2022版高中数学第三章不等式本章达标检测含解析北师大版必修5（Word含答案）.docx

本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.关于x的一元二次不等式5x+6<x2的解集为()A.x|x<-1或x>6B.x|-1<x<6C.x|x<-2或x>3D.x|-2<x<32.若x<0,M=5x2+x+2,N=4x(x+1),则M与N的大小关系为()A.M>NB.M=NC.M<ND.无法确定3.若a,bR,-2a4,1b3,则a-2b的取值范围是()A.-4,2B.-3,1C.-8,2D.-7,74.不等式1x<12的解集是()A.(-,2)B.(2,+)C.(0,2)D.(-,0)(2,+)5.不等式(x+5)(3-2x)6的解集是()A.xx-1或x92B.x-1x92C.xx-92或x1D.x-92x16.设点(x,y)满足不等式组x+y5,3x+2y12,0x3,0y4,则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点(x,y)是()A.(1,2)B.(1,3)C.(2,3)D.(2,4)7.若关于x的不等式2x2-8x-4-a0在1x4内有解,则实数a的取值范围是()A.a-4B.a-4C.a-12D.a-128.已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.89.已知a,b为正实数,若函数f(x)=ax3+bx+ab-1是奇函数,则f(2)的最小值是()A.2B.4C.8D.1610.若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0交于M、N两点,且M、N关于直线x-y=0对称,动点P(a,b)在不等式组kx-y+20,kx-my0,y0表示的平面区域内部及边界上运动,则=b-2a-1的取值范围是()A.2,+)B.(-,-2C.-2,2D.(-,-22,+)11.若正数a,b满足1a+1b=1,则1a-1+9b-1的最小值为()A.16B.9C.6D.112.已知函数f(x)=x2+4x2-3,g(x)=kx+2,若对任意的x1-1,2,总存在x21,3,使得g(x1)>f(x2),则实数k的取值范围是(深度解析)A.12,1B.-13,23C.-12,1D.以上都不对二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.不等式2x2+2x-412的解集为. 14.若m2x-1mx+1<0(m0)对一切x4恒成立,则实数m的取值范围是. 15.设实数x,y满足不等式组x+y2,y-x2,y1,则(x+3)2+y2的取值范围是. 16.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数).若不等式f(x)2ax+b的解集为R,则b2a2+c2的最大值为. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)若函数f(x)=lg(8+2x-x2)的定义域为M,函数g(x)=1-2x-1的定义域为N,求集合M、N、MN.18.(本小题满分12分)某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产,已知该工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要的原材料A,B,C的数量和一周内可用资源数量如下表所示:原材料甲(吨)乙(吨)资源数量(吨)A1150B40160C25200如果甲产品每吨的利润为300元,乙产品每吨的利润为200元,那么怎么安排生产工厂每周获得的利润最大?并求出最大利润.19.(本小题满分12分)设函数y=ax2-(2a+1)x+2.(1)若该函数有且只有一个零点,求a的值;(2)求关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0的解集.20.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(aZ),若关于x的一元二次方程ax2-(a+2)x+1=0在(-2,-1)上只有一个实数根,求不等式f(x)>1的解集.21.(本小题满分12分)新型冠状病毒感染的肺炎在治疗过程中,需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元,每生产x千件需另投入成本为C(x)万元.当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000x-1450.每件药品售价为0.05万元,假设在疫情期间该公司生产的药品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)该公司决定将此药品所获年利润的1%用来捐赠,当年产量为多少千件时,此药品的年利润最大?此时可捐赠多少万元的防疫物资款?22.(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR)满足:对任意实数x,都有f(x)x;当x(1,3)时,有f(x)18(x+2)2成立.(1)求证:f(2)=2;(2)若f(-2)=0,求函数f(x)的解析式;(3)在(2)的条件下,若存在x0,+),使得f(x)-m2x<14成立,求实数m的取值范围.