[理学]第二章、行列式.ppt

2v行列式的概念行列式的概念vn 阶行列式阶行列式的定义的定义v行列式的性质行列式的性质v行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理v行列式的计算行列式的计算v再论可逆矩阵再论可逆矩阵3二元线性方程组的求解（消元法）二元线性方程组的求解（消元法）. . a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1)(2)1 1 行列式的概念行列式的概念背景背景：当当021122211aaaa时，方程组有唯一解时，方程组有唯一解 211222111212112211222111222211,aaaababaxaaaaababx一般形式一般形式也可表示为也可表示为AXb其中其中111211212222,aaxbAXbaaxb4定义定义1.1 二阶行列式二阶行列式111211 2212212122aaa aa aaa为了方便表示上述结果，引入下列定义为了方便表示上述结果，引入下列定义（1）等号右边的式子称为行列式的展开式等号右边的式子称为行列式的展开式（2）行列式的计算结果是一个数，称为行列式值。行列式的计算结果是一个数，称为行列式值。（3） 称为行列式的元素称为行列式的元素,右下标表示位置右下标表示位置（4）正确区分矩阵和行列式正确区分矩阵和行列式:矩阵是表矩阵是表,行列式是数行列式是数（5）二阶行列式也可以称为矩阵二阶行列式也可以称为矩阵 的行列的行列 式式ija11122122aaAaa注意：注意：5 引入二阶行列式的引入二阶行列式的定义定义后，二元一次线性方程后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。组的解可以用二阶行列式表示。,222112112221211aaaaababx 111212211122122,ababxaaaa111221220aaaa 当当 时，有时，有其中，表示分母的行列式称为系数行列式其中，表示分母的行列式称为系数行列式6同样，可以用消元法求解三元一次线性方程组同样，可以用消元法求解三元一次线性方程组 a11x1+a12x2+a13x3=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3定义定义1.2111213212223313233aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 对角线法则三阶行列式三阶行列式系数行系数行列式列式7 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa当系数行列式当系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD ,0时时 相应的三元线性方程组相应的三元线性方程组方程组有唯一解方程组有唯一解,11DDx ,22DDx .33DDx 其其中中,3332323222131211aabaabaabD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 8说明：说明：对角线法则对角线法则只适用于二阶与三阶行列式只适用于二阶与三阶行列式(1)项数：项数：2阶行列式含阶行列式含2项，项， 3阶行列式含阶行列式含6项项,这恰好就是这恰好就是2!, 3!.(2)每项构成每项构成: 2阶和阶和3阶行列式的每项分别是位于阶行列式的每项分别是位于不同行不同列的不同行不同列的2个和个和3个元素的乘积个元素的乘积.(3)各项符号各项符号: 2阶行列式含阶行列式含2项项,其中其中1正正1负负, 3阶阶行列式行列式6项项,3正正3负负.观察二阶行列式和三阶行列式：观察二阶行列式和三阶行列式：思考：四阶及四阶以上的行列式的展开式应思考：四阶及四阶以上的行列式的展开式应该如何？该如何？9例例1 计算行列式计算行列式. 542303241D例例2 解方程组解方程组12313231,22,3;xxxxxxx注意：注意：系数行列式为系数行列式为111201 .011D 10n !定义定义2.12.1由由n 个不同的数字构成的一个有序数组个不同的数字构成的一个有序数组称为这称为这n 个数字的一个个数字的一个n 级级排列排列. .例如：例如：1 2 3 4 55 1 2 3 45 3 2 1 4都是数都是数1 1，2 2，3 3，4 4，5 5构成的一个构成的一个5 5级排列级排列. .自然排列自然排列.按照由小到大的顺序排成的排列称为按照由小到大的顺序排成的排列称为定义定义2.22.22 2 n阶行列式的定义阶行列式的定义一一.排列的逆序数排列的逆序数 注：注：n个数的不同排列有个数的不同排列有个个11在一个排列中，若某个较大的数排在某在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列有一个个较小的数前面，就称这个排列有一个逆序逆序. .一个排列中出现的逆序的总数一个排列中出现的逆序的总数12()nk kk定义定义2.32.3称为这个排列的称为这个排列的逆序数逆序数，排列排列 12nk kk的的逆序数逆序数通常记为通常记为 例如：排列例如：排列1212的逆序数为的逆序数为 ， 排列排列2121的逆序数为的逆序数为 ， 排列排列231231的的逆序数为的的逆序数为 ， 排列排列213213的逆序数是的逆序数是 。012112定义定义2.42.4 逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列，逆序数，逆序数为奇数的排列称为为奇数的排列称为奇排列奇排列。 n 级排列级排列1 2ni ii的逆序数的计算的逆序数的计算小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 11ii小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 22ii 小小的的数数的的个个数数后后面面比比数数 11 nnii或者或者)(21nii i=13大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 nnii大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 11 nnii 大大的的数数的的个个数数前前面面比比数数 22ii 求排列求排列 32514 32514 的逆序数的逆序数. .