微分方程ppt(罗兆富等编)第七章-特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法课件.ppt

1机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七章第七章 特征线法、达朗贝尔公式特征线法、达朗贝尔公式 第一节第一节 特征线法特征线法 第二节第二节 达朗贝尔公式达朗贝尔公式 反射法反射法 和分离变量法和分离变量法第三节第三节 分离变量法简介分离变量法简介 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 的一阶齐次线性偏微分方程的通解的一阶齐次线性偏微分方程的通解, 其中其中ai(i=1,2,n)是是自变量自变量x1 , x2 , , xn的的n(n2)元连续函数元连续函数, 且不全为零且不全为零.第一节第一节 特征线法特征线法 一、一阶一、一阶(拟拟)线性偏微分方程的通解线性偏微分方程的通解 1. 一阶齐次线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程 考虑形如考虑形如 1211221212(,)(,)(,)0nnxnxnnxa x xx uax xx uax xx u(7.1.01) 方程方程(7.1.01)的通解可通过求解一个常微分方程组而的通解可通过求解一个常微分方程组而得到得到, 通常称这种求解方法为通常称这种求解方法为特征线法特征线法. 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节第一节 特征线法特征线法 一、一阶一、一阶(拟拟)线性偏微分方程的通解线性偏微分方程的通解 1. 一阶齐次线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程 考虑形如考虑形如 1211221212(,)(,)(,)0nnxnxnnxa x xx uax xx uax xx u(7.1.01) 设设u=u(x1, x2, , xn)是方程是方程(7.1.01)的一个解的一个解,则由全微则由全微分法则分法则, 有有1212ddddnxxxnuuxuxux(7.1.02)1211221212ddd( ,)( ,)( ,)nnnnnxxxa x xxax xxax xx(7.1.03)4机动 目录 上页 下页 返回 结束 112121221121( ,)( ,)( ,)nnnnnx xxCx xxCx xxC(7.1.04)1211221212ddd( ,)( ,)( ,)nnnnnxxxa x xxax xxax xx(7.1.03) 我们称我们称(7.1.03)为为(7.1.01)的的特征方程组特征方程组,由特征方程组由特征方程组(7.1.03)确定的空间曲线称为确定的空间曲线称为特征曲线特征曲线. 由于特征方程组由于特征方程组(7.1.03)是一个包含是一个包含n 1个方程的常微分方程组个方程的常微分方程组, 所以它所以它有有n 1个个首次积分首次积分 我们的目标是通过求我们的目标是通过求(7.1.03)的首次积分的首次积分(7.1.04)来求来求一阶齐次线性偏微分方程一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解的通解. 偏微分方程偏微分方程(7.1.01)的解与它的特征方程的解与它的特征方程(7.1.03)的首的首次积分之间的关系有如下的定理次积分之间的关系有如下的定理.5机动 目录 上页 下页 返回 结束 112121221121( ,)( ,)( ,)nnnnnx xxCx xxCx xxC(7.1.04) 假设已经得到特征方程组假设已经得到特征方程组(7.1.03)的的n 1个个首次积分首次积分(7.1.04), 定理定理7.1 则一阶齐次线性偏微分方程则一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解为的通解为1211221212(,)(,)(,)0nnxnxnnxa x xx uax xx uax xx u(7.1.01)12112212112( ,)( ,),( ,),( ,)nnnnnu x xxx xxx xxx xx (7.1.05)其中其中 是任意连续可微是任意连续可微n 1元函数元函数. 证明证明: 设设 12(,)nx xxC(7.1.06)是特征方程组是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分的一个首次积分. 12(,)0.nnax xx因为函数因为函数a1, a2, , an 不同时为零不同时为零, 所以不妨设所以不妨设 这样特征方程组这样特征方程组(7.1.03)等价于下面标等价于下面标准形式的常微分方程组准形式的常微分方程组6机动 目录 上页 下页 返回 结束 111212221212111212d(,)d( ,)d(,)d( ,)d(,)d(,)nnnnnnnnnnnnnnxa x xxxax xxxax xxxax xxxax xxxax xx(7.1.07)因此因此(7.1.06)也是也是(7.1.07)的一个首次积分的一个首次积分. 