答案全解全析本章达标检测一、选择题1.A不等式5x+6<x2可化为x2-5x-6>0,即(x+1)(x-6)>0,解得x<-1或x>6,故不等式的解集为x|x<-1或x>6,故选A.2.A因为M-N=5x2+x+2-4x(x+1)=x2-3x+2=x-322-14,且x<0,所以M-N>0,所以M>N.3.C1b3,-6-2b-2,-2a4,-8a-2b2,故选C.4.D由1x<12,得1x-12=2-x2x<0,即x(x-2)>0,解得x<0或x>2,故选D.5.D解法一:取x=1检验,满足,排除A;取x=4检验,不满足,排除B、C,故选D.解法二:原不等式可化为2x2+7x-90,即(x-1)(2x+9)0,解得-92x1,故选D.6.C约束条件表示的可行域如图,因为目标函数z=6x+5y对应直线l的斜率为-65,所以当直线l过点A时,z取得最大值.由x+y=5,3x+2y=12,解得x=2,y=3,即A(2,3).7.A由题知不等式2x2-8x-4-a0在1x4内有解,则只需在1x4内a(2x2-8x-4)max即可,设y=2x2-8x-4,因为y=2x2-8x-4(1x4)在x=4时,取最大值-4,所以当a-4时,2x2-8x-4a在-1x4内有解.故选A.8.C依题意得kAB=5-12-4=-2,所以线段lAB:y-1=-2(x-4),x2,4,即y=-2x+9,x2,4,故2x-y=2x-(-2x+9)=4x-9,x2,4.设h(x)=4x-9,易知h(x)=4x-9在2,4上单调递增,故当x=4时,h(x)max=4×4-9=7.故选C.9.C因为函数f(x)是奇函数,所以f(0)=0,所以ab=1.又因为a,b为正实数,所以f(2)=8a+2b+ab-1=2(4a+b)2×24ab=8,当且仅当a=12,b=2时取等号,故选C.10.D由题意知直线y=kx+1与直线x-y=0垂直,所以k=-1,即直线为y=-x+1.又圆心C-k2,-m2在直线x-y=0上,所以可求得m=-1.所以不等式组为-x-y+20,-x+y0,y0,其表示的平面区域如图所示,=b-2a-1的几何意义是点Q(1,2)与平面区域内点P(a,b)连线的斜率.由图知,kOQ=2,kAQ=-2,故的取值范围是(-,-22,+).11.C1a+1b=1,a+b=ab,ab-a-b=0,ab-a-b+1=1,a(b-1)-(b-1)=1,(a-1)(b-1)=1.a>0,b>0,1a+1b=1,a>1,b>1,a-1>0,b-1>0,1a-1+9b-121a-1·9b-1=6,当且仅当1a-1=9b-1时,等号成立,由1a+1b=1,1a-1=9b-1,解得a=43,b=4,当a=43,b=4时,1a-1+9b-1取得最小值6.12.C对任意的x1-1,2,总存在x21,3,使得g(x1)>f(x2),g(x)min>f(x)min,f(x)=x2+4x2-32x2·4x2-3=1(当且仅当x2=2时取等号),f(x)min=1.当k>0时,若x-1,2,则g(x)-k+2,2k+2,只需满足1<-k+2,解得0<k<1.当k=0时,g(x)=2,满足题意.当k<0时,若x-1,2,则g(x)2k+2,-k+2,只需满足1<2k+2,解得-12<k<0.综上,实数k的取值范围是-12,1.方法总结已知函数y=f(x),xa,b,y=g(x),xc,d,且f(x),g(x)均存在最值,则有:(1)若对任意x1a,b,x2c,d,总有f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)min;(2)若任意x1a,b,存在x2c,d,有f(x1)<g(x2)成立,则f(x)max<g(x)max;(3)若存在x1a,b,x2c,d,有f(x1)<g(x2)成立,则f(x)min<g(x)max;(4)若任意x1a,b,存在x2c,d,有f(x1)=g(x2),则f(x)的值域是g(x)值域的子集 .二、填空题13.答案-3,1解析不等式2x2+2x-412可化为2x2+2x-42-1,x2+2x-4-1,x2+2x-30,-3x1,原不等式的解集为-3,1.14.答案-,-12解析依题意,对任意的x4,+),有f(x)=(mx+1)(m2x-1)<0恒成立,结合图像(图略)分析可知m<0,-1m<4,1m2<4,解得m<-12,即实数m的取值范围是-,-12.15.答案5,17解析如图,不等式组表示的平面区域是图中的阴影部分,(x+3)2+y2表示该区域上的点(x,y)到点(-3,0)的距离的平方.从图中可以看出,点A(-1,1)到点(-3,0)的距离的平方最小,最小值为5;点B(1,1)到点(-3,0)的距离的平方最大,最大值为17.因此(x+3)2+y2的取值范围是5,17.16.答案22-2解析由题设可得ax2+(b-2a)x+c-b0对一切实数恒成立,取x=1可得c-a0且(b-2a)2-4a(c-b)0,a>0对一切实数恒成立,即b2+4a24ac,a>0,c-a0对一切实数恒成立,所以b2a2+c24a(c-a)a2+c2,令c-a=t0,则c=a+t,代入得b2a2+c24a(c-a)a2+c2=4ata2+a2+2at+t2=42at+ta+2422+2=22-2(当且仅当c=(2+1)a时取等号).故b2a2+c2的最大值为22-2.三、解答题17.