N2，N3 分别表示第二、三行中的最大数，则满足 N1<N2<N3 的所有排列的个数是   三、解答题（共5小题；共65分）26. 用 0，1，2，3，4，5 这六个数字可以组成多少个没有重复数字且小于 1000 的正整数? 27. 有一项活动需在 3 名老师，6 名男同学和 8 名女同学中选人参加（1）若只需一人参加，有多少种不同选法?（2）若需一名老师、一名学生参加，有多少种不同选法?（3）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法? 28. 如果二次函数 y=ax2+bx+c 的系数 a，b，c 是集合 3,2,1,0,1,2,3,4 中 3 个不同的数，那么可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条? 29. 同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，求 4 张贺年卡不同的分配方式有多少种? 30. 已知集合 M=3,2,1,0,1,2，若 a,b,cM，则：（1）y=ax2+bx+c 可以表示多少个不同的二次函数?其中偶函数有多少个?（2）y=ax2+bx+c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数?答案第一部分1. C【解析】甲的选科方案有 C42=6 种，乙的选科方案有 C21C31=6 种，两人的选择组合方案有 6×6=36 种2. A【解析】根据分类加法计数原理，因数学课代表可为男生，也可为女生，因此选法共有 26+24=50（种）3. A4. D【解析】根据题意，现有 6 根算筹，可以表示的数字组合为 1 、 5，1 、 9，2 、 4，2 、 8，6 、 4，6 、 8，3 、 3，3 、 7，7 、 7；数字组合 1 、 5，1 、 9，2 、 4，2 、 8，6 、 4，6 、 8，3 、 7 中，每组可以表示 2 个两位数，则可以表示 2×7=14 个两位数；数字组合 3 、 3，7 、 7，每组可以表示 2 个两位数，则可以表示 2×2=4 个两位数；则一共可以表示 12+4=16 个两位数5. C【解析】任意相邻两天组合一起，一共有 6 种情况，如，若李雷选或，则韩梅梅有 4 种选择，若李雷选或或或，则韩梅梅有 3 种选择，故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有 2×4+4×3=20（种）6. D7. B8. C【解析】当A照顾老人乙时，共有 C41C42C22=24 种不同方法；当A不照顾老人乙时，共有 C42C32C22=18 种不同方法所以安排方法有 24+18=42 种9. B【解析】x+2y2m 展开式的二项式系数的最大值是 C2mm，即 a=C2mm； x+2y2m+1 展开式的二项式系数的最大值是 C2m+1m，即 b=C2m+1m因为 13a=7b，所以 13C2mm=7C2m+1m，所以 13×2m!m!m!=7×2m+1!m+1!m!，易得 m=610. A【解析】若 a2=2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2 个若 a2=3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 2×3=6（个）若 a2=4，满足条件的“凸数”有 3×4=12（个）， ，若 a2=9，满足条件的“凸数”有 8×9=72（个）所以所有凸数有 2+6+12+20+30+42+56+72=240（个）11. D12. C13. B【解析】先把甲乙捆绑在一起看做一个元素，再和戊全排，形成 3 个空，然后插入丙、丁，故排法有 A22A22A32=24 种14. C【解析】根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为 128，所以在 12xn 的展开式中，二项式系数之和为 256，即 2n=256，n=8，则 12x8 的展开式的中间项为第 5 项，且 T5=C8424x4=1120x4，即展开式的中间项的系数为 112015. C【解析】根据题意，把 3 位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到 2 位男生全排列后形成的 3 个空中的 2 个空中，故有 A32A22A32=72 种16. C【解析】x6+1xxn 的展开式的项为 Tr+1=Cnrx6nr 1xxr=Cnrx6n152r，由 6n152r=0 得，n=54r，又 n 为正整数，所以当 r=4 时，n 的最小值为 517. D【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得 4 个偶数时，有 C44=1 种结果，当取得 4 个奇数时，有 C54=5 种结果，当取得 2 奇 2 偶时有 C42C52=6×10=60 ， 所以共有 1+5+60=66 种结果，18. C【解析】甲乙排 1 、 2 号或 6 、 7 号，共有 2A22A41A44 种方法；甲乙排中间，丙排 7 号或不排 7 号，共有 4A22A44+A31A31A33 种方法综上，共有 2A22A41A44+4A22A44+A31A31A33=1008 种不同的安排方案19. B【解析】【分析】先从不含A，B型号的3中不同型号中选2中试种在两端，再把AB捆绑在一起和剩下一种全排列试种在不含两端的三块实验田，根据分步计数原理可得 【解析】解：先从不含A，B型号的3中不同型号中选2中试种在两端，再把AB捆绑在一起和剩下一种全排列试种在不含两端的三块实验田，故有A32A22A22=24种，故选：B 