例例1例例2 求排列求排列 453162453162 的逆序数的逆序数. .例例3 求排列求排列 423165423165 的逆序数的逆序数. .)(21niii=思考思考：由上面的例题你还能得到什么方法来计算排列的逆序数？由上面的例题你还能得到什么方法来计算排列的逆序数？14定义定义2.52.5把一个排列中的某两个数交换位置，其余把一个排列中的某两个数交换位置，其余的数不动，这种交换称为一次的数不动，这种交换称为一次对换对换. .将相邻的两个数对换，称为将相邻的两个数对换，称为相邻对换相邻对换. .定理定理2.12.1 一次对换，改变排列奇偶性一次对换，改变排列奇偶性证明：（由特殊到一般）证明：（由特殊到一般）思考：思考：对排列进行一次对换，排列的奇偶性是否发生变化？对排列进行一次对换，排列的奇偶性是否发生变化？例：排列例：排列132的逆序数是的逆序数是1，为奇排列。将数，为奇排列。将数1，2做一做一 次对换变为排列次对换变为排列231，其逆序数是，其逆序数是2，为偶排列。，为偶排列。15ab的逆序数不变的逆序数不变; ;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1 ,1 ,当当 时时，ba 当当 时，时，ba 经对换后经对换后 的逆序数不变，的逆序数不变， 的逆序数减少的逆序数减少1.1.ab因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性因此，一次相邻对换，排列改变奇偶性. .mlbbabaa11对换对换 ，abmlbbbaaa11除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变. .b , a设排列为设排列为先证相邻对换先证相邻对换,16所以一个排列中的任意两个元素对换，排列都改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列都改变奇偶性奇偶性.次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻次相邻对换对换12 m,111nmlcacbbbaa次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111nmlccbbbaaa111ab再证一般对换再证一般对换设排列为设排列为nmlcbcbabaa111现来对换现来对换 与与a.b17定理定理2.22.22 n 时，时，n 个数的所有排列中，奇偶排个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为列各占一半，各为 个个. .2!n推论推论1 1偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次偶数次对换不改变排列的奇偶性；奇数次对换改变排列的奇偶性。对换改变排列的奇偶性。推论推论2 2任意一个任意一个n 级排列都可以经过一系列对换级排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所作对换的次数与该变成自然排列，并且所作对换的次数与该排列有相同的奇偶性排列有相同的奇偶性. .181.1.概念的引入概念的引入三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明：说明： （1）项数与列标排列个数的关系）项数与列标排列个数的关系：三阶行列式三阶行列式共有共有 项，即项，即 项项6!3（2 2）每一项的结构每一项的结构：每项都是位于不同行不同列每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积的三个元素的乘积（3）每项的符号每项的符号： 每项的正负号都取决于位于不每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排同行不同列的三个元素的列指标排列（当行指标排列为自然排列时）列为自然排列时）二二. n阶行列式的定义阶行列式的定义19例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 211312 322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 101132 偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 1 2 31231 2 3111213()212223123()313233( 1)p p ppppp p paaaaaaa aaaaa因此因此, ,三阶行列式可写成下列形式三阶行列式可写成下列形式202.2.n阶行列式的定义阶行列式的定义det().ija记记作作的的元元素素称称为为行行列列式式数数)det(ijijaa由由 个数，组成的一个个数，组成的一个 行行 列的式列的式子，用记号子，用记号2nnnnnnnnnaaaaaaaaa212222111211其展开式为其展开式为表示表示,称为一个称为一个 阶阶行列式行列式n其中，其中，1 2121 2()12()( 1)nnnp ppppnpp ppa aa21为为这这个个排排列列的的逆逆序序数数的的一一个个排排列列，为为自自然然数数其其中中 npppn2121 nnnnpppppppppnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 即即连加号表示对所有这样的排列求和连加号表示对所有这样的排列求和22说明说明:（1）行列式是一种特定的算式，它是根据求解方）行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而引入的引入的;（5） 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa !n（6）上式称为）上式称为n阶行列式的完全展开式阶行列式的完全展开式.)