专题24.9切线长定理与内切圆-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】.docx

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.9切线长定理与内切圆姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2020西宁）如图，PA，PB与O分别相切于点A，B，PA2，P60°，则AB（）A3B2C23D3【分析】先判断出PAPB，进而判断出PAB是等边三角形，即可得出结论【解析】PA，PB与O分别相切于点A，B，PAPB，APB60°，PAB是等边三角形，ABAP2故选：B2（2020秋台州期中）如图，PA，PB分别切O与点A，B，MN切O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA7.5cm，则PMN的周长是（）A7.5cmB10cmC12.5cmD15cm【分析】根据切线长定理得MAMC，NCNB，然后根据三角形周长的定义进行计算【解析】直线PA、PB、MN分别与O相切于点A、B、C，MAMC，NCNB，PMN的周长PM+PN+MC+NCPM+MA+PN+NBPA+PB7.5+7.515（cm）故选：D3（2020秋樊城区期末）如图，PA，PB切O于A、B两点，CD切O于点E，交PA，PB于C，D若PCD的周长等于3，则PA的值是（）A32B23C12D34【分析】直接利用切线长定理得出ACEC，DEDB，PAPB，进而求出PA的长【解析】PA，PB切O于A、B两点，CD切O于点E，交PA，PB于C，D，ACEC，DEDB，PAPBPCD的周长等于3，PA+PB3，PA=32故选：A4（2020永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP交O于点M给出下列四种说法：PAPB；OPAB；四边形OAPB有外接圆；M是AOP外接圆的圆心其中正确说法的个数是（）A1B2C3D4【分析】利用切线长定理对进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对进行判断；由于只有当APO30°时，OP2OA，此时PMOM，则可对进行判断【解析】PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，PAPB，所以正确；OAOB，PAPB，OP垂直平分AB，所以正确；PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，OAPA，OBPB，OAPOBP90°，点A、B在以OP为直径的圆上，四边形OAPB有外接圆，所以正确；只有当APO30°时，OP2OA，此时PMOM，M不一定为AOP外接圆的圆心，所以错误故选：C5（2020秋林州市期中）如图，O为ABC的内切圆，AC10，AB8，BC9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为O的切线，则CDE的周长为（）A9B7C11D8【分析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q根据切线长定理得到NCMC，QEDQ所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可【解析】设AB，AC，BC，DE和圆的切点分别是P，N，M，Q，CMx，根据切线长定理，得CNCMx，BMBP9x，ANAP10x则有9x+10x8，解得：x5.5所以CDE的周长CD+CE+QE+DQ2x11故选：C6（2018秋龙岩期末）如图，PA、PB、CD分别切O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若P40°，则PAE+PBE的度数为（）A50°B62°C66°D70°【分析】由PA、PB、CD分别切O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，根据切线长定理即可得：CECA，DEDB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得PAE=12PCD，PBE=12PDC，继而求得PAE+PBE的度数【解析】PA、PB、CD分别切O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，CECA，DEDB，CAECEA，DEBDBE，PCDCAE+CEA2CAE，PDCDEB+DBE2DBE，CAE=12PCD，DBE=12PDC，即PAE=12PCD，PBE=12PDC，P40°，PAE+PBE=12PCD+12PDC=12（PCD+PDC）=12（180°P）70°故选：D7（2020秋曲靖期末）如图，ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若B65°，C75°，则EDF的度数是（）A65°B140°C55°D70°【分析】连接IE、IF，如图，根据切