再由第三章第再由第三章第一节定理一节定理3.1知知, 有恒等式有恒等式 110,niinniaxax两端乘以两端乘以an, 得得 121( ,)0niniia x xxx(7.1.08) 这就证明了函数这就证明了函数 12(,)nx xx 是特征方程组是特征方程组(7.1.03)的一的一个首次积分的充要条件为恒等式个首次积分的充要条件为恒等式(7.1.08)成立成立.7机动 目录 上页 下页 返回 结束 121( ,)0niniia x xxx(7.1.08) 121( ,)0niniiua x xxx(7.1.01) 12(,)nx xx比较比较 是特征方程组是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分的一个首次积分的充要条件是的充要条件是: 12(,)nux xx 是一阶齐次线性偏微分是一阶齐次线性偏微分方程方程(7.1.01)的解的解.因此因此, 若若 12(,)nux xx 是一阶齐次线性偏微分方是一阶齐次线性偏微分方程程(7.1.01)的任意一个解的任意一个解,则它是特征方程组则它是特征方程组(7.1.03)的一的一个首次积分个首次积分. 112212112(,),(,),(,)nnnnux xxx xxx xx 再由第三章第一节定理再由第三章第一节定理3.5,它可由特征方程组它可由特征方程组(7.1.03)的的n 1个首次积分个首次积分(7.1.04)来表达来表达其中其中 是任意连续可微是任意连续可微n 1元函数元函数. 8机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , )( , )0 xya x y ub x y u注注: 当当n=2时时, 方程方程(7.1.01)成为成为 (7.1.09)其特征方程组为其特征方程组为 dd,( , )( , )xya x yb x y它有一个首次积分它有一个首次积分 ( , ),x yC则方程则方程(7.1.09)的通解为的通解为 ( , ) ( , )u x yx y (7.1.10)其中其中 是任意连续可微是任意连续可微一一元函数元函数. 9机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )( , , )( , , )0 xyza x y z ub x y z uc x y z u注注: 当当n=3时时, 方程方程(7.1.01)成为成为 (7.1.11)其特征方程组为其特征方程组为 ddd( , , )( , , )( , , )xyza x y zb x y zc x y z，它有两个首次它有两个首次 1122( , , ),( , , ),x y zCx y zC则方程则方程(7.1.11)的通解为的通解为 12( , , )( , , ),( , , )u x y zx y zx y z (7.1.12)其中其中 是任意连续可微二元函数是任意连续可微二元函数. 积分积分 10机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程 320 xyyuxu解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 写出特征方程组写出特征方程组 dd32xyyx2232xyC首次积分首次积分! 所以方程的通解为所以方程的通解为 223( , )().2u x yxy 其中其中 是任意连续可微是任意连续可微一一元函数元函数. 11机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求解交通流线性关系模型求解交通流线性关系模型 0,0,( ,0)( ).ppatxtxp xf x 解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 写出特征方程组写出特征方程组 dd1txaxatC首次积分首次积分! 所以方程的通解为所以方程的通解为 ( , )().p x txat 其中其中 是任意连续可微是任意连续可微一一元函数元函数. 再注意到初始条件再注意到初始条件p(x, 0)=f(x), 得得 ( )( ),xf x从而得从而得到方程的解为到方程的解为 ().pf xat12机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程 ()()()0 xyzyz uzx uxy u解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 写出特征方程组写出特征方程组 dddxyzyzzxxyddd0 xyzddd0 x xy yz z1xyzC2222xyzC首次积分首次积分! 所以方程的通解为所以方程的通解为 222( , )(,).u x yxyz xyz 其中其中 是任意连续可微二元函数是任意连续可微二元函数. 13机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 一阶非齐次拟线性偏微分方程一阶非齐次拟线性偏微分方程 的一阶齐次拟线性偏微分方程的通解的一阶齐次拟线性偏微分方程的通解, 其中其中ai(i=1,2,n), b都是都是n+1个变元个变元x1, x2 , , xn, u的连续函数的连续函数,且不全为零且不全为零.