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp占一半，行列式是一个数占一半，行列式是一个数;（2） 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和,其中正负项各其中正负项各n（3） 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积个元素的乘积;nn)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp)(21)1- (nppp)(21)1- (npppnnpppaaa2121(4)的符号是的符号是23行列式的行列式的等价定义等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1( 24例例1 1 在在6 6阶行列式中，下列项应带什么符号阶行列式中，下列项应带什么符号. .;651456423123aaaaaa解解:651456423123)1(aaaaaa431265的逆序数的逆序数为为012201 , 6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa651456423123)2(aaaaaa,566514234231aaaaaa342165的逆序数的逆序数为为002301 , 6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa思考：上题还有第三种方法吗？思考：上题还有第三种方法吗？25例例 2 计算计算4阶行列式阶行列式4443424133323122211100 00 0 0 aaaaaaaaaaD 解：解： 根据定义，根据定义，D是是4！24项的代数和，但每一项的代数和，但每一项的乘积项的乘积 中只要有一个元素为中只要有一个元素为0，乘积，乘积就等于就等于0，所以只需展开式中不明显为，所以只需展开式中不明显为0 的项。的项。njjjjaaaa4321321行列式展开式中不为行列式展开式中不为0的项只可能是的项只可能是a11a22a33a44，而，而列标排列列标排列1234的逆序数为的逆序数为0，即此项符号为正，因，即此项符号为正，因此行列式此行列式Da11a22a33a44。 26l 主对角线以上的元素全为零（即主对角线以上的元素全为零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为的行列式称为上三角行列式上三角行列式，它等于主对角线上各，它等于主对角线上各元素的乘积。元素的乘积。 l 行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素行列式中，除主对角线上的元素以外，其他元素全为零（即全为零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为）的行列式称为对角行列对角行列式式，它等于主对角线上元素的乘积。，它等于主对角线上元素的乘积。27例例3 证明证明 11121121211 21111 211(),nn nnnnnnnnaaaa aaaaaa 上面的行列式中，未写出的元素都是上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证证: 行列式的值为行列式的值为121121nnjjnjjja aa若乘积非零，若乘积非零，j1j2jn只能是排列只能是排列n(n1)2 1， 它的逆序数为它的逆序数为 1(1)(2)2 12nnnn 28所以行列式的值为所以行列式的值为 12, 11,21211nnnnnnaaaa 4132231441323123222114131211000000aaaaaaaaaaaaaaD 例如例如29n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明证明30思考题思考题 1211123111211xxxxxf .3的的系系数数求求 x已知已知31思考题解答思考题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于 4334221112431aaaa 44332211)1234(1aaaa ,1344332211)1234(xaaaa 343342211124321xaaaa . 13 的系数为的系数为故故 x323 行列式的性质行列式的性质 ,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD 112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa 记记行列式行列式DT 称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式。性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等 。证证： 记记 111212122212,nnTnnnnbbbbbbDbbb 即即bijaji (i，j1，2，n) 121 2121nnTjjnjj jjDb bb121 2121nnjjj nj jja aaD33性质性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。互换行列式的两行（列），行列式变号。 证证 nnnqnpnnqpnqpaaaaaaaaaaaaD12222111111 交换第交换第p、q两列，两列，得行列式得行列式 nnnpnqnnpqnpqaaaaaaaaaaaaD122221111111 说明：说明： 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. .34对于对于D中任一项中任一项 112121pqniii pi qi na aaaa在在D1中必有对应一项中必有对应一项 212121qpniii qi pi na aaaa与与 只经过一次对换只经过一次对换nqpiiii1npqiiii11211与与相相差差一一个个符符号号niqipiiinipiqiiinqpnpqaaaaaaaaaa21212121 所以对于所以对于D中任一项，中任一项，D1中必定有一项与它的符号中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又相反而绝对值相等，又D与与D1的项数相同。的项数相同。 1DD 推论推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，则若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。