线的性质得到AEIAFI90°，利用四边形的内角和得到A180°EIF，再利用圆周角定理得到EDF90°12A，然后根据三角形内角和求出A，从而可计算出EDF【解析】连接IE、IF，如图，内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，OEAC，OFAB，AEIAFI90°，A180°EIF，EDF=12EIF，EDF90°12A，B65°，C75°，A180°BC180°65°75°40°，EDF90°12×40°70°故选：D8（2020秋张店区期末）如图，在RtABC中，C90°，BC3，AB5，O是RtABC的内切圆，则O的半径为（）A1B3C2D23【分析】根据三角形内切圆与内心的性质和三角形面积公式解答即可【解析】C90°，BC3，AB5，AC=AB2BC2=4，如图，分别连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，O是ABC内切圆，D、E、F为切点，ODBC，OEAC，OFAB于D、E、F，ODOEOF，SABCSBOC+SAOC+SAOB=12BCDO+12ACOE+12ABFO=12（BC+AC+AB）OD，C90°，12×ACBC=12（BC+AC+AB）OD，OD=3×43+4+5=1故选：A9（2021春鼓楼区校级月考）如图，O是ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，设ABC的面积、周长分别为S、l，O的半径为r，则下列等式：AED+BFE+CDF180°；S=12lr；2EDFA+C；2（AD+CF+BE）l，其中成立的是（）ABCD【分析】正确，首先证明AEDEFD,同法可证BFEEDF,CDFDEF,由EFD+EDF+DEF180°,可得AED+BFE+CDF180°正确，利用面积法证明即可正确，证明BEF+BFEBAC+ACB,可得结论正确，利用切线长定理解决问题即可【解析】如图，作直径ET,连接DTAB是O的切线，ETAB,AET90°,AED+DET90°,ET是直径，EDT90°,DET+ETD90°,AEDETD,EFDETD,AEDEFD,同法可证，BFEEDF,CDFDEF,EFD+EDF+DEF180°,AED+BFE+CDF180°,故正确，连接OA,OB,OC,OF,ODSSAOB+SBOC+SACO=12ABOE+12BCOF+12ACOD=12(AB+BC+AC)r=12lr,故正确，BAC+ACB+ABC180°,BEF+BFE+ABC180°BEF+BFEBAC+ACB,BEFEDF,BFEEDF,2EDFBAC+ACB,故正确，O是ABC的内切圆，切点分别相为点D、E、F，AEAD,CDCF,BEBF,2(AD+CF+BE)l,故正确，故选：A10（2021江西模拟）如图，已知点O为勾股形ABC（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中A为直角点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且ADOAFOBEO90°，若BD4，CF6，则正方形ADOF的面积是（）A2B4C3D16【分析】由三角形内心性质可先证明四边形ADOF为正方形设ADAFx，由三角形内切圆的性质可得BEBD4，CECF6，BCBE+CEBD+CF10，在RtABC中，根据AC2+BA2BC2建立勾股定理方程即可得正方形ADOF的边长，进而可求面积【解析】ADOAFOA90°，四边形ADOF为矩形，又点O为内心，故ODOF，四边形ADOF为正方形设ADAFx，由三角形内切圆可得D、E、F为切点，BEBD4，CECF6，BCBE+CEBD+CF10，在RtABC中，AC2+BA2BC2，即（6+x）2+（4+x）2102，解得：x12，x212（舍去）正方形ADOF的边长为2，面积为4故选：B二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2020秋虎林市期末）如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、B，若APB60°，PA4则O的半径是433【分析】连接OA、OB、OP，PA、PB为圆O的两条切线，由切线长定理可知：PAPB，OBPA，OAPA；可证明PBOPAO，可求得APO的度数，再由APO的正切值可得出OA的长，即圆半径的长【解析】连接OA、OB、OP，如下图所示：PA、PB为圆O的两条切线，由切线长定理可知：PAPB，OBPA，OAPA；OA、OB为半径长，POPO，PBOPAO（SSS），APOBPO30°；tanAPO=OAAP=33，OA=33×PA=433，所以圆的半径为433，故此题应该填43312（2020秋西华县期中）如图，AB、AC、BD是O的切线，P、C、D为切点，如果AB8，AC5，则BD的长为3【分析】由AB、AC、BD是O的切线，则ACAP，BPBD，求出BP的长即可求出BD的长【解析】AC、AP为O的切线，ACAP，BP、BD为O的切线，BPBD，BDPBABAP853故答案为：313（2020秋莫旗期末）