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【2013年中考攻略】专题10：几何三大变换之平移探讨锦元数学工作室 编辑轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。平移由移动的方向和距离决定。经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。在初中数学以及日常生活中有着大量的平移变换的知识，是中考数学的必考内容。结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面七方面探讨平移变换：（1）构造平移图形；（2）点的平移；（3）直线（线段）的平移；（4）曲线的平移；（5）三角形的平移；（6）四边形的平移；（7）圆的平移。一、构造平移图形：典型例题：例1. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9 X 9的正方形网格中有一个格点ABC设网格中小正方形的边长为l个单位长度(1)在网格中画出ABC向上平移4个单位后得到的AlBlCl(2)在网格中画出ABC绕点A逆时针旋转900后得到的AB2C2(3)在(1)中ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域的面积【答案】解：（1）、（2）如图所示：（3）ABC向上平移4个单位后得到的A1B1C1，ABC向上平移过程中，边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形， 边AC所扫过区域的面积=4×2=8。【考点】作图（旋转和平移变换），平行四边形的判定和性质。【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的A1B1C1即可。（2）根据图形旋转的性质画出ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的AB2C2。（3）根据ABC向上平移4个单位后得到的A1B1C1，ABC向上平移过程中，求边AC所扫过区域是以4为边长，以2为高的平行四边形，由平行四边形的面积公式即可得出结论。例2.（2012黑龙江龙东地区6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将ABC向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度，画出两次平移后的A1B1C1;（2）写出A1、C1的坐标；（3）将A1B1C1绕C1逆时针旋转90°，画出旋转后的A2B2C1，求线段B1C1旋转过程中扫过的面积(结果保留)。【答案】解：（1）两次平移后的A1B1C1如图所示：（2）由A1B1C1在坐标系中的位置可知，A1（0，2）；C1（2，0）。（3）旋转后的图形如图所示：由勾股定理可知，。线段B1C1旋转过程中扫过的面积为。【考点】作图（旋转和平移变换），扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移的性质画出两次平移后的A1B1C1即可。（2）根据A1B1C1在坐标系中的位置写出A1、C1的坐标；（3）根据图形旋转的性质画出旋转后的A2B2C1，再根据勾股定理求出B1C1的长，由扇形的面积公式即可计算出线段B1C1旋转过程中扫过的面积。例3.（2012贵州六盘水10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形RtABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（4，1），点B的坐标为（1，1）（1）先将RtABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到RtA1B1C1试在图中画出图形RtA1B1C1，并写出A1的坐标；（2）将RtA1B1C1绕点A1顺时针旋转90°后得到RtA2B2C2，试在图中画出图形RtA2B2C2并计算RtA1B1C1在上述旋转过程中C1所经过的路程【答案】解：（1）如图所示，A1B1C1即为所求作的三角形。点A1的坐标为（1，0）。（2）如图所示，A2B2C2即为所求作的三角形。根据勾股定理，A1C1=，旋转过程中C1所经过的路程为。【考点】网格问题，作图（旋转和平移变换），勾股定理，弧长的计算。【分析】（1）根据网格结构找出点ABC平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可。（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1绕点A1顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理求出A1C1的长度，然后根据弧长公式列式计算即可得解。例4.（2012安徽省8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是网格线的交点）和点A1.（1）画出一个格点A1B1C1，并使它与ABC全等且A与A1是对应点；（2）画出点B关于直线AC的对称点D，并指出AD可以看作由AB绕A点经过怎样的旋转而得到的.【答案】解：（1）答案不唯一，如图，平移即可：(2)作图如上，AB=，AD=，BD=，AB2+AD2=BD2。ABD是直角三角形。AD可以看作由AB绕A点逆时针旋转90°得到的。【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。【分析】（1）利用ABC三边长度，画出以A1为顶点的三角形三边长度即可，利用图象平移，可得出A1B1C1。（2）利用点B关于直线AC的对称点D，得出D点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出AD与AB的位置关系。例5.（2012海南省8分）如图，在正方形网络中，ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（2，4）、（2，0）、（4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出ABC关于原点O对称的A1B1C1.（2）平移ABC，使点A移动到点A2（0，2），画出平移后的A2B2C2并写出点B2、C2的坐标.（3）在ABC、A1B1C1、A2B2C2中，A2B2C2与 成中心对称，其对称中心的坐标为 .【答案】解：（1）ABC关于原点O对称的A1B1C1如图所示：（2）平移后的A2B2C2如图所示： 点B2、C2的坐标分别为（0，2），（2，1）。（3）A1B1C1；（1，1）。【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。【分析】（1）根据中心对称的性质，作出A、B、C三点关于原点的对称点A1、B1、C1，连接即可。 （2）根据平移的性质，点A（2，4）A2（0，2），横坐标加2，纵坐标减2，所以将B（2，0）、C（4，1）横坐标加2，纵坐标减2得到B2（0，2）、C2（2，1），连接即可。 （3）如图所示。例6.（2012江苏泰州10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到A1B1C1，然后将A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到A1B2C2（1）在网格中画出A1B1C1和A1B2C2；（2）计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）【答案】解：（1）如图所示：（2）图中是边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，。将ABC向下平移4个单位AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=8。再向右平移3个单位AC所扫过的面积是以3为底，以2为高的平行四边形的面积：4×2=6。