§36线性方程组解的结构.ppt

36线性方程组解的线性方程组解的结构结构一、齐次线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构 11211000sa x a xa xa x a xa xa x a xa x112 21n n122 22n n1s2 2sn n+（1）1解的解的性质性质 性质性质1 （1）的两个解的和还是（）的两个解的和还是（1）的解；）的解； 性质性质2 （1）的一个解的倍数还是（）的一个解的倍数还是（1）的解；）的解； 性质性质3 （1）的解的任一线性组合还是（）的解的任一线性组合还是（1）的解）的解 则称则称 为（为（1 1）的一个基础解系）的一个基础解系 12,r ,2 解空间解空间 定义定义 设设W W为齐次线性方程组（为齐次线性方程组（1 1）的全体向量，则）的全体向量，则 即即W W关于解的线性运算封闭，所以关于解的线性运算封闭，所以W W 是一个向量空间称是一个向量空间称之为齐次线性方程组（之为齐次线性方程组（1 1）的解空间）的解空间 3 3 基础解系基础解系 2)2)（1 1）的任一解向量）的任一解向量 可由线性表出可由线性表出 , 12r, ,1) 1) 线性无关；线性无关； , 12r, ,定义定义 齐次线性方程组（齐次线性方程组（1 1）的一组解）的一组解 ，若满足，若满足 , 12r, ,WW1212、有1),kPWW 有k2)4 基础解系存在性基础解系存在性 定理定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于解系，并且基础解系所含解向量的个数等于 ， nr( )r R A则（则（1 1）可写成）可写成 ( )R Arn112110raaaaaaaaa121r222rr2rr 证：证： 若若 不防设不防设 11 112 211, 11121 122 222, 1121 12 2, 11r rrrn nr rrrn nrrrr rr rrrn na x a xa xaxa xa x a xa xaxa xa x a xa xaxa x （2） 就得到（就得到（2 2）的解，也就是（）的解，也就是（1 1）的）的 个解个解 nr用用 组数组数 ( (1,0,0), (0,1,0), , (0,0,0)代入自代入自由未知量由未知量 ， 11(,)rrnxxxnr111121221222- ,1- ,2- ,(,100(,010(,0 01rrn rn rn rn r rccccccccc， ， ， ）， ， ， ， ）， ， ， ， ） 线性无关线性无关 , 12r,事实上事实上，若，若 1 122kk-0n r n rk即即 1 12 212(*,*,*, , ,) (0,0, , )n r n rn rkkkk kk ， ，0线性无关线性无关 12120n rn rkkk， ,即即 为（为（1）的解）的解 1 11(*,*, , )n r n rrncccc , 任取任取（1）的一个解）的一个解 ， 可由可由线性表出线性表出1( ,)tcc12,n r,，事实上事实上，由，由 是（是（1）的解）的解也为（也为（1）的解，）的解，12n r , ,1 1rn n rcc 它与它与 的最后的最后 个分量相同，即自由未知量的值相个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同，所以它们为同一个解同一个解，即，即 nr1 1rn n rcc由由 ， 为（为（1）的一个）的一个基础解系基础解系 1nr例例1求齐次线性方程组求齐次线性方程组 1234123412340253207730 x xx xxxxxxxxx 的的基础解系基础解系 解：解：231 0771 1115407 5 40 1770 0 0 00 000A 原方程组的解原方程组的解为为13423423775477xxxxxx令令 ，得，得 ； 341,xx=01(2 7,3 7,1,0)令令 ，得，得 340,xx=12(5 7,4 7,0,1)原方程的原方程的基础解系基础解系为为 ， 12,原方程组的原方程组的一般解一般解为为 