专题22.5二次函数与一元二次方程-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典.docx

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2.5二次函数与一元二次方程姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分100分，试题共24题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021绥宁县一模）二次函数yx2+2kx+k21（k为常数）与x轴的交点个数为（）A1B2C0D无法确定【分析】先求出的取值范围，根据的取值范围即可求出函数图象与x轴交点的个数【解析】（2k）24（k21）40，抛物线与x轴有2个交点故选：B2（2020秋东安县期末）关于函数yx24x+4的图象与x轴的交点个数，下列说法正确的是（）A两个相同的交点B两个不同的交点C没有交点D无法判断【分析】由b24ac（4）24×1×40，即可求解【解析】b24ac（4）24×1×40，故图象与x轴有一个交点，故选：A3（2020秋庐江县期末）已知抛物线yx2x1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2m+2021的值为（）A2020B2021C2022D2023【分析】先求出m2m的值，再代入代数式进行计算即可【解析】抛物线yx2x2与x轴的一个交点为（m，0），m2m10，m2m1，m2m+20211+20212022故选：C4（2020阜新）已知二次函数yx2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A图象的开口向上B图象的顶点坐标是（1，3）C当x1时，y随x的增大而增大D图象与x轴有唯一交点【分析】先利用配方法得到y（x1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程x2+2x+40可对D进行判断【解析】yx2+2x+4（x1）2+5，抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而增大，解方程x2+2x+40，解得x11+5，x21-5，抛物线与x轴有两个交点故选：C5（2020大连）抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A（72，0）B（3，0）C（52，0）D（2，0）【分析】根据抛物线的对称性和（1，0）为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标【解析】设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1x2，根据两个交点关于对称轴直线x1对称可知：x1+x22，即x212，得x23，抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故选：B6（2020雁塔区校级模拟）已知二次函数yax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x1013y3131下列结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为直线x1；当x2时，函数值y随x的增大而增大；方程ax2+bx+c0有一个根大于4其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据表格数据求出二次函数解析式，即可判断，再将解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可判断、，当y0时，解方程即可判断【解析】根据题意：将点（1，3）、（0，1）、（1，3）代入二次函数yax2+bx+c中，a-b+c=-3c=1a+b+c=3，解得a=-1b=3c=1，所以二次函数yx2+3x+1，a10，抛物线的开口向下，所以正确；yx2+3x+1（x-32）2+134，则图象的对称轴为直线x=32，所以错误；图象的对称轴为直线x=32，当x32时，函数值y随x的增大而增大，所以错误；当y0时，（x-32）2+134=0，解得x1=3-132，x2=3+132，3134，33+13272，所以方程ax2+bx+c0有一个根小于4，所以错误综上所述：其中正确的结论有故选：A7（2020碑林区校级模拟）如图所示，二次函数yx2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2mx+t0（t为实数）在1x6的范围内有解，则t的取值范围是（）A12t3B12t4C3t4Dt12【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为yx2+4x，再计算出自变量为1和6对应的函数值，然后利用函数图象写出直线yt与抛物线yx2+4x在1x6时有公共点时，t的范围即可【解析】抛物线的对称轴为直线x=-m2×(-1)=2，解得m4，抛物线解析式为yx2+4x，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x1时，yx2+4x1+43；当x6时，yx2+4x36+2412，当x2时，y4，在1x6