当A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心以以为半径，圆心角为90°的扇形的面积，重叠部分是以A1为圆心，以为半径，圆心角为45°的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为： 线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积=86×=14+。【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出A1B1C1及A1B2C2即可。 （2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 例7.（2012甘肃白银3分）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是【 】 A B C D【答案】A。【考点】生活中的平移现象。【分析】根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小。观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到。故选A。练习题：1. （2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知ABC和DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得ABC的位似图形A1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点A1的坐标为 ，B1的坐标为 ，C1的坐标为 ；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使A1B1C1通过变换后得到A2B2C2，且A2B2C2恰与DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。3.（2012福建泉州9分）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（点O是坐标原点），解答下列问题：（1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移平移5个单位，再在向上平移5个单位，画出平移后的直线AB.（2）若点C在函数的图像上，ABC是以AB为底边的等腰三角形，请写出点C的坐标.4.（2012湖北武汉7分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，3)、(4，1)，先将线段AB沿一确定方向平移得到线段A1B1，点A的对应点为A1，点B1的坐标为(0，2)，在将线段A1B1绕远点O顺时针旋转90°得到线段A2B2，点A1的对应点为点A2(1)画出线段A1B1、A2B2；(2)直接写出在这两次变换过程中，点A经过A1到达A2的路径长5.（2012湖南张家界6分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点ABC向右平移4个单位得到A1B1C1，再将A1B1C1绕点C1点旋转180°得到A2B2C26.（2012四川凉山6分）如图，梯形ABCD是直角梯形（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形（不要求写作法）7.（2012辽宁丹东8分）已知：ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）.（正方形网格中， 每个小正方形的边长是1个单位长度）（1）画出ABC向下平移4个单位得到的A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出A2BC2，使A2BC2与ABC位似，且位似比为21，并直接写出C2点的坐标及A2BC2的面积二、点的平移：典型例题：例1. （2012广东肇庆3分）点M（2，）向上平移2个单位长度得到的点的坐标是【 】A（2，0） B（2，1） C（2，2） D（2，）【答案】B。【考点】坐标平移。【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，点M（2，-1）向上平移2个单位长度，12=1。平移后的点坐标是（2，1）。故选B。例2. （2012辽宁鞍山3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，4）向右平移2个单位长度后，再向下平移3个单位长度，得到点P1，则点P1的坐标为 【答案】（1，1）。【考点】坐标平移。【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，点P（1，4）向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，1+2=1，43=1。点P1的坐标为（1，1）。例2.（2012江苏泰州3分）如图，数轴上的点P表示的数是1，将点P向右移动3个单位长度得到点P，则点P表示的数是 【答案】2。【考点】数轴和数，平移的性质。【分析】如图，根据平移的性质，点P表示的数是2。例3.（2012安徽省4分）如图，A点在半径为2的O上，过线段OA上的一点P作直线，与O过A点的切线交于点B，且APB=60°，设OP= x，则PAB的面积y关于x的函数图像大致是【 】 【答案】D。【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】利用AB与O相切，BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象： AB与O相切，BAP=90°，OP=x，AP=2x，BPA=60°，AB=，APB的面积，（0x2）。PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0x2的部分。故选D。例4.（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线ABDCA的路径运动，回到点A时运动停止设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【 】ABC D【答案】D。【考点】动点问题的函数图象。【分析】因为动点P按沿折线ABDCA的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：AB，BD，DC，CA。 当动点P在AB上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。 当动点P在BD上时，函数y在动点P位于BD中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B错误。 当动点P在DC上时，函数y随x的增大而增大，故选项A，C错误。 当动点P在CA上时，函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。例5.（2012浙江温州4分）如图，在ABC中，C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，MPQ的面积大小变化情况是【 】A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小【答案】C。【考点】动点问题的函数图象。【分析】如图所示，连接CM，M是AB的中点，SACM=SBCM=SABC，开始时，SMPQ=SACM=SABC；由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，SMPQ=SABC；结束时，SMPQ=SBCM=SABC。MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C。例6.（2012湖北黄石3分）如图所示，已知A，B为反比例函数图像上的两点，动点P在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是【 】A. B. C. D. 