考虑形如考虑形如 1211221212( , )( , )( , )nnxnxnnxa x xx u uax xx u uax xx u u(7.1.13)12( , )nb x xx u 设设V(x1, x2 , , xn, u)=0是方程是方程(7.1.13)的一个隐函数的一个隐函数形式的解形式的解, 注意到注意到u是是x1, x2 , , xn的函数的函数,由隐函数求导由隐函数求导法法, 得到得到 ,(1,2, )iixxuVuinV (7.1.14)111221212( , )( , )( , )innxnxnnxa x xx u Vax xx u Vax xx u V12(, )0nub x xx u V(7.1.15)14机动 目录 上页 下页 返回 结束 1211221212( , )( , )( , )nnxnxnnxa x xx u uax xx u uax xx u u(7.1.13)12( , )nb x xx u111221212( , )( , )( , )innxnxnnxa x xx u Vax xx u Vax xx u V12(, )0nub x xx u V(7.1.15) 由由(7.1.15)可见可见, 若将若将V视为关于视为关于x1, x2 , , xn, u的函的函数数,(7.1.15)就成为关于未知函数就成为关于未知函数V的一阶齐次线性偏微分的一阶齐次线性偏微分方程方程. 这就证明了这就证明了,若若V(x1, x2 , , xn, u)=C是一阶非齐次是一阶非齐次拟线性偏微分方程拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解的一个隐函数形式的解,则则n+1元函数元函数 V(x1, x2 , , xn, u) 是一阶齐次线性偏微分方程是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.15)的解的解.15机动 目录 上页 下页 返回 结束 1211221212( , )( , )( , )nnxnxnnxa x xx u uax xx u uax xx u u(7.1.13)12( , )nb x xx u111221212( , )( , )( , )innxnxnnxa x xx u Vax xx u Vax xx u V12(, )0nub x xx u V(7.1.15) 反过来反过来, 假设假设n+1元函数元函数V(x1, x2 , , xn, u)是是(7.1.15)的解的解, 且且Vu0, 12,0nV x xx u 所确定的隐函数所确定的隐函数u=u(x1, x2 , , xn) 是方程是方程(7.1.13)的解的解. 则由则由(7.1.15)和和(7.1.14)可以推出由方程可以推出由方程 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 1211221212( , )( , )( , )nnxnxnnxa x xx u uax xx u uax xx u u(7.1.13)12( , )nb x xx u111221212( , )( , )( , )innxnxnnxa x xx u Vax xx u Vax xx u V12(, )0nub x xx u V(7.1.15) 这样这样, 求解方程求解方程(7.1.13)的问题就化成了求解的问题就化成了求解(7.1.15)的的问题问题. 1211221212ddd( , )( , )( , )nnnnnxxxa x xx uax xx uax xx u12d( , )nub x xx u(7.1.16)为了求解为了求解(7.1.15), 先写出其特征方程组为先写出其特征方程组为 17机动 目录 上页 下页 返回 结束 111221212( , )( , )( , )innxnxnnxa x xx u Vax xx u Vax xx u V12(, )0nub x xx u V(7.1.15)1211221212ddd( , )( , )( , )nnnnnxxxa x xx uax xx uax xx u12d( , )nub x xx u(7.1.16)为了求解为了求解(7.1.15), 先写出其特征方程组为先写出其特征方程组为 1121212212( , )( , )( , )nnnnnx xx uCx xx uCx xx uC(7.1.17)11221212( , ),( , ),( , )nnnnVx xx ux xx ux xx u 其中其中 是任意连续可微是任意连续可微n元函数元函数. 于是于是(7.1.15)的通解由特征方程组的通解由特征方程组(7.1.16)的的n个首次积分个首次积分(7.1.17)表达为表达为 我们也称我们也称 (7.1.16) 是一阶非齐次拟线性偏微分方程是一阶非齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的的特征方程组特征方程组. 上述过程写成定理就是上述过程写成定理就是 18机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.2 假设函数假设函数ai(x1, x2, , xn, u)(i=1,2,n)和和b(x1, x2, , xn, u)在某区域在某区域G内连续可微内连续可微, a1, a2, , an在在G内不同时为零内不同时为零. 