解析由题得8+2x-x2>0,即x2-2x-8<0,(x-4)(x+2)<0,(2分)-2<x<4,M=x|-2<x<4.(4分)由1-2x-10,得x-3x-10,x<1或x3,(6分)N=x|x<1或x3.(8分)MN=x|-2<x<1或3x<4.(10分)18.解析设该工厂一周内安排生产甲产品x吨,乙产品y吨,工厂每周获得的利润为z元.依据题意,得目标函数为z=300x+200y,(3分)约束条件为x+y50,4x160,2x+5y200,y0,x0.(5分)画出约束条件表示的可行域,如图中阴影部分所示.(6分)求得有关点A(40,0)、B(40,10)、C503,1003、D(0,40),(7分)由图知将直线300x+200y=0向右上平移,当经过可行域内的点B时,函数z=300x+200y的值最大,且最大值为14000.(10分)故当工厂每周生产甲产品40吨,乙产品10吨时,工厂每周获得的利润最大,且最大利润为14000元.(12分)19.解析(1)当a=0时,y=-x+2,只有一个零点2,符合题意.(2分)当a0时,=-(2a+1)2-8a=0,解得a=12.故函数有且只有一个零点时,a=0或a=12.(4分)(2)当a=0时,不等式化为-x+2<0,解得x>2.(5分)当a0时,不等式ax2-(2a+1)x+2<0化为ax-1a(x-2)<0.当a<0时,不等式化为x-1a(x-2)>0,解得x>2或x<1a.(7分)当a>0时,不等式化为x-1a(x-2)<0,当1a=2,即a=12时,不等式化为(x-2)2<0,解得x;(9分)当1a>2,即0<a<12时,解得2<x<1a;(10分)当1a<2,即a>12时,解得1a<x<2.(11分)综上所述,当a=0时,不等式的解集为x|x>2;当a=12时,不等式的解集为;当0<a<12时,不等式的解集为x|2<x<1a;当a>12时,不等式的解集为x|1a<x<2;当a<0时,不等式的解集为x|x>2或x<1a.(12分)20.解析函数f(x)是二次函数,a0,=-(a+2)2-4a=a2+4>0,且关于x的一元二次方程ax2-(a+2)x+1=0在(-2,-1)上只有一个实数根,f(-2)·f(-1)<0,(4分)而f(-2)=6a+5,f(-1)=2a+3,(6a+5)·(2a+3)<0,(6分)-32<a<-56,(8分)又aZ,a=-1,不等式f(x)>1可化为-x2-x+1>1,解得-1<x<0,(11分)原不等式的解集为x|-1<x<0.(12分)21.信息提取C(x)=13x2+10x,0<x<80,51x+10000x-1450,x80;每件药品售价为0.05万元,且能全部售完;此药品所获年利润的1%用来捐赠;求当年产量为多少千件时,此药品的年利润最大及此时可捐赠多少万元的防疫物资款.数学建模本题以社会热点问题疫情防控为背景,构建函数模型,利用函数知识及基本不等式求解.(1)根据题意得x千件药品销售额为0.05×1000x万元,进而得L(x)=-13x2+40x-250,0<x<80,1200-(x+10000x),x80;(2)当0<x<80时,由二次函数性质得当x=60时,L(x)取得最大值,最大值为L(60)=950,当x80时,由基本不等式得当x=100时,L(x)取得最大值,最大值为1000,进而得年产量为100千件时,此药品的年利润最大,可捐赠10万元的防疫物资款.解析(1)因为每件药品售价为0.05万元,所以x千件药品销售额为0.05×1000x万元.当0<x<80时,L(x)=(0.05×1000x)-13x2+10x-250=-13x2+40x-250.(2分)当x80时,L(x)=(0.05×1000x)-51x+10000x-1450-250=1200-x+10000x.(4分)所以L(x)=-13x2+40x-250,0<x<80,1200-x+10000x,x80.(5分)(2)当0<x<80时,L(x)=-13(x-60)2+950,即x=60时,L(x)取得最大值,最大值为L(60)=950.(7分)当x80时,L(x)=1200-x+10000x1200-2x·10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x,即x=100时,等号成立,此时L(x)取得最大值1000.(10分)因为950<1000,所以当年产量为100千件时,此药品的年利润最大,此时可捐赠1000×1%=10万元防疫物资款.(12分)22.解析(1)证明:由题意得f(2)=4a+2b+c2恒成立,f(2)=4a+2b+c18×(2+2)2=2恒成立,故f(2)=2.(3分)(2)因为f(2)=4a+2b+c=2,f(-2)=4a-2b+c=0,所以4b=2,解得b=12,所以4a+c=1,(5分)由f(x)x恒成立,得ax2-12x+1-4a0在R上恒成立,故a>0,-122-4a(1-4a)0,故4a-1220,所以a=18,则b=c=12,所以f(x)=18x2+12x+12.(7分)(3)由存在x0,+),使得f(x)-m2x<14成立可得,mx2>18x2+12x+14在x0,+)上有解.(8分)x=0时,不满足题意;(9分)x>0时,原式化为m>14x+12x+1在x(0,+)上有解,即m>14x+12x+1min,(10分)因为14x+12x+1214x·12x+1=1+22,当且仅当x=2(负值舍去)时取等号,故此时m>1+22.综上,可知实数m的取值范围为1+22,+.(12分)11