1 12212,kkk kR,推论推论 任一线性无关组的与（任一线性无关组的与（1 1）的某一基础解系等价）的某一基础解系等价的向量组都是（的向量组都是（1 1）的基础解系）的基础解系线性无关，且与线性无关，且与 等价，等价， 12t，12,s , ,则则 ，且，且 可由可由 线性表出，即线性表出，即 也为（）的解向量也为（）的解向量 sti12t， ，i证证： 为（为（1 1）的一个）的一个基础解系基础解系， 12t， ， 任取任取（）的一个解向量（）的一个解向量 ，则，则 可由可由 线性表出，从线性表出，从 而可由而可由 线性表出线性表出 12t， ，12,t , ,又又 线性无关，线性无关， 12,t , ,也是也是基础解系基础解系 12,t , ,5 5 若若 为齐次线性方程组（为齐次线性方程组（1 1）的一个基础）的一个基础解系，则（解系，则（1 1）的）的任一解任一解可表为可表为 12t , ,1 112,tttkkk kkP, , ,为（为（1 1）的）的解空间解空间 1 1|,1 , ,t tiWkkk Pit 二、一般线性方程组解的结构二、一般线性方程组解的结构 11 1111 1n nssn nsa xa xba xa xb11 111 10(0,1, )0n nissn na xa xbisa xa x令（3 3） （4 4） 称（称（3）为（）为（4 4）的）的导出组导出组 解的性质解的性质 性质性质1 1 为（为（3 3）的两个解）的两个解 为其导出组（为其导出组（4 4）的）的解解 12、12 -性质性质2 2 为（为（3 3）的一个解，）的一个解， 为其导出组（为其导出组（4 4）的解，）的解，则则 仍为（仍为（3 3）的解）的解 解的结构解的结构 定理定理 若若 为（为（3 3）的一个特解，则方程组（）的一个特解，则方程组（3 3）的任一）的任一 解解 皆可表成皆可表成 ，其中，其中 的其导出组（的其导出组（4）的一个）的一个解解 00从而有：方程组（从而有：方程组（3 3）的一般解为）的一般解为 01 1n r n rkk 其中其中 为（为（3 3）的一个特解，）的一个特解， 为导出组的一为导出组的一个基础解系个基础解系012,n r 即（即（3 3）的解集为）的解集为 01 1|,1 , ,n r n rikkk Pin r 推论推论 方程组（方程组（3 3）在有解的条件下，有唯一解）在有解的条件下，有唯一解 （3）的导出组（的导出组（4）只有零解）只有零解 证证：“ ” “ ” 设（设（3 3）有唯一解）有唯一解 若其导出组（若其导出组（4 4）有非零解）有非零解 ，则，则有有 也为（也为（4 4）的解，）的解， 从而从而 皆为（皆为（3 3）的）的解解 ，矛盾矛盾 0kkP0k()kP“ ”“ ” 若（若（3 3）有两个不同的解）有两个不同的解 ，则，则 为为（4 4）的一个非零解，）的一个非零解，矛盾矛盾12、1212-0,且 -求一般线性方程组（求一般线性方程组（3）的一般解）的一般解 步骤步骤： 1 1）求出其导出组的基础解系）求出其导出组的基础解系 ； 12t， ，2 2）求出其一个特解）求出其一个特解 ； 03 3）（）（3 3）的一般解为）的一般解为 011ttkk例例求解方程组求解方程组 1224122412240312312x xxxx xxxx xxx 解：解： 1222 13 2310.5111 10111 1011 01 1211 1310 02410 0 12 12112 3120 01 2120 0 0 00rr rr rr rr rA可见可见，方程组，方程组 有解，并有有解，并有 ( )( )RARA1243412212xxxxx取取 ，则，则 ，即得原方程组的一个，即得原方程组的一个特特解解 240 xx1312xx0(12,0,12,0)下面求下面求导出组的基础解系导出组的基础解系： 导出组与导出组与 同解同解 124342xxxxx取取 ，得，得 ； 241,xx=01(1,1, 0, 0)取取 ，得，得 240,xx=12(1,0,2,1)于是原方程组的于是原方程组的通解通解为为 01 12 212,()kkkkR 、