行列式为零。 35性质性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数同一个数k，等于用数，等于用数k乘以此行列式。乘以此行列式。 性质性质4 行列式中若有两行（列）元素对应成比例，行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。则此行列式为零。 推论推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。子可以提到行列式的外面。nnnininaakakaaaD11111;11111nnnininaaaaaak36性质性质5 若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和nnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaaD2122112222111211 则行列式则行列式D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和： nnnniniinnnnnniniinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2121222211121121212222111211 例如例如37性质性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 以数以数k乘以第乘以第i行上的元素加到第行上的元素加到第j行对应元素上，有行对应元素上，有111211112112121211221212()()()nniiiniiinjijjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaarkraaaakaakaakaaaaaaa38例例1 计算四阶行列式计算四阶行列式ababaabbbbD000000 解解：ababaabbababaabbbbD2020000000000000 222(4)bab 例例2 计算四阶行列式计算四阶行列式abbbbabbDbbabbbba394 行列式按行（列）展开定理行列式按行（列）展开定理 背景：背景：低阶行列式比高阶行列式计算要简便，能低阶行列式比高阶行列式计算要简便，能否把高阶行列式转化成低阶行列式？如何转化？否把高阶行列式转化成低阶行列式？如何转化？以三阶行列式为例，容易验证：以三阶行列式为例，容易验证：333231232221131211aaaaaaaaa3332232211aaaaa3332131221aaaaa-+2322131231aaaaa可知：三阶行列式可以转化为二阶行列式可知：三阶行列式可以转化为二阶行列式40则则 Aij叫做元素叫做元素aij的的代数余子式代数余子式。 显然，显然，Aij与行列式中第与行列式中第i行、第行、第j列的元素无关。列的元素无关。 ijjiijMA )1(令令先看下面两个定义：先看下面两个定义：例如：三阶行列式中元素例如：三阶行列式中元素23221312aaaa31a的余子式的余子式31M=如：三阶行列式中元素如：三阶行列式中元素的代数余子式的代数余子式21a211221) 1 - (MA+=定义定义 设设 ， 划去元素划去元素aij所在的行和列，余所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的（下的元素按其原有的位置构成的（n1）阶行列式叫做）阶行列式叫做元素元素aij的的余子式余子式，记为，记为Mij 。()ij n nAa41引理引理 n阶行列式阶行列式D中，如果其中第中，如果其中第i行元素除行元素除aij外全外全部为零，则行列式等于部为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，与它的代数余子式的乘积，即即DaijAij证证 先证先证i1，j1的情形的情形 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD3232323211)1(3212232221111000 nnnjjjnjjjjjjaaaa32323232)(111 11111111111111323333222322111AaMaMaaaaaaaaaaannnnnn 42设设 D 的第的第 i 行除了行除了ija外都是外都是 0 .nnnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把 D 的第的第i行依次与第行依次与第1 i行，第行，第2 i行，行，第第2行，第行，第1行交换；再将第行交换；再将第j列依次与列依次与第第1 j列列第第2 j列，列，第第2列，第列，第1列交换，这样共经过列交换，这样共经过2)1()1( jiji次交换行与交换列的步骤次交换行与交换列的步骤. 对一般情形，只要适当交换对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，的行与列的位置，即可得到结论。即可得到结论。 43得得nnjnnjnijijiijjiaaaaaaaD1, 11, 1, 1200)1( ijijjiMa )1(ijijAa=例例1：计算四阶行列式：计算四阶行列式002101-1-32101032144定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即 证证：nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110000000 ), 2 , 1( ), 2 , 1( 22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii 或或（按行展开）（按行展开）（按列展开）（按列展开）45nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000 .2211ininiiiiAaAaAa nnnninnaaaaaaa211121100 46例例 1 计算行列式计算行列式 1320010500134002 D解解 由定理由定理3，按第一行展开，按第一行展开 得得 1 11 41003102101041501231023D 