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医学物理第三章医学物理第三章 流体的运流体的运动动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动 一、伯努利方程一、伯努利方程21EEE222222111 111()()22m ghm vm ghmv机械能的变化机械能的变化为：为：对对稳定流动稳定流动 m1=m2：22221111()()22Emghmvmghmv12AAA11 1222PS vtP S vt 1 122S vS v1 122S vtS vtV 研究小流管中研究小流管中S1S2之间之间的一段流体。的一段流体。对理想流体，对理想流体， 除重力之外的外力做功为：除重力之外的外力做功为：流体的运动流体的运动12EPVPV根据根据功能原理功能原理得：得：2222111211()()22mghmvmghmvPVPV即：即：222221111122mghmvPVmghmvPVmV222221111122ghvPghvP（伯努利方程）（伯努利方程）可写为：可写为：212ghvP 常量 理想流体在流管中做稳定流动时，单位体积的动能、重力理想流体在流管中做稳定流动时，单位体积的动能、重力势能及压强之和为一常量。势能及压强之和为一常量。其中其中212v与流速有关，称为与流速有关，称为动压动压。ghP、与流速无关，称为与流速无关，称为静压静压。流体的运动流体的运动例题例题3-1:设有流量为设有流量为0.12m3s-1的水流过图的水流过图3-4所示的管子所示的管子.A点的压强为点的压强为 ,A点的截面积为点的截面积为100cm2,B点的截面积为点的截面积为60cm2.假设水假设水的粘性可以忽略不计的粘性可以忽略不计,求求A,B两点的流速和两点的流速和B点的压强点的压强.52 10 Pa解解:已知已知310.12Qm s2210ASm4260 10BSm52 10,0 ,2AABPPa hm hmB2mAv1v2水可以看做不可压缩流体水可以看做不可压缩流体,根据根据连续性方程连续性方程12140.1212100.122060 10AABBAABBs vs vQQvm ssQvm ss流体的运动流体的运动又根据伯努利方程可知又根据伯努利方程可知:2222522411221122112 101000 121000 201000 9.8 2225.24 10AABBBBAABBPvPvghPPvvghPa 流体的运动流体的运动2222112121vPvP2211vSvS211222212PPghghvSSS联立求解，并将代入有：1 11222212ghQS vS SSS液体的流量为：二二 伯努利方程的应用伯努利方程的应用根据水平管根据水平管伯努利方程伯努利方程,有有:由由连续性方程连续性方程有有:1 流量计流量计hS1S2P1P2V1V2汾丘里流量计汾丘里流量计流体的运动流体的运动2211022cdPvP212dcvPP2、皮托管、皮托管用来测定流速用来测定流速测流速计原理测流速计原理vdc滞流区 V=0212vab动压动压在滞流区全部转化成了在滞流区全部转化成了静压静压假设假设c, d之间有很小的水平流管之间有很小的水平流管:应用应用伯努利方程伯努利方程(水平流管水平流管)得得:流体的运动流体的运动()MAPPgh待测流速的液体密度待测流速的液体密度2()ghvU形管中工作液体的密度形管中工作液体的密度流体的运动流体的运动常量=+ ghP高处的压强小，低处的压强大。高处的压强小，低处的压强大。5、体位对血压的影响、体位对血压的影响 如流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努利方如流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努利方程有：程有：1122PghPgh测量血压测量血压要注意体要注意体位位流体的运动流体的运动实际流体中如甘油实际流体中如甘油,糖浆之类糖浆之类粘性不能忽略粘性不能忽略的流体的流体.1 粘性流体粘性流体粘性流体的流动类型粘性流体的流动类型层流层流湍流湍流过渡流动过渡流动层流层流: 分层流动分层流动(无横向混杂无横向混杂)湍流湍流: 不保持分层流动不保持分层流动,(垂直于流层的方向有分速度垂直于流层的方向有分速度)过渡流动过渡流动:介于层流和湍流间的运动状态介于层流和湍流间的运动状态流体的运动流体的运动管中甘油流速并不完全相同管中甘油流速并不完全相同: 愈靠近管壁处速度愈慢愈靠近管壁处速度愈慢,与管壁接触的液层附着在与管壁接触的液层附着在管壁上管壁上,速度为零速度为零,中央轴线上速度最大中央轴线上速度最大.