【答案】D。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】把A，B分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ，A（ ，2），B（2， ）。在ABP中，由三角形的三边关系定理得：|APBP|AB，延长AB交x轴于P，当P在P点时，PAPB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大。设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入得： ，解得：。直线AB的解析式是。当y=0时，x= ，即P（ ，0）。故选D。例7.（2012辽宁大连3分）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线CDE上移动，若点C、D、E的坐标分别为（1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为【 】  A.1   B.2   C.3   D.4【答案】B。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质。【分析】抛物线的点P在折线CDE上移动，且点B的横坐标的最小值为1， 观察可知，当点B的横坐标的最小时，点P与点C重合。 C（1，4），设当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。 B（1，0），解得a=1。 当点B的横坐标的最小时抛物线的解析式为。 观察可知，当点A的横坐标的最大时，点P与点E重合，E（3，1）， 当点A的横坐标的最大时抛物线的解析式为。 令，即，解得或。 点A在点B的左侧，此时点A横坐标为2。故选B。 点A的横坐标的最大值为2。例8（2012北京市5分）操作与探究： （1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P. 点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段AB，其中点A，B的对应点分别为A，B如图1，若点A表示的数是，则点A表示的数是 ；若点B表示的数是2，则点B表示的数是 ；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E与点E重合，则点E表示的数是 ； （2）如图2，在平面直角坐标系xoy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m0,n0），得到正方形ABCD及其内部的点，其中点A,B的对应点分别为A,B。已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F与点F重合，求点F的坐标。【答案】解：（1）0；3；。（2）根据题意得， ，解得.设点F的坐标为（x，y），对应点F与点F重合，解得。点F的坐标为（1，4）。【考点】坐标与图形的平移变化，数轴，正方形的性质，平移的性质。【分析】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解： 点A：3×+1=1+1=0。设点B表示的数为a，则a+1=2，解得a=3。设点E表示的数为b，则a+1=b，解得b=。（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可。例9. （2012江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。（1）写出y与x之间的函数关系式 ；（2）若点E与点A重合，则x的值为 ；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）y=x24x。 （2）或。 （3）存在。 过点P作PHAB于点H。则 点D关于直线PE的对称点D落在边AB上， P D=PD=4x，E D=ED= y=x24x，EA=ADED= x24x2，P DE=D=900。 在RtDP H中，PH=2， DP =DP=4x，DH=。 E DA=1800900P DH=900P DH=DP H，P DE=P HD =900， E DADP H。，即， 即，两边平方并整理得，2x24x1=0。解得。当时，y=，此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。当时，y=，此时，点E在边AD上，符合题意。当时，点D关于直线PE的对称点D落在边AB上。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。【分析】（1）CM=1，CP=x，DE=y，DP=4x，且MCPPDE， ，即。y=x24x。（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=x24x，x24x2=0。 解得。（3）过点P作PHAB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D落在边AB上，可得E DA与DP H相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。例10. （2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为. 当 时，求弦PA、PB的长度；当x为何值时，的值最大？最大值是多少？【答案】解：（1）O与直线l相切于点A，AB为O的直径，ABl。又PCl，ABPC. CPA=PAB。AB为O的直径，APB=90°。PCA=APB.PCAAPB。，即PA2=PC·PD。PC=，AB=4，。在RtAPB中，由勾股定理得：。（2）过O作OEPD，垂足为E。 PD是O的弦，OFPD，PF=FD。 在矩形OECA中，CE=OA=2，PE=ED=x2。 CD=PCPD= x2（x2）=4x 。当时，有最大值，最大值是2。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出PCA与PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在RtAPB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值练习题：1. （2012山东东营3分）将点A（2，1）向左平移2个单位长度得到点A，则点A的坐标是【 】 A(2，3) B（2，）C（4，1）D. （0，1）2.（2012广西来宾3分）在平面直角坐标系中，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是【 】A（1，2） B（3，2） C（1，4） D（1，0）3.（2012广西玉林、防城港3分）在平面直角坐标系中，一青蛙从点A(1，0)处向右跳2个单位长度，再向上跳2个单位长度到点A处，则点A的坐标为 .4.（2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OAADDC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度设E运动秒x时，EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【 】ABCD5.（2012四川内江3分）如图，正ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），,则y关于x的函数的图像大致为【 】 A. B. C. D. 6.（2012江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，DAB=60°点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动当P运动到C点时，P、Q都停止运动设点P运动的时间为ts（1）当P异于AC时，请说明PQBC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？