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非线性规划模型0：引言： 1：如果目标函数和约束条件有一个或多个变量为非线性函数，则称这种规划问题为非线性规划问题。其模型为： ljxgmixhtsRxxfzjin,2, 1,01.,2, 1,0.),(min2：如果仅有等式约束hi,则可以用lagrange乘子法构造L(x,)=f(x)+ ihi(x)(i为参数）,化为无约束优化问题，然后利用无约束优化最优解必要条件来求解。3：故求解时主要考虑只有不等式约束模型： 2,2, 1,0.),(minljxgtsRxxfzjn一：一些非线性规划模型： 1：供应与选址问题： 某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标a,b表示，距离单位：千米）及水泥日用量d（吨）由下表给出。目前有两个临时料场位于A(5,1),B(2,7),日储量各有20吨，假设从料场到工地之间均有直线道相连；试制定每天的供应计划，即从A,B两料场分别向各工地运多少吨水泥，使总的吨千米数最小。 为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量仍各有20吨，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？123456 a1.258.750.55.7537.25 b1.250.754.7556.57.25 c3547611 工地位置(a,b)及水泥日用量 d解：（1）：这是双目标规划问题：一个是收益，一个是风险，一般不能同时满足。将两个函数合并成一个函数，从而使问题简化。 （2）该投资的决策问题的数学模型为： （3）参数意义：=0时，表示不考虑风险；=1时，表示不考虑收益，主要考虑风险。（7） （4）取=1进行求解。非线性规划问题。 3：武器分配问题（p110)4:1995年数学模型竞赛A题：飞行管理问题（p110) 60, 0500021620)(max2121221222121xxxxzgxxxxxxzf约束条件目标函数二：二次规划及有效集法： 1：二次规划的标准形式： 8. .,21)(minbAxtsRHcxHxxxfnnT对称2：如果（8）式中约束条件Ax=b,则可用lagrange乘子法求解：(9) 构造）的最优解。即为（其中解出求导得对9,00,21,xxbAxAcHxxRbAxcxHxxxLmTT3：对有不等式约束的（8）；可讨论其约束条件mmmmbxabxabbxaabAx1111把其中起约束的不等式改为不等式，不起约束的不等式去掉，化为等式约束的二次规划求解。称为有效集法。三：用MATLAB优化工具箱解二次规划。 1：解法： （1）化 的标准形。 （2）输入H,c,A,b; (3)用qp 程序求解。bAxtsRHcxHxxxfnnT.,21)(min对称2：常见的qp程序： X=qp(H,c,A,b) x=qp(H,c,A,b,v1) x=qp(H,c,A,b,v1,v2,x0,ne,dis,1)% 解H非正定的QP x,lag=qp(H,c,A,b,，)qp中的参数除H,c,A,b同lp.3：例：求解：0,32222.12422),(min212121212122212121xxxxxxxxtsxxxxxxxxf解：（1）将这个二次规划化为标准形： 322,12211112, 4,2111,21bAcHxxx（2）编程计算： to MATLAB erciguihua.m 结果：x=(0.6667,1.3333) f=-17.5556三：带约束非线性规划的解法： 1：通常解法有： 可行方向法 罚函数法 梯度投影法（参考运筹学清华大学出版社；最优化理论袁亚湘，科学出版社。 逐步二次规划法（MATLAB中采用）2：逐步二次规划法思想：（解模型（1） （1）构造lagrange函数 ,2,11xLxgxhxfxLljjjmiii用二次函数逼近 化为二次规划问题，求解。 （3）实际中是迭代法求解。四：用MATLAB优化工具箱解带约束非线性规划： 1：解法程序： ,2, 1,0, ,0, 0, gradvvoptxfunconstrxoptxfunconstrxxfunconstrxFun.m 文件要同时给出目标函数f和约束条件g。形式为f,g=fun(x);x0为迭代初值;opt为算法选择;v1为下界;v2为上界;grad.m文件要（用分析法）同时给出目标函数f和约束条件g的梯度，形式为df,dg=fun(x);g和dg的表达形式请见下例：2：例：研究：的极小值问题。带约束0, 5 . 11100,212221212212xxxxxxxxxf解：分不给出梯度和给出梯度两种情况。 不给出梯度： to MATlAB notidu.m 给出梯度时 ： to MATLAB yestidu.m五：供应与选址问题求解：1：用旧料场时：是一线性规划问题：计算结果如下： to MATLAB liaochxxml.m(调用了liaochxx.m函数）i123456Ci1(料场 A)350701Ci2(料场 B)0040610总吨千米数为liaochxx(x) 为136。2。2：改建新料场的计算：非线性规划问题： to MATLAB liaochml.m结果为：总吨千米数为liaoch(x) 为89.9，比使用原料场减少了46.3.i123456新 料 场位置Ci1(料场 A)354710(5.6348,4.8687)Ci2(料场 B)0000511 (7.2497,7.7499)下图：画出了工地，原料场，新料场的位置（+为工地，*为原料场，o为新料场。）新料场建于用料最大的工地边，你预计到了吗？0123456789012345678六：任务： 求解投资决策问题； 武器分配问题；