如图，从点P引O的切线PA，PB，切点分别为A，B，DE切O于C，交PA，PB于D，E若PDE的周长为20cm，则PA10cm【分析】由于PA、PB、DE都是O的切线，可根据切线长定理将PDE的周长转化为切线PA、PB的长【解析】PA、PB、DE分别切O于A、B、C，PAPB，DADC，ECEB；CPDEPD+DE+PEPD+DA+EB+PEPA+PB20；PAPB10，故答案为1014（2020春沙坪坝区校级月考）如图，O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD若AOB108°，则COD的度数是72°【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出2+3DOC70°【解析】如图所示：连接圆心与各切点，在RtDEO和RtDFO中DO=DODE=DF，RtDEORtDFO（HL），12，同理可得：RtAFORtAMO，RtBMORtBNO，RtCEORtCNO，34，57，68，5+67+8108°，22+23360°2×108°，2+3DOC72°故答案为：72°15（2019秋中山市期末）如图，四边形ABCD是O的外切四边形，且AB10，CD15，则四边形ABCD的周长为50【分析】根据切线长定理得到AEAH，BEBF，CFCG，DHDG，得到AD+BCAB+CD25，根据四边形的周长公式计算，得到答案【解析】四边形ABCD是O的外切四边形，AEAH，BEBF，CFCG，DHDG，AD+BCAB+CD25，四边形ABCD的周长AD+BC+AB+CD25+2550，故答案为：5016（2020秋长沙期末）在ABC中，C90°，AC6，BC8，则ABC的内切圆半径r2【分析】设O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，由切线的性质易证四边形CEOF为正方形，得到CECFr，由切线长定理得AEAG6r，BFBG8r，利用6r+8r10可求出r【解析】如图，O切AC于点E，切BC于F，切AB于G，连接OE，OF，OEAC，OFBC，正方形CEOF为正方形，C90°，AC6，BC8，AB10，设O的半径为r，则CECFr，AEAG6r，BFBG8r，ABAG+BGAE+BF，即6r+8r10，解得：r2故答案为：217（2021越秀区校级模拟）如图，在RtABC中，C90°，A、B、C的对边分别为a、b、c，a10，O内切于RtABC，且半径为4，则a+b+c60【分析】设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，则ODAC，OEBC，OFAB，RtABC中，AC²+BC²AB²，可得b²+10²(b+2)²，解得b24，进而可得答案【解析】设切点分别是D、E、F，连接OD、OE、OF，则ODAC，OEBC，OFAB，C90°，四边形OECD是正方形，CECDr4，ADb4，BE1046，根据切线长定理可得：AFADb4,BFBE6,ABcb4+6b+2，RtABC中，AC²+BC²AB²，b²+10²(b+2)²，解得b24，cb+226，a+b+c10+24+2660故答案为：6018（2021雁塔区校级模拟）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记AOD、AOB、COB、DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为S1+S3S2+S4【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OEAD，OFCD，OGBCOHAB，OEOFOGOHr，设DEDFa，AEAHb，BHBGc，CGCFd，推出S1+S3=12r（a+b）r+12 r（c+d）=12r（a+b+c+d）S2+S4【解析】如图设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OEAD，OFCD，OGBCOHAB，OEOFOGOHr，设DEDFa，AEAHb，BHBGc，CGCFd，S1=12r（a+b）r，S2=12r （b+c） S3=12 r（c+d），S4=12r（a+d），S1+S3=12r（a+b）r+12 r（c+d）=12r（a+b+c+d），S2+S4=12r（a+d）+12r （b+c）=12r（a+b+c+d），S1+S3S2+S4故答案为S1+S3S2+S4三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021滨海县一模）如图，PA、PB是O的切线，CD切O于点E，PCD的周长为12，APB60°求：（1）PA的长；（2）COD的度数【分析】（1）可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PCD的周长等于PA+PB的结论，即可求出PA的长；（2）根据三角形的内角和求出ACD和BDC的度数和，然后根据切线长定理，得出DCO和ODE的度数和，再根据三角形的内角和求出COD的度数【解析】（1）CA，CE都是圆O的切线，CACE，同理DEDB，PAPB，三角形PCD的周长PD+CD+PCPD+PC+CA+BDPA+PB2PA12，即PA的长为6； （2）P60°，PCE+PDE120°，ACD+CDB360°120°240°，CA，CE是圆O的切线，OCEOCA=12ACD；同理：ODE=12CDB，OCE+ODE=12（ACD+CDB）120°，COD180120°60°20（2020秋钦州期末）如图，E为ABC的内心，连接AE并延长交ABC的外接圆于点D求证：DEDB【分析】根据点E是ABC的内心得出BADCAD，ABECBE，求出BEDEBD，即可得出答案【解析】证明：如图，连接BE，点E是ABC的内心，BADCAD，ABECBE，CBDCAD，BADCBD，BEDABE+BAD，ABECBE，BADCADCBD，EBDCBE+CBD，BEDEBD，EDBD；21（2021瑶海区模拟）已知：如图，在ABC中，点I是ABC的内心（三角形三条角平分线的交点），延长AI与ABC的外接圆交于点D，连接BD，DC求证：（1）DIDB；（2）若BAC60°，BC23，求DI的长【分析】（1）连接BI，由三角形的内心得BADCAD，ABICBI，再由三角形的外角性质和圆周角定理得BIDIBD，即可得出结论；（2）过点D作DEBC于E，由（1）得：BADCAD，则BD=CD，得BDCD，再由等腰三角形的性质得BECE=12BC=3，然后证DBCBCD30°，由含30°角的直角三角形的性质即可解决问题【解析】（1）证明：连接BI，如图1所示：点I是ABC的内心，AD平分BAC，BADCAD，ABICBI，BIDBAI+IBA，IBDCBI+CBD，CBDCAD，BIDIBD，DIDB；（2）解：过点D作DEBC于E，如图2所示：由（1）得：BADCAD，BD=CD，BDCD，DEBC，BECE=12BC=3，BAC60°，BADCAD30°，DBCBCD30°，DE=33BE1，BD2DE2，DIBD222（2020秋大冶市期末）如图，点E是ABC的内心，AE的延长线和ABC的外接圆O相交于点D、过D作直线DGBC（1）求证：DG是O的切线；（2）求证：DECD；（3）若DE25，BC8，求O的半径【分析】（1）连接OD交BC于H，根据圆周角定理和切线的判定即可证明；（2）连接BD，由点E是ABC的内心，得到ABECBE，DBCBAD，推出BEDDBE，根据等角对等边得到BDDE，即可得到结论；（3）根据垂径定理和勾股定理即可求出结果【解析】（1）证明：连接OD交BC于H，如图，点E是ABC的内心AD平分BAC，即BADCAD，BD=CD，ODBC，BHCH，DGBC，ODDG，DG是O的切线；（2）证明：连接BD，点E是ABC的内心，ABECBE，DBCBAD，DEBBAD+ABEDBC+CBEDBE，即BEDDBE，BDDE，BD=CD，BDCD，DECD；（3）解：连接OD，OB，如图，由（1）得ODBC，BHCH，BC8，BHCH4，DE25，BDDE，BD25，在RtBHD中，BD2BH2+HD2，（25）242+HD2，解得：HD2，在RtBHO中，r2BH2+（r2）2，解得：r523（2020秋宁蒗县期末）已知：在ABC中，C90°，I是RtABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由（2）若AC8，BC6，求半径IE的长【分析】（1）根据I是RtABC的内切圆，证明四边形IECF是矩形，由IEIF，可得结论；（2）根据勾股定理可得AB的长，设半径IE的长为x，根据切线长定理列出方程即可求得半径的长【解析】（1）四边形IECF是正方形，理由如下：I是RtABC的内切圆，即AC、BC都是I的切线，IECIFC90°，C90°，四边形IECF是矩形，IEIF，四边形IECF是正方形；（2）在ABC中，C90°，AC8，BC6，AB=AC2+BC2=82+62=10，由切线长定理可知：AEAD，BDBF，CECF，设半径IE的长为x，则CECFx，AEAD8x，BDBF6x，（8x）+（6x）10，解得x2，IE的长为224（2020滦州市模拟）如图，在ABC中，ABAC，AI平分BAC，O是AB边上一点，以点O为圆心，OB为半径的O切AI于点I，交AB于点F（1）求证：I是ABC的内心；（2）连接IF，若IF2，IBC30°，求圆心O到BI的距离及弧IF的长【分析】（1）延长AI交BC于D，连接OI根据AI是O的切线，即可完成证明；（2）作OEBI于点E，由垂径定理可得OE平分BI，得OE是FBI的中位线，进而可得圆心O到BI的距离，证明FOI是等边三角形，即可得弧IF的长【解析】（1）证明：如图，延长AI交BC于D，连接OIO切AI于点I，OIAIABAC，AI平分BACADBCOIBDOIBIBDOBOI，ODBOBIOBIIBDBI平分ABCAI平分BACI是ABC的内心；（2）解：作OEBI于点E，由垂径定理可知：OE平分BI，E是BI的中点，OBOF，OE是FBI的中位线，IF2，OE=12IF1，圆心O到BI的距离为1；IBC30°，在RtOBE中，OB2OE2，OFOIFI，FOI是等边三角形，FOI60°，弧IF的长度=60×2180=23不得