7. （2012广东河源9分）如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正半轴上的动点，满足PQO60º(1)点B的坐标是 ，CAO º，当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；(2)设点P的横坐标为x，OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围8. （2012福建南平14分）如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且1=B=C（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一： ；结论二： ；结论三： （2）若B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此时BD的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）9. （2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，AOC=60o，OC=4cmOA=8cm动点P从点O出发，以1cms的速度沿线段OAAB运动；动点Q同时从点O出发，以acms的速度沿线段OCCB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动 设运动时间为t秒 (1)填空：点C的坐标是(_，_)，对角线OB的长度是_cm；(2)当a=1时，设OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大? (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围10. （2012福建福州13分）如图，在RtABC中，C90º，AC6，BC8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PDBC，交AB于点D，连接PQ点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t0)(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB_，PD_(2) 是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3) 如图，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长11.（2011湖北黄石3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用表示第行第列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为，如果调整后的座位为，则称该生作了平移,并称为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当取最小值时，的最大值为 .三、直线（线段）的平移：典型例题：例1. （2012湖南娄底3分）对于一次函数y=2x+4，下列结论错误的是【 】A函数值随自变量的增大而减小B函数的图象不经过第三象限C函数的图象向下平移4个单位长度得y=2x的图象D函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）例2.（2012福建南平3分）将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是 【答案】y=2x1。【考点】一次函数图象与平移变换，待定系数法，直线上点的坐标理性认识各式的关系。【分析】直线y=2x经过点（0，0），向上平移1个单位后对应点的坐标为（0，1），平移前后直线解析式的k值不变，设平移后的直线为y=2xb。则2×0+b=1，解得b=1。所得到的直线是y=2x1。例3. （2012湖南娄底4分）如图，AB的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移到至A1B1，A1、B1的坐标分别为（2，a）、（b，3），则a+b= 【答案】2。【考点】坐标与图形平移变化。【分析】A（1，0）转化为A1（2，a）横坐标增加了1，B（0，2）转化为B1（b，3）纵坐标增加了1，a=0+1=1，b=0+1=1。a+b=1+1=2。例4.（2012江西南昌3分）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线【 】Aa户最长Bb户最长Cc户最长D三户一样长【答案】D。【考点】生活中的平移现象，平移的性质。【分析】根据平移的性质，对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观察到都是相等的。因此a b c三线长度相等。故选D。例5.（2012广西河池12分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点.（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0t4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）A（8，0），B（0，4）。 （2）AB=AC，OB=OC。C（0，4）。 设直线AC：，由A（8，0），C（0，4）得 ，解得。直线AC：。 直线l移动的速度为2，时间为t，OE=2t。设P， 在中，令x=2t，得，M（2t，）。 BC=8，PM=，OE=2t，EA=， 。 四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0t4）。 ， 四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。（3）存在。由（2），在0t4，即0t8时，AMP和APM不可能为直角。 若PAM为直角，则PACA，AOCPEA。 设P，则OC=4，OA=8，EA=8p，EP=， ，整理得，解得（舍去）。 当时，。P（3，10）。 当P（3，10）时，PAM是直角三角形。【考点】二次函数综合题，动直线问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定。【分析】（1）在中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=1或x=8。 A（8，0），B（0，4）。 （2）由AB=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得点C的坐标，从而用待定系数法求出直线AC的解析式，得到点M关于t的表达式，根据求出四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，应用二次函数最值的求法求出四边形PBCA的最大面积。 （3）存在。易知，AMP和APM不可能为直角。当PAM为直角时，AOCPEA，根据比例关系列出方程求解即可。例6.（2012广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=4，x2=2。 点A在点B的左侧，A、B点的坐标为A（4，0）、B（2，0）。 （2）由得，对称轴为x=1。 在中，令x=0，得y=3。 OC=3，AB=6，。在RtAOC中，。设ACD中AC边上的高为h，则有ACh=9，解得h=。如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点D。设L1交y轴于E，过C作CFL1于F，则CF=h=，。设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（4，0），B（0，3）坐标代入，得，解得。 21直线AC解析式为。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成