时有公共点时当直线yt与抛物线yx2+4x在1x6时有公共点时，12t4，故选：B8（2020和平区三模）已知二次函数yx2+x+6及一次函数y2xm，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y2xm与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（）A4m6B-254m4C6m334D-254m6【分析】当直线位于直线a、b的位置时，直线y2xm与新函数图象有3个交点，直线y2xm处于a、b之间时，有4个交点，即可求解【解析】令yx2+x+60，则x2或3，即抛物线与x轴交点的坐标为（2，0）、（3，0），二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，根据点的对称性，两个图象关于x轴对称，则新图象的表达式为：yx2+x+6，即yx2x6，如下图，当直线位于直线a、b的位置时，直线y2xm与新函数图象有3个交点，处于a、b之间时，有4个交点，当直线处于直线a的位置时，将（3，0）代入y2xm并解得：m6；当直线处于直线b的位置，即直线与yx2x6只有一个交点，联立两个函数表达式并整理得：x23x+m60，则（3）24（m6）0，解得：m=334；故选：C9（2020鼓楼区校级模拟）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，则下列命题中：b2a；此抛物线向下移动c个单位后过点（2，0）；1a-12；方程x22x+1c=0有实数根，结论正确的个数（）A1个B2个C3个D4个【分析】A函数的对称轴为x=-b2a=1，即可求解；B新抛物线表达式为：yax2+bxax22axax（x2），即可求解；Cx1时，yab+c0，x1时，ya+b+c2，即b=-2aa+b+c=2a-b+c0，即可求解；D4a24a4a（a1），而1a-12，故0，即可求解【解析】A函数的对称轴为x=-b2a=1，解得：b2a；故A正确；B此抛物线向下移动c个单位后，新抛物线表达式为：yax2+bxax22axax（x2），则x2时，y0，故抛物线过点（2，0），故B正确；Cx1时，yab+c0，x1时，ya+b+c2，即b=-2aa+b+c=2a-b+c0，解得：1a-12，故C正确；Da0，x22x+1c=0变形为ax22ax+10，4a24a4a（a1），而1a-12，0，故方程x22x+1c=0有实数根，故D正确；故选：D10（2019秋柯桥区期中）如图是抛物线yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：b2a；can；抛物线另一个交点（m，0）在2到1之间；当x0时，ax2+（b+2）x0；一元二次方程ax2+（b-12）x+c0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据抛物线的对称轴公式即可求解；当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解；根据抛物线的对称性即可求解；根据抛物线的平移即可求解；根据一元二次方程的判别式即可求解【解析】因为抛物线的对称轴为x1，即-b2a=1，所以b2a，所以错误；当x1时，yn，所以a+b+cn，因为b2a，所以a+cn，所以正确；因为抛物线的顶点坐标为（1，n），即对称轴为x1，且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，所以抛物线另一个交点（m，0）在2到1之间；所以正确；因为ax2+（b+2）x0，即ax2+bx2x根据图象可知：把抛物线yax2+bx+c（a0）图象向下平移c个单位后图象过原点，即可得抛物线yax2+bx（a0）的图象，所以当x0时，ax2+bx2x，即ax2+（b+2）x0所以正确；一元二次方程ax2+（b-12）x+c0（b-12）24ac因为根据图象可知：a0，c0，所以4ac0，所以（b-12）24ac0所以一元二次方程ax2+（b-12）x+c0有两个不相等的实数根所以正确故选：D二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11（2021顺义区二模）二次函数yx2+c的图象与x轴无交点，写出一个满足条件的实数c的值为1（答案不唯一）【分析】与x轴的交点个数跟抛物线y0时，一元二次方程根的个数有关0，则无实数根【解析】二次函数yx2+c的图象与x轴无交点则令y0，0x2+c，04×1×c0，c0，此答案不唯一只要c0即可，故答案为：1（答案不唯一）12（2021丰台区二模）已知抛物线yx2（m+1）x与x轴的一个交点的横坐标大于1且小于2，则m的取值范围是0m1【分析】根据函数解析式求出二次函数与x轴两个交点的坐标，根据坐标大于1且小于2确定m的取值范围即可【解析】令yx2（m+1）x0，解得：x0，x'm+1，抛物线与x轴的两个交点为（0，0）和（m+1，0），其中一个交点的横坐标大于1且小于2，1m+12，即0m1，故答案为：0m113（2020秋渝中区期末）已知抛物线yx22x+n与x轴只有一个公共点，则n1【分析】由（2）24×1×n0，即可求解【解析】由题意得：（2）24×1×n0，解得n1，故答案为114（2020立山区二模）若二次函数ymx2+（m2）x+m的顶点在x轴上，则m2或23【