则则V(x1, x2, , xn, u)=0(Vu0)是一阶非是一阶非齐次拟线性偏微分方程齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解的的一个隐函数形式的解的充要条件是充要条件是: n+1元函数元函数V(x1, x2, , xn, u)是一阶齐次线是一阶齐次线性偏微分方程性偏微分方程(7.1.15)的解的解. 1211221212( , )( , )( , )nnxnxnnxa x xx u uax xx u uax xx u u(7.1.13)12( , )nb x xx u111221212( , )( , )( , )innxnxnnxa x xx u Vax xx u Vax xx u V12(, )0nub x xx u V(7.1.15)19机动 目录 上页 下页 返回 结束 1211221212( , )( , )( , )nnxnxnnxa x xx u uax xx u uax xx u u(7.1.13)12( , )nb x xx u111221212( , )( , )( , )innxnxnnxa x xx u Vax xx u Vax xx u V12(, )0nub x xx u V(7.1.15)注注: 一阶线性非齐次偏微分方程一阶线性非齐次偏微分方程 1211221212(,)(,)(,)nnxnxnnxa x xx uax xx uax xx u1212(,)(,)nnb x xxc x xx u(7.1.18)为一阶非齐次拟线性偏微分方程为一阶非齐次拟线性偏微分方程的特殊情况的特殊情况,其解法完其解法完全与求解方程全与求解方程(7.1.13)的解法相同的解法相同.20机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求偏微分方程求偏微分方程 zzxzyzxxy的通解的通解. 解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 写出特征方程组写出特征方程组 dddxyzxzyzx(1)ddxyxzyzddxyxy1lnlnlnxyC1xCy(2)ddxzxzxdd1xzz2212xzC2212xzC所以方程的通解为所以方程的通解为 21(,)0.2xxzy 其中其中 是任意连续可微二元函数是任意连续可微二元函数. 若解出若解出u, 得到得到方程的通解为方程的通解为22 ( )xzxgy g是任意可微函数是任意可微函数. 21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求偏微分方程求偏微分方程 222xyx uy uu的通解的通解. 解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 写出特征方程组写出特征方程组 222dddxyuxyu(1)22ddxyxy111Cxy 111Cxy(2)22ddxuxu所以方程的通解为所以方程的通解为 11 11(,)0.xy xu 其中其中 是任意连续可微二元函数是任意连续可微二元函数. 若解出若解出u, 得到得到方程的通解为方程的通解为1111 ()ugxxy g是任意可微函数是任意可微函数. 211Cxu 211Cxu22机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求偏微分方程的通解求偏微分方程的通解. 2222()()() .xyx yu uy xu uxyu解解: 写出特征方程组写出特征方程组 2222ddd()()()xyux yuy xuxyu(1)2222ddd()()()yxuyxuyuxuxyddd0 xyuxyuddd0 xyuxyu1lnlnlnlnxyuC1xyuC23机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求偏微分方程的通解求偏微分方程的通解. 2222()()() .xyx yu uy xu uxyu解解: 写出特征方程组写出特征方程组 2222ddd()()()xyux yuy xuxyu(2)2222dd()()x xy yxyuyxu22dd()x xy yxyudddx xy yu2222xyuC1xyuC22d()uxyu所以方程的通解为所以方程的通解为 22(,2 )0.xyu xyu其中其中 是任意连续可微二元函数是任意连续可微二元函数. 24机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、一阶二、一阶(拟拟)线性偏微分方程的初值问题线性偏微分方程的初值问题 当需要求出一阶当需要求出一阶(拟拟)线性偏微分线性偏微分 方程的初值问题的方程的初值问题的解时解时, 可以先求出其通解可以先求出其通解, 再由初始条件确定其任意函数再由初始条件确定其任意函数从而求出其特解从而求出其特解, 如前面的例题如前面的例题2. 但在许多情况下但在许多情况下, 要由要由初始条件确定出通解中的任意函数很困难初始条件确定出通解中的任意函数很困难, 甚至是不可甚至是不可能的能的. 因此因此,我们下面研究如何直接求解一阶我们下面研究如何直接求解一阶(拟拟)线性偏线性偏微分方程的初值问题微分方程的初值问题.25机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 一阶线性偏微分方程的初值问题一阶线性偏微分方程的初值问题 为求形如为求形如 ( , )( , )( , )( , )xya x y ub x y uf x yg x y u(7.1.19) 的的一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程(其中其中a, b, f, g是自变量是自变量x,y的连续的连续函数函数)在初始条件在初始条件(0, )( )uyh y(7.1.20) 下的解下的解. 