【点评】本题考查计数原理的应用，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题20. D【解析】【分析】根据题意，如图的三棱锥中，设6条棱为1、2、3、4、5、6，分析可得1、4，2、6，3、5不能分到同一组，分2步进行分析：，将6种化工产品分成3组，其中1、4，2、6，3、5不能分到同一组，将分好的三组全排列，对应3个仓库，由分步计数原理计算可得答案 【解析】解：根据题意，如图的三棱锥中，设6条棱为1、2、3、4、5、6，分析可得1、4，2、6，3、5不能分到同一组，分2步进行分析：，将6种化工产品分成3组，其中1、4，2、6，3、5不能分到同一组，有3×21=8种分组方法，将分好的三组全排列，对应3个仓库，有A33=6种情况，则不同的安全存放的种数有8×6=48种；故选：D 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意先按照题意进行分组，再进行排列，属于基础题第二部分21. 10【解析】x5=x+115=C50x+15C51x+14+C52x+13C53x+12+C54x+1C55，所以，a3=C53=1022. 12【解析】由题意可得，有 2 种分配方案：甲部门要 2 个电脑编程人员，则有 3 种情况；两名英语翻译人员的分配有 2 种可能；根据分步计数原理，共有 3×2=6 种分配方案甲部门要 1 个电脑编程人员，则有 3 种情况电脑特长学生，则方法有 3 种；两名英语翻译人员的分配方法有 2 种；共 3×2=6 种分配方案由分类计数原理，可得不同的分配方案共有 6+6=12 种23. 30【解析】方法一：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步当染边 1 时有 3 种染法，则染边 2 有 2 种染法（1）当 3 与 1 同色时有 1 种染法，则 4 有 2 种，5 有 1 种，此时染法总数为 3×2×1×2×1=12（种）（2）当 3 与 1 不同色时，3 有 1 种，当 4 与 1 同色时，4 有 1 种，5 有 2 种；当 4 与 1 不同色时，4 有 1 种，5 有 1 种，则此时有 3×2×1×1×2+1×1=18（种）综合（1），（2），由分类加法计数原理，可得染法的种数为 30 种方法二：通过分析可知，每种颜色至少要涂 1 次，至多只能涂 2 次，即有一色涂 1 次，剩余两种颜色各涂 2 次一次的有 C31C51 种涂法，涂 2 次的有 2 种涂法，故一共有 2C31C51=30（种）涂法24. 60，36【解析】该数为偶数时，个位数字可取 2，4，6 其中一个，先取个位有 3 种取法，再取百位有 5 种取法，十位对应有 4 种取法，共有：3×5×4=60（种），当个位为 2 时，十位可取 1，百位有 4 种，共有 4 种；当个位为 4 时，十位可取 1，2，3 其中一个，对应百位有 4 种取法，共：3×4=12（种），当个位为 6 时，十位可取除 6 以外的任意数字，共有 5×4=20（种），所以个位比十位数字大的偶数有 4+12+20=36 个25. 240【解析】（元素优先法）由题意知 6 必在第三行，安排 6 有 C31 种方法，第三行中剩下的两个空位安排数字有 A52 种方法，在留下的三个数字中，必有一个最大数，这个最大数安排在第二行，有 C21 种方法，剩下的两个数字有 A22 种排法，根据分步乘法计数原理，所有排列的个数是 C31A52C21A22=240第三部分26. 5+5×5+5×5×4=13027. （1） 只需一人参加，可按老师、男同学、女同学分三类，各自有 3，6，8 种方法，总方法数为 3+6+8=17 种      （2） 分两步，先选老师，共 3 种选法，再选学生，共 6+8=14 种选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为 3×14=42 种      （3） 选老师、男同学、女同学各一人，可分三步，每步方法依次为 3，6，8 种由分步乘法计数原理知总方法数为 3×6×8=144 种28. 由图形特征分析，当 a>0 时，开口向上，坐标原点在内部等价于 f0=c<0；当 a<0 时，开口向下，原点在内部等价于 f0=c>0，所以对于抛物线 y=ax2+bx+c 来讲，原点在其内部等价于 af0=ac<0，则确定抛物线时，可先定一正一负的 a 和 c，再确定 b，故满足题设的抛物线共有 C31C41P22P61=144（条）29. 解法1：设 4 人A、B、C、D写的贺年卡分别是a、b、c、d，当A拿贺年卡b，则B可拿a、c、d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有 3 种不同的分配方式同理，A拿c、d时也各有 3 种不同的分配方式由加法原理，4 张贺年卡共有 3+3+3=9 种分配方式解法2：让 4 人A、B、C、D依次拿 1 张别人送出的贺年卡如果A先拿有 3 种取法，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有 3 种不同的取法接下来，剩下的两个人都各只有一种取法由乘法原理，4 张贺年卡不同的分配方式有 3×3×1×1=9 种30. （1） a 的取值有 5 种情况，b 的取值 6 种情况，c 的取值有 6 种情况，因此 y=ax2+bx+c 可以表示 5×6×6=180（个）不同的二次函数若二次函数为偶函数，则 b=0，故有 5×6=30（个）      （2） y=ax2+bx+c 的图象开口向上时，a 的取值有 2 种情况，b，c 的取值均有 6 种情况，因此 y=ax2+bx+c 可以表示 2×6×6=72（个）图象开口向上的二次函数第9页（共9 页）