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可【解析】二次函数ymx2+（m2）x+m的顶点在x轴上，4mm-(m-2)24m=0，解得m2或23故答案为：2或2315（2020朝阳）抛物线y（k1）x2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是k54且k1【分析】直接利用根的判别式得到（1）24×（k1）×10，再利用二次函数的意义得到k10，然后解两不等式得到k的范围【解析】抛物线y（k1）x2x+1与x轴有交点，（1）24×（k1）×10，解得k54，又k10，k1，k的取值范围是k54且k1；故答案为：k54且k116（2020包头）在平面直角坐标系中，已知A（1，m）和B（5，m）是抛物线yx2+bx+1上的两点，将抛物线yx2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为4【分析】根据点A（1，m）和B（5，m）是抛物线yx2+bx+1上的两点，可以得到b的值，然后将函数解析式化为顶点式，再根据题目中的条件，即可得到正整数n的最小值，本题得以解决【解析】点A（1，m）和B（5，m）是抛物线yx2+bx+1上的两点，-b2×1=-1+52，解得，b4，抛物线解析式为yx24x+1（x2）23，将抛物线yx2+bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，n的最小值是4，故答案为：417（2020铁西区二模）二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图，图象过点（1，0），对称轴为直线x2，下列结论：4a+b0；9a+c3b；，3a+c0；当x1时，y的值随x值的增大而增大；4a+2bam2bm（m为任意实数）其中正确的结论有（填序号）【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可【解析】抛物线过点（1，0），对称轴为直线x2，因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），ab+c0，x=-b2a=2，即4a+b0，因此正确；当x3时，y9a3b+c0，即9a+c3b，因此不正确；当x5时，y25a+5b+c0，又b4a，所以5a+c0，而a0，因此有3a+c0，故正确；在对称轴的左侧，即当x2时，y随x的增大而增大，因此不正确；当x2时，y最大4a+2b+c，当xm时，yam2+bm+c，因此有4a+2bam2+bm，故错误；综上所述，正确的结论有：，故答案为：18.（2020秋上虞区期末）已知自变量为x的二次函数y（ax+m）（x+3m）经过（t，3）、（t4，3）两点，若方程（ax+m）（x+3m）0的一个根为x1，则其另一个根为5或3【分析】当x0时，y3，故二次函数y（ax+m）（x+3m）必经过定点（0，3），则二次函数y（ax+m）（x+3m）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（4，3）（0，3）两点，进而求解、【解析】二次函数y（ax+m）（x+3m），当x0时，y3，二次函数y（ax+m）（x+3m）必经过定点（0，3），二次函数y（ax+m）（x+3m）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（4，3）（0，3）两点，对称轴为：x=12（0+4）2或x=12（4+0）2，方程y（ax+m）（x+3m）0的一个根为x1，另一个根为3或5，故答案为3或5三、解答题（本大题共6小题，共46分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19（2021郧西县模拟）已知关于x的方程x2+（2m1）x+m210（1）m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若抛物线yx2+（2m1）x+m21交x轴于A，B两点，且AB3，求m的值【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系找出x1+x212m，x1x2m21，进而求解【解析】（1）关于x的方程x2+（2m1）x+m210有两个不相等的实数根x1和x2（2m1）24（m21）4m+50，m54；（2）设方程两个实数根分别为x1，x2，则x1+x212m，x1x2m21，而AB|x1x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(1-2m)2-4(m2-1)=3，解得m120（2020秋奎文区期末）已知二次函数yx24x+m（m为常数）（1）若其图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）求其图象与直线ym+5交点的横坐标【分析】（1）根据题意得，b24ac164m0，即可求解；（2）根据题意得，x24x+mm+5，即可求解【解析】（1）根据题意得，b24ac164m0，m4；（2）根据题意得，x24x+mm+5，解得，x15，x21，图象与直线ym+5交点的横坐标为5或121（2021宁波模拟）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且二次函数图象的顶