流体的运动流体的运动（1）内摩擦力内摩擦力（粘性力）（粘性力）（viscous force）内摩擦力的方向与流层的流动方向平行，为切力。内摩擦力的方向与流层的流动方向平行，为切力。（2）速度梯度（速度梯度（velocity gradient)指流层的流速沿垂直流速方向指流层的流速沿垂直流速方向的变化率。的变化率。dvdxdxdvxvx0lim二、牛顿粘滞定律二、牛顿粘滞定律流体的运动流体的运动公式中的比例系数称为粘度系数，也叫粘度。公式中的比例系数称为粘度系数，也叫粘度。在国际单位制中粘度的单位是：在国际单位制中粘度的单位是：aP s 一、牛顿粘滞定律一、牛顿粘滞定律dvfSdx 相邻两流层间粘性力的大小与两流层间的接触面积成正相邻两流层间粘性力的大小与两流层间的接触面积成正比、与流层间的速度梯度成正比。比、与流层间的速度梯度成正比。11kg ms粘度的大小与粘度的大小与液体的性质及温度液体的性质及温度有关。有关。流体的运动流体的运动流体的运动流体的运动/fs 牛顿粘滞定律牛顿粘滞定律 也可写为：也可写为：dvfSdx牛顿流体牛顿流体：指遵循牛顿粘滞定律的流体。在一定温度下，：指遵循牛顿粘滞定律的流体。在一定温度下，该该流体的粘度为常数流体的粘度为常数。vtxddvdtdx 切变率切变率 即即 切应变对时间的变化率切应变对时间的变化率式中式中 为为切应力切应力,表示作用在流层单位面积上的内摩擦力表示作用在流层单位面积上的内摩擦力; 非牛顿流体非牛顿流体:不遵循牛顿粘滞定律的流体不遵循牛顿粘滞定律的流体.粘度不是常数粘度不是常数.流体的运动流体的运动 湍流：湍流：流体流动极不规则，各部分流体互相掺混。流体质流体流动极不规则，各部分流体互相掺混。流体质点除沿轴向运动外还有横向或逆向的流动，流速场极不稳定。点除沿轴向运动外还有横向或逆向的流动，流速场极不稳定。湍流是一种湍流是一种非稳定流动非稳定流动。2、由层流转变为湍流的条件、由层流转变为湍流的条件雷诺数：雷诺数：层流层流1000eR 不稳定过渡流动不稳定过渡流动10001500eR湍流湍流1500eR 注意注意:弯管易发生湍流弯管易发生湍流.evrR无单位无单位二、湍流二、湍流 雷诺数雷诺数流体的运动流体的运动222212112121ghvPghvP+E一、粘性流体的伯努利方程一、粘性流体的伯努利方程等截面水平等截面水平细管中的稳定流动细管中的稳定流动: h1=h2, v1=v2 有：有：P1=P2+ E 开放的等截面开放的等截面细管中的稳定流动细管中的稳定流动: v1=v2 , p1=p2=p0 (P0是标是标准大气压准大气压)Eghgh21E 表示单位体积的流体从表示单位体积的流体从 运动到运动到 的过程的过程 中因存在中因存在内摩擦力而引起的能量损耗内摩擦力而引起的能量损耗。12S S12S S(E0)流体的运动流体的运动二、泊肃叶公式二、泊肃叶公式讨论粘滞流体在水平流管中的稳定流动讨论粘滞流体在水平流管中的稳定流动 实验表明：在粗细均匀的水平圆管中作实验表明：在粗细均匀的水平圆管中作层流的粘性流体，层流的粘性流体，其流速沿管径按抛物线的规律分布；且通过水平圆管截面的其流速沿管径按抛物线的规律分布；且通过水平圆管截面的体积流量与管子两端的压强差成正比。体积流量与管子两端的压强差成正比。 流体在圆管内流动时在管道的任意截面上，各点的速度流体在圆管内流动时在管道的任意截面上，各点的速度沿管径而变。管壁处速度为零，离开管壁以后速度逐渐增加，沿管径而变。管壁处速度为零，离开管壁以后速度逐渐增加，到管中心处速度最大。到管中心处速度最大。 vr412()8PPRQL流体的运动流体的运动推导推导:泊肃叶定律泊肃叶定律1.速度分布速度分布取管同轴取管同轴,半径为半径为r的圆柱形流体元的圆柱形流体元为研究对象为研究对象,所受压力差所受压力差:212FPPrrvo流体的运动流体的运动 周围流体作用在该圆柱性流体元表面的粘性力为周围流体作用在该圆柱性流体元表面的粘性力为:2dvfrLdr 负号表示负号表示 v速度速度随随r半径半径 的增大而减小的增大而减小管内流体作稳定流动管内流体作稳定流动,合力为零合力为零,有有:21212()22dvPPrrLdrPPdvrdrL 对上式不定积分对上式不定积分:2124PPvrCL 流体的运动流体的运动2212() ()22PPRrvL2212()()4PPvRrL 圆管截面上的流速呈抛物线分布，管心处流速最大，管圆管截面上的流速呈抛物线分布，管心处流速最大，管壁处流速为零。