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在研究实际问题时常常会在研究实际问题时常常会联系到某些变量的变化率联系到某些变量的变化率或导数或导数在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。2）选择某排),(yxM和相邻排),(11ydxM),(22ydxMoyx-dC(x,0) C2(x+d,0)MM2M1x21MMxyMMKKK)(N1ABNABMNNM11dMABMABMAKMM11MAN1 相似于oMC xdyMAdxyMAdxyKMM1DdxyKMM1再计算2MMKoNC 相似于22CoM xxdyyDM2yxyxdDM2xdxydMDDMKMM22dxxydxydxdydxxy4 模型求解 微分不等式（比较定理）设函数),(),(yxFyxf定义在某个区域上，且满足1）在D上满足存在唯一性定理的条件；2）在D上有不等式),(),(yxFyxf则初值问题00yxyxfdxdy)(),(与00yxyxFdxdy)(),(的解)(),(xx 在它们共同存在区间上满足0 xxxx当),()(0 xxxx当),()(dxydxdydxxybydxydxdyax111bydxxydxdyax222axxdxabxyln)(1)(ln)(12axaxxdxabxyaxxdxabln)(xy)(ln1axaxxdxab所求曲线的近似曲线方程（折衷法）)(ln)(12axaxxdxabxy折衷法221yyy5 总结与讨论有时只需求近似解。方法利用微分不等式建模；模型讨论obxyadd1）视点移动时升起曲线如何求得？2）怎样减少地面的坡度？调整参数、相邻排错位。3）衡量经济的指标？座位尽量多、升起曲线占据的空间尽量少等。 一一 古尸年代鉴定问题古尸年代鉴定问题在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳它带到实验室，作碳14年代测定，分析表年代测定，分析表明，与的比例仅仅是活组织内的明，与的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？，能否判断此人生活在多少年前？c14c12年代测定：年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，这意味着在活体中，的数量与稳定的的数量成定比，生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度减少。c14c14c14c12背景背景1214ccxtxty)()( 设 t 为死后年数，80001414ccxdtdx.,数量的比例与即活体中时则ccyyt121400.eettyky800008000积分得时当yy006240.yrt22400062408000 .ln求得此即所求死亡年数。8000ydtdyc14年代测定的修订：年代测定的修订： 19661966年，耶鲁实验室的年，耶鲁实验室的Minze StuiverMinze Stuiver和加利福尼亚和加利福尼亚大学圣地亚哥分校的大学圣地亚哥分校的HansE.SuessHansE.Suess在一份报告中指出：在在一份报告中指出：在25002500到到1000010000年前这段时间中测得的结果有差异，其根本年前这段时间中测得的结果有差异，其根本原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差原因在于那个年代，宇宙射线的放射性强度减弱了，偏差的峰值发生在大约的峰值发生在大约60006000年以前。他们提出了一个很成功的年以前。他们提出了一个很成功的误差公式，用来校正根据碳测定出的误差公式，用来校正根据碳测定出的23002300年到年到60006000年前年前这期间的年代：这期间的年代：真正的年代真正的年代9004 . 114年c 二二 范范. 梅格伦（梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案伪造名画案 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画耶稣在学者中间。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。 这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。 但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。原理原理著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出： 物质的放射性正比于现存物质的原子数。设 时刻的原子数为 ，则有t)(tNNdtdN为物质的衰变常数。初始条件00NNtt)()(00tteNtNNNtt001lnNNtt001ln半衰期21lnT年5568T碳-14亿年45T铀-238年1600T镭-226年22T铅-210能测出或算出，只要知道 就可算出)(,tN0N这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。0N断代。油画中的放射性物质油画中的放射性物质 白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。铀238镭226铅210钋210铅206亿年45T年1600T年22T天138T（放射性）（无放射性）假设假设（1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用 表示。（2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。r建模建模设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ，t)(ty0y为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。0t为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量00ytyrydtdy)(求解求解)()()(0001tttteyerty)()()(1000tttteretyyrty ),(,均可测出。可算出白铅中铅的衰变率 ，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。0y矿石中铀的最大含量可能 23%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。测定结果与分析测定结果与分析画名画名钋钋210衰变原子数衰变原子数镭镭226衰变原子数衰变原子数Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.0若第一幅画是真品，3000tt)()()(1000tttteretyy)(1300300erety222ln111502223002300lnee)(.1282058211150111500y每分钟每克个/98050每分钟每克个/30000铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品，而后两幅画为真品。31 结束语结束语