点坐标为（1，4），点C，D是抛物线上的一对对称点，一次函数的图象过点B，D（1）求A，B两点的坐标（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围【分析】（1）根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后令y0，解一元二次方程即可求得A、B的坐标；（2）求得D点的坐标，然后根据图象即可求得【解析】（1）设二次函数的表达式为ya（x+1）2+4，把点C（0，3）代入，得3a+4，解得a1，二次函数的表达式为yx22x+3，当y0时，解得x1或x3，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）点C，D是抛物线上的一对对称点，C（0，3），对称轴为直线x1，D（2，3），由图象可知，使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围x2或x122（2020玄武区二模）已知函数ym（x1）2+2（x1）（m为常数）（1）求证：无论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点；（2）若该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数，求m的值【分析】（1）需要分类讨论：该函数是一次函数时，求得其函数图象与x轴交点坐标；该函数是二次函数时，观察ym（x1）2+2（x1）可化为y（x1）m（x1）+2，由此得到抛物线与x轴的交点坐标；（2）需要分类讨论：该函数是一次函数和二次函数，根据函数解析式求得函数图象与坐标轴的交点坐标，结合条件“该函数的图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数”来求m的值即可【解答】（1）证明：当m0时，该函数是一次函数y2x2，其函数图象与x轴交点坐标是（1，0）；当m0时，ym（x1）2+2（x1）（x1）m（x1）+2，该抛物线与x轴交点横坐标分别是1和1-2m无论m取何值，该抛物线与x轴总交于点（1，0）；（2）解：若m0，则y2x2，此时函数与x轴，y轴交点分别是（1，0），（0，2），符合题意；若m0时，则函数与x轴交点分别是（1，0），（1-2m，0），与y轴交点是（0，m2）即当m2是整数时，1-2m也是整数，所以m±1，±2综上所述，m2，1，0，1，223（2020南通）已知抛物线yax2+bx+c经过A（2，0），B（3n4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x1关于x的方程ax2+bx+cx有两个相等的实数根（1）求抛物线的解析式；（2）若n5，试比较y1与y2的大小；（3）若B，C两点在直线x1的两侧，且y1y2，求n的取值范围【分析】（1）由题意可得04a+2b+c，-b2a=1，（b1）24ac0，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；（2）由n5，可得点B，点C在对称轴直线x1的左侧，由二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解【解析】（1）抛物线yax2+bx+c经过A（2，0），04a+2b+c，对称轴是直线x1，-b2a=1，关于x的方程ax2+bx+cx有两个相等的实数根，（b1）24ac0，由可得：a=-12b=1c=0，抛物线的解析式为y=-12x2+x；（2）n5，3n419，5n+619点B，点C在对称轴直线x1的左侧，抛物线y=-12x2+x，-120，即y随x的增大而增大，（3n4）（5n+6）2n102（n+5）0，3n45n+6，y1y2；（3）若点B在对称轴直线x1的左侧，点C在对称轴直线x1的右侧时，由题意可得3n-415n+611-(3n-4)5n+6-1，0n53，若点C在对称轴直线x1的左侧，点B在对称轴直线x1的右侧时，由题意可得：3n-415n+613n-4-11-(5n+6)，不等式组无解，综上所述：0n5324（2020黑龙江）如图，已知二次函数yx2+（a+1）xa与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知BAC的面积是6（1）求a的值；（2）在抛物线上是否存在一点P，使SABPSABC若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由【分析】（1）由yx2+（a+1）xa，令y0，即x2+（a+1）xa0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a3；（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标【解析】（1）yx2+（a+1）xa，令x0，则ya，C（0，a），令y0，即x2+（a+1）xa0解得x1a，x21由图象知：a0A（a，0），B（1，0）SABC612（1a）（a）6解得：a3，（a4舍去）；（2）a3，C（0，3），SABPSABCP点的纵坐标为±3，把y3代入yx22x+3得x22x+33，解得x2或x0（与点C重合，舍去）；把y3代入yx22x+3得x22x+33，解得x1+7或x1-7，P点的坐标为（2，3）或（1+7，3）或（1-7，3）