我们与前面一样直接写出其特征方程组我们与前面一样直接写出其特征方程组 ddd( , )()xyuabf x yg xy u，(7.1.21) 由由(7.1.21)中的第一、二项相等中的第一、二项相等, 得到一个常微分方程得到一个常微分方程 dd,xyab设其通解为设其通解为 ( ,)yG x C，(7.1.22) 1( , )CGx y26机动 目录 上页 下页 返回 结束 dd( , )( , )xuaf x yg x y u(7.1.23) ddd( , )()xyuabf x yg xy u，(7.1.21) 由由(7.1.21)中的第一、二项相等中的第一、二项相等, 得到一个常微分方程得到一个常微分方程 dd,xyab设其通解为设其通解为 再由再由(7.1.21)的第一、三项相等得另一个方程的第一、三项相等得另一个方程(取第二取第二和三项相等和三项相等, 解法完全相同解法完全相同)( ,)yG x C，(7.1.22) 1( , )CGx ydd( ,( ,)( ,( ,)xuaf x G x Cg x G x C u27机动 目录 上页 下页 返回 结束 dd( , )( , )xuaf x yg x y u(7.1.23) 再由再由(7.1.21)的第一、三项相等得另一个方程的第一、三项相等得另一个方程(取第二取第二和三项相等和三项相等, 解法完全相同解法完全相同)dd( ,( ,)( ,( ,)xuaf x G x Cg x G x C u(7.1.24) d( ,( ,)dugf x G x Cuxaa(7.1.25) 方程方程(7.1.25)是一阶线性常微分方程是一阶线性常微分方程, 设其通解为设其通解为 1( ,)uH x C C(7.1.26) ( ,)yG x C，1( , )CGx y(7.1.22) 28机动 目录 上页 下页 返回 结束 1( ,)uH x C C(7.1.26) ( ,)yG x C，1( , )CGx y(7.1.22) 11( ,), )GxuyH xC(7.1.27) 再由初始条件再由初始条件(7.1.20)确定出确定出(7.1.27)中的常数中的常数C1, 就得就得到一阶线性偏微分方程到一阶线性偏微分方程 (7.1.19) 在初始条件在初始条件(7.1.20) 下的下的特解了特解了.(0, )( )uyh y(7.1.20)29机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,xyxuyuxyu例例7. 用特征线法求解一阶线性偏微分方程用特征线法求解一阶线性偏微分方程 (0, )1uy 解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 ddd2xyuxyxyuddxyxyxCyxCydd2yuyxyud2duCy yu21eCyuC1exyuC11C exyu 30机动 目录 上页 下页 返回 结束 sinh,xyuyuyxu例例8. 用特征线法求解一阶线性偏微分方程用特征线法求解一阶线性偏微分方程 (0, )uyy解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 ddd1sinhxyuyyxudd1xyyexyCexCy dd1sinhxuyxude sinhdxuuCxx1e (cosh)xuCxC1e ( ecosh)xxuyxC10C coshuyx 31机动 目录 上页 下页 返回 结束 考虑形如考虑形如 ( , , )( , , )( , , )xya x y u ub x y u uc x y u的一阶的一阶拟拟线性偏微分方程的解线性偏微分方程的解, 其中其中a, b, c是变量是变量x, y, u的连续可微函数的连续可微函数. ( ,0)( )u xh x(7.1.28) (7.1.29) 设设u=u(x, y)是方程是方程(7.1.28)的一个解的一个解, 类似于线性方程类似于线性方程的情形的情形(7.1.19), 我们依然有我们依然有 dddxyuabc(7.1.30) 若令若令(7.1.30)中的等式最后等于中的等式最后等于dt, 我们得到常微分方程组我们得到常微分方程组 2. 一阶拟线性偏微分方程的初值问题一阶拟线性偏微分方程的初值问题 32机动 目录 上页 下页 返回 结束 考虑形如考虑形如 ( , , )( , , )( , , )xya x y u ub x y u uc x y u( ,0)( )u xh x(7.1.28) (7.1.29) dddxyuabc(7.1.30) 若令若令(7.1.30)中的等式最后等于中的等式最后等于dt, 我们得到常微分方程组我们得到常微分方程组ddd( , , ),( , , ),( , , )dddxyua x y ub x y uc x y uttt(7.1.31) 我们称我们称(7.1.31)是方程是方程(7.1.28)特征方程特征方程, 称特征方程称特征方程(7.1.31)确定的曲线为确定的曲线为特征曲线特征曲线.通常将初始条件通常将初始条件(7.1.21)改写成改写成 000,0,( )tttxs yuh s(7.1.32) 或或0( , , )( ,0, ( )tx y ush s(7.1.32) 2. 