壁处流速为零。边界条件边界条件: r=R, v=02124PPCRL代入上式得代入上式得:流体的运动流体的运动求通过水平圆管截面的求通过水平圆管截面的体积流量体积流量：dQvdS2 rvdr2212()2()4PPrRrdrL22120()2()4RPPQrRrdrL22120()()2RPPr RrdrL222120()() ()4RPPRrd rL412()8PPRQL称之为称之为。它表明通过水平它表明通过水平圆管的流量与圆管半径的四次方成正圆管的流量与圆管半径的四次方成正比、与单位长度上的压强差成正比、比、与单位长度上的压强差成正比、与流体的粘度成反比。与流体的粘度成反比。流体的运动流体的运动令：令：48fLRR称之为流阻称之为流阻泊肃叶公式可写为：泊肃叶公式可写为：12()fPPQR（达西定理）（达西定理）当几个流阻不同的圆管串联时：当几个流阻不同的圆管串联时：12ffffnRRRR总当几个流阻不同的圆管并联时：当几个流阻不同的圆管并联时：121111fffnRRRRf总流体的运动流体的运动思考题思考题: : 有人认为从连续性方程来看管子愈粗流速愈慢,而从泊肃叶定律来看管子愈粗流速愈快,两者似有矛盾,你认为如何?为什么?答答: 两者条件不同两者条件不同,前者针对于一定的管子前者针对于一定的管子,在流量一定的在流量一定的情况下情况下,管子愈粗流速愈慢管子愈粗流速愈慢;后者管子愈粗流速愈快是管子后者管子愈粗流速愈快是管子两端压强差一定两端压强差一定,流量不确定流量不确定(增加增加)的情况的情况.QvS412()8PPRQL流体的运动流体的运动3-11 200C的水在半径为的水在半径为0.01m的水平均匀圆管内流动的水平均匀圆管内流动,如果在管轴处的如果在管轴处的流速为流速为0.1m/s,则由于粘滞性则由于粘滞性,水沿管子流动水沿管子流动10m后后,压强降落了多压强降落了多少少?解解:2212()()4PPvRrL管轴处管轴处r=0,22120()44rPPpvRRLL从表从表3-1查得查得20oC的水黏度的水黏度.本题可解本题可解流体的运动流体的运动三、斯托克斯定律三、斯托克斯定律物体在静止流体中运动受到流体的阻力。物体在静止流体中运动受到流体的阻力。 斯托克斯定律：球状物体在静止流体中斯托克斯定律：球状物体在静止流体中沉降沉降时所受到的时所受到的阻力与流体的粘度、物体的沉降速度及物体的半径成正比。阻力与流体的粘度、物体的沉降速度及物体的半径成正比。6fvR33446033TRgv RRg收尾速度收尾速度 （terminal velocity)或（沉降速度）或（沉降速度）Tv229TvgR0Ffm g 浮设在粘性液体内有一半径为设在粘性液体内有一半径为R的小球的小球,它受重力作用下沉它受重力作用下沉.流体的运动流体的运动离心分离原理离心分离原理 用离心分离原理可以分离和提纯物质。这种方法常在生用离心分离原理可以分离和提纯物质。这种方法常在生命科学研究中被使用。命科学研究中被使用。 当离心机转速足够大时，离心池呈水平状态，物质颗粒当离心机转速足够大时，离心池呈水平状态，物质颗粒的沉降速度可由下式求得：的沉降速度可由下式求得：Ff2()mx其中其中x是物质颗粒离转轴的距离。是物质颗粒离转轴的距离。 与在重力作用下物质颗粒沉降相比，差别是用离心加速与在重力作用下物质颗粒沉降相比，差别是用离心加速度度 取代重力加速度取代重力加速度g2x 沉降速度为：沉降速度为：222()9Tvx R只要只要足够大，就足够大，就可以使可以使vT很大。很大。流体的运动流体的运动惯性离心力作用下的沉降速度惯性离心力作用下的沉降速度:作用在颗粒上的力作用在颗粒上的力 ru这三个力达到平衡时，颗粒在径向上相对与流体的速度这三个力达到平衡时，颗粒在径向上相对与流体的速度被称为被称为离心沉降速度离心沉降速度。vRfxuRFxuRFTTs634342323阻力向心力惯性离心力向离（1 1）x小球距中心距离， ; (2 (2）流体对颗粒的向心力。密度 为的流体作匀速圆周运动， 有一个向心力，这个力阻止小球向外运动;（3）阻力，假定流体不动，颗粒由内向外运动，受到流体的阻力。小球密度s流体的运动流体的运动课后作业课后作业:3-6, 3-5, 3-93-10 3-14