86)156(42 也可以按其他行（或列）展开也可以按其他行（或列）展开说明说明：利用上述方法计算行列式也称为降阶法：利用上述方法计算行列式也称为降阶法47例例2 计算.621721744354353274274D621100744310053271004D解：解：62117443153271410017802116013271410017821161100)232178(100.540048例例3 计算行列式计算行列式 (加边法加边法)yyxxD 1111111111111111解解 当当x0 或或y0时，显然时，显然D0， 现假设现假设x0，且，且y00，由定理知，由定理知 1111101111011110111101111xDxyy 22000000000000000011111yxyyxx 111111000100010001000 xxyy 49推论推论 行列式一行行列式一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元的对应元素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零,即即 )(02211jiAaAaAajninjiji )(02211jiAaAaAanjnijiji 或或证证1 11111 nii njj nnn naaaaaaaa1122jjjjjnjna Aa Aa A 50当当i j, 将式中将式中ajk换成换成aik(k=1,2,n),可得可得1 11111 niiniinnn naaaaaaaa同理可证同理可证02211 njnijijiAaAaAa1122ijijinjna Aa Aa A 0 51代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质:10,;nikjkkDija Aij 当当当当10,;nkikjkDija Aij 当当或或当当例例4 已知求求2579123453170274A3132333441424334(1)234(2)234AAAAAMAA52定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 运算性质运算性质: ;1AAT ;2AkkAn 方阵的行列式方阵的行列式531111111111110mmmmmnnnmnnnaaaaDccbbccbb 设设11111det(),mijmmmaaDaaa,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 下面证明下面证明设设定理定理4 4(),(),ijm mijn nAOAaBbA BCB则则54证明证明:1111110;mmmmmpDpppp 设设为为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化化为为下下三三角角形形行行列列式式把把作作运运算算对对22,DkccDji 1121110.nnnnnqDqqqp设设为为,ijijDmrkrnckcD 对对的的前前行行作作运运算算，再再对对后后列列作作运运算算把把化化为为下下三三角角形形行行列列式式5511111111110,mmmmnnmnnnpppDccqccqq 1111mmnnDppqq 故故.21DD 推论推论2 设设1(),(),()m nijm mijn nOAAaBbA BBC 则则推论推论1 设设(),(),ijm mijn nACAaBbA BOB则则56证明证明:构造一个行列式构造一个行列式nnnnnnnnnbbbbaaaaD111111112110BEA 0A B 对上述行列式作行变换，将第对上述行列式作行变换，将第n+1行的行的a11倍，第倍，第n+2行的行的a12倍，倍，第第2n行的行的a1n倍加到第一行，得倍加到第一行，得定理定理5 设设A , B是是 n 阶方阵，则阶方阵，则BAAB5711122121111100000011nnnnnnnnnnccaaDaabbbb 再依次将第再依次将第n+1行的行的ak1倍倍(k=2,3, ,n)，第，第n+2行的行的ak2倍，倍，第第2n行的行的akn倍加到第倍加到第k行，得行，得58111221212111100000011nnnnnnnnnccccDccbbbb 由定理由定理4 的推论得的推论得1()n n nABAB 21()n nnDABE 证明完毕。证明完毕。;ABA BB ABA 注：注：设设A , B是是 n 阶方阵阶方阵, 则则59思考题思考题阶行列式阶行列式设设nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 60思考题解答思考题解答解解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 .11!2 njjn61例例1 1 计算计算5 5 行列式的计算行列式的计算一、对角线法则一、对角线法则 此时，要结合行列式的各种性质，加以简化此时，要结合行列式的各种性质，加以简化计算。计算。二、化为三角形行列式二、化为三角形行列式axaaaaaxaaaaaxaaaaaxD 122nxnaxa () ()62baaaaabaaaaabaaaaabaDnnnn 32132132132111312 rrrrrrn bbbbbbaaaban 000000321nccc 21例例2 2 计算计算bbbaaabaaann 000000000)(3221121)()( nnbbaaa63例例3 3证明证明范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD三、数学归纳法三、数学归纳法 证明证明用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx (1)(1)当当n=2=2时时, ,结论成立结论成立. ., )(12 jijixx64(2) (2) 设对设对n1 1阶范德蒙德行列式结论成立，来阶范德蒙德行列式结论成立，来证对证对n阶范德蒙德行列式结论也成立阶范德蒙德行列式结论也成立. .112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD11 nnrxr211 nnrxr112rxr )()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn 65,)(11提提出出因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第xxi 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1-1阶阶范德蒙德范德蒙德行列式行列式)()()(211312jjininxxxxxxxx ).