一阶拟线性偏微分方程的初值问题一阶拟线性偏微分方程的初值问题 33机动 目录 上页 下页 返回 结束 000,0,( )tttxs yuh s(7.1.32) 或或0( , , )( ,0, ( )tx y ush s(7.1.32) ( , ),( , ),( , )xx s tyy s t uu s t(7.1.33)则在初始条件则在初始条件(7.1.32)下解常微分方程组下解常微分方程组(7.1.31), 得到方得到方程程(7.1.28)的解的参数表示的解的参数表示由由(7.1.33)的前两式解出的前两式解出 ( , ),( , )ss x y tt x y代入第三式，就得到方程代入第三式，就得到方程(7.1.28)的自变量为的自变量为x, y的解的解 ( ( , ), ( , )( , ).uu s x y t x yu x y 为叙述一阶拟线性偏微分方程解的存在唯一性定理为叙述一阶拟线性偏微分方程解的存在唯一性定理, 我们将初始条件写成一般形式我们将初始条件写成一般形式 000( ),( ),( ( ), ( )( )tttxf syg s uu f sg sh s或或0( , , )( ( ), ( ), ( )tx y uf sg s h s34机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7.3 若函数若函数f(s), g(s), h(s)连续可微连续可微, 且且 22( )( )0fsgs00000000()()0(,)(,)fsg sJa xyzb xyz若在点若在点(x0, y0, u0)=(f(s0), g(s0), h(s0)处的行列式处的行列式 且且 a(x,y,u), b(x,y,u), c(x,y,u)在点在点 (x0, y0, u0)=(f(s0), g(s0), h(s0)的附近连续可微的附近连续可微, 则初值问题则初值问题0( , , )( , , )( , , )( , , )( ( ), ( ), ( )xyta x y u ub x y u uc x y ux y uf sg s h s在参数在参数s=s0的一个邻域内存在唯一解的一个邻域内存在唯一解. 这样的解称为这样的解称为局部解局部解. (7.1.34) 35机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,xyuuuuyx例例9. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 2(1, )uyy解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 20ddd,ddd( , , )(1, ,)txyuuuyxtttx y us s ddddxyuutt0d()dxyt1xyC22dddddduyxtttuu 22d20duut23cos2sin2uCtCt220232sin22cos2CtCt dduyxt36机动 目录 上页 下页 返回 结束 1231231(2sin22cos2 )21(2sin22cos2 )2xCCtCtyCCtCt20ddd,ddd( , , )(1, ,)txyuuuyxtttx y us s ddddxyuutt0d()dxyt1xyC22dddddduyxtttuu 22d20duut23cos2sin2uCtCt220232sin22cos2CtCt dduyxt23cos2sin2uCtCt13132211(2)21(2)2CCsCCsC1221112CsCssC初值问题的参数表示的解初值问题的参数表示的解 2221(12sin2(1)cos2 )21(12sin2(1)cos2 )21cos2sin22xsststysststsustt 37机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,xyuuuuyx例例9. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 2(1, )uyy解解: 写出特征方程组写出特征方程组 dddxyuuuyx注注: 本题也可先求出通解本题也可先求出通解, 再求出特解再求出特解. (1)ddxyuudd0 xydd0 xy(2)ddxyuu1xyCdd2xyud()2xyuduyx()d()2 dxyxyu u 2221()2xyuC第一个首次积分第一个首次积分! 第二个首次积分第二个首次积分! 38机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,xyuuuuyx例例9. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 2(1, )uyy注注: 本题也可先求出通解本题也可先求出通解, 再求出特解再求出特解. 1xyC第一个首次积分第一个首次积分: 2221()2xyuC第二个首次积分第二个首次积分: 所以方程的通解为所以方程的通解为 221(,()02xyxyu ，其中其中 是任意是任意 21( , )()()2u x yg xyxy其中其中g是任意可微函数是任意可微函数. 连续可微二元函数连续可微二元函数. 若解出若解出u, 得到方程的通解为得到方程的通解为 221(1)(1)2gyyy241( )(2)(1)2g ttt24211( , )(2)(1)() .22u x yxyxyxy 1ty 39机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,xyuuu例例10. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 ( ,0)( )u xf x解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 20ddd1,1,ddd( , , )( ,0,( )txyuutttx y usf sdd1,1ddxytt12,xtC ytC 12,0Cs C,xts yt 2dduut2ddutu31tCu 31( )Cf s ( )1( )f sutf s参参数数表表示示的的解解xtsyt 由前两式解出由前两式解出s, t,代入第一式代入第一式, 得解得解 ()( , ).1()f xyuu x yyf xy 40机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()()0,xyu xu uy yu u例例11. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程 (1, )uyy解解: 根据前面的讨论根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组我们写出常微分方程组 0ddd(),(),0ddd( , , )(1, ,)txyuu xuy yutttx y uss dd(),()ddxys xsy ystt 1uC1Csusddd ,d()xys ttxsy ys 41机动 目录 上页 下页 返回 结束 ddd ,d()xys ttxsy ys ddxs txs2lnlnxsstC2estxCsdd()yty ys dd()s ys ty ys dd()syyys ty ys 11()ddys tyys 3lnlnlnyysstC 3estyCys0( , , )(1, ,)tx y uss21Cs (1)estxss31sCse1stysyss42机动 目录 上页 下页 返回 结束 ddxs txs2lnlnxsstC2estxCsdd()yty ys dd()s ys ty ys (1)estsyss21Cs (1)estxss0( , , )(1, ,)tx y usse1stysyss于是于是, 得到问题的参数形式的解得到问题的参数形式的解 (1)e(1)eststxsssyssusuxy由前两式消去由前两式消去s, t, 得问题的解得问题的解 43机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 求解人口模型求解人口模型 0(0, )( )( ,0)( )prp rp tt解解: 我们分我们分rt和和rt 时时, 解特征方程组解特征方程组 12,tC rC120,CC,trd()dpp d()dpp ( ) ,( ,0)ppr p t rtr 44机动 目录 上页 下页 返回 结束 00ddd1,1,( ) ,ddd( , ,)(0,( ).trpr pt r pp 12,tC rC120,CC,trd()dpp d()dpp 积分并注意到初始条件积分并注意到初始条件, 得得 00d()dptppp 0()d0( )etpp 由由 0()d0,( )ettrpp 消去初始值消去初始值, ,得得 ( )d0()e.rr tsspp rt45机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 求解人口模型求解人口模型 0(0, )( )( ,0)( )prp rp tt解解: 我们分我们分rt和和rt两种情况进行讨论两种情况进行讨论. 0ddd1,1,( ) ,ddd( , ,)( ,0, ( ).trpr pt r p 其中其中p(t, r)是在时刻是在时刻t年龄在年龄在r岁时的人口年龄分布密度函数岁时的人口年龄分布密度函数.当当r0), 则函数则函数 0( , )( , ; )dtw x tx t(7.2.18)是问题是问题(II)(即即(7.2.15)的解的解. 显然显然, 问题问题(7.2.17)的解可由达朗贝尔公式给出的解可由达朗贝尔公式给出 ()()1( , ; )( , )d2x a tx a tx tf rra(7.2.19)将将(7.2.19)代入代入(7.2.18)就得到问题就得到问题(II)的解的解 ()0()1( , )( , )d d2tx a tx a tw x tf rra (7.2.20)60机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述综上所述, 问题问题(7.2.13)的解为的解为 (7.2.21)( , )( , )( , )u x tv x tw x t()()1( )d22x atx atxatxatrra()0()1( , )d d2tx a tx a tf rra 2( , ), ,0,( ,0)( ),( ,0)( ).ttxxtua uf x txtu xx u xx (7.2.13) 61机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin ,0,( ,0)0, ( ,0)sin .ttxxtuutxxtu xu xx 例例2. 求解初值问题求解初值问题 解解: 在公式在公式(7.2.21)中代入中代入 1, ( )0, ( )sin ,axxx( , )sin ,f x ttx得到初值问题的解为得到初值问题的解为 ()0()11( , )sin dsin d d22x ttxtx txtu x tr rr r 2( , ), ,0,( ,0)( ),( ,0)( ).ttxxtua uf x txtu xx u xx (7.2.13) (7.2.21)()0()()()11( , )( )d( , )d d222x attx a tx atx a txatxatu x