(1jjinixx 证毕证毕.有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进行计算有的行列式可以利用范德蒙行列式的结论进行计算例例4 4 计算计算222abcDabcbccaab 66例例5计算计算.333222111222nnnDnnnn 222333nn312n312n312n312nnDn 2221111111312312312!nnnnnnn 671!()!(21)(31)(1)(32)(42)(2)(1)!(1)!(2)!2!1!.nijnijnDnnnnnnnnxx 例例6证明证明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 68证明证明:对阶数对阶数n用数学归纳法。用数学归纳法。2212121221coscos,coscos,.( )nD 当当时时 结结论论成成立立2( ),.,nnnD假假设设对对阶阶数数小小于于 的的行行列列式式结结论论成成立立 下下证证对对于于阶阶数数等等于于 的的行行列列式式也也成成立立 现现将将按按最最后后一一行行展展开开 得得.cos221DDDnnn 212 ()()n-1nDcos n,Dcos n, 69;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .结结论论成成立立所所以以对对一一切切自自然然数数 n四、降阶递推法四、降阶递推法例例7 7 计算计算dcdcdcbababaDn 20000方法方法:降阶降阶找递推公式找递推公式.70解解 按第按第1 1行展开行展开, ,有有ddcdcbabaaDn00002 0000)1(12cdcdcbababn )1(2)1(2 nnbcDadD)1(2)( nDbcad71递推公式递推公式2nD )1(21)( nDbcad)2(22)( nDbcad 121)( Dbcadn21)(Dbcadn nbcad)( 例例8 81011nD, , 72 1nnDD11101 n 21)( nnDD )(211 nnnnDDDD )(322 nnDD )(122DDn 解解,)(22 D 1DnnnDD 1(1)121 nnnDD (2)212 DD(n-1)732222111 nnnnnnDD)1()3()2()1(22 nn ).(122221 nnnnnnD五、加边升阶五、加边升阶 法法121212111nnnnaaaaaaDaaa 例例9 9 计算计算741212121211010101nnnnnnaaaaaaaaaDaaa 1211110010101001nnaaa 12111010000100001nininaaaa 11niia 75122221212111111111nnnnnnnxxxxxxDxxx 例例10 10 计算计算1222212121111110 1110 1110 111()nnnnnnnnxxxxxxDxxx 解：解：76122221212111111111()nnnnnnnxxxxxxxxx 12222121221111000nnnnnnxxxxxxxxx12222121211111111nnnnnnxxxxxxxxx77122221121111211112nniinnnnnxxxxxxxxxx 111()()niijij i nxxx 11112()()nniiijiij i nxxxx 说明：计算行列式的方法是多种多样的，这里计算行列式的方法是多种多样的，这里仅列出了比较常见的几种方法。在计算行列式仅列出了比较常见的几种方法。在计算行列式的时候，需要将行列式的有关性质、结论以及的时候，需要将行列式的有关性质、结论以及多种方法结合起来使用，才能更容易的求出行多种方法结合起来使用，才能更容易的求出行列式的值。列式的值。78利用分块矩阵的广义初等变换，可以证明以下结果：利用分块矩阵的广义初等变换，可以证明以下结果：设设ABMA,B,C,DnPnCD ，是是 阶阶方方阵阵， 是是任任一一 阶阶方方阵阵则：则：u ABPAPBAPBPCDCDCPDu ABABAAPBCDPACPBDCCPD A,B,C,DnAAC = CA是是 阶阶方方阵阵，且且 可可逆逆，,则例例1111ABADCBCD791ABEO ABCDCAE CD 证明 ： 1ABODCA B 1A DCA B 1ADACA B ADCBA,Bn 是是 阶阶方方阵阵，明明：为一实数证证例例1212E-ABEAB 证明EAAEABEOBEEE E-ABOBE E-AB AEAEABEBEOEE EOBABE- BAE E- E-BA E-AB E-BA 80例例1313证明 111TTTA A+AA- 11111+TTT-A A AA- OA 11TTTA A+ A+- O 111TTTA A+AA- 1nAn ，矩矩阵阵是是两两个个证证阶可逆方阵是列，明明：81定义定义行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.A6 再论可逆矩阵再论可逆矩阵82 nnnnnnnnAAAAAaaaaA1111*1111 AAAAA*EAAA* 证明：证明：矩阵矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵具有如下性质：具有如下性质： A*AAA AA E 83定理定理6 设设A是是n阶方阵阶方阵, A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是证证 先证充分性先证充分性。 设设A的伴随矩阵为的伴随矩阵为A*,则有则有 EAAAAA *0 A因因为为EAAAAAA )1()1(*有有11*AAA 再证必要性。再证必要性。由于由于A是可逆的是可逆的,即有即有A -1,使使A -1 A = E 11 EAA故故11 AA0A 0A 84推论推论 设设A，B是是n阶方阵阶方阵, 如果如果AB=E，则则 A可逆，可逆，且且 B=A-1。例例5 5 求方阵求方阵 222123136A 的逆矩阵。的逆