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第四章第四章 直线与平面、两平面的相对位置直线与平面、两平面的相对位置mnabce (f)mnabcefXO二、二、平面与平面平行平面与平面平行 若一平面内两相交直线对应平行于另一平面若一平面内两相交直线对应平行于另一平面上的相交两直线，则这两平面相互平行。上的相交两直线，则这两平面相互平行。据此可以解决据此可以解决:1. 作平面平行于已知平面作平面平行于已知平面2. 判断两是否平面平行判断两是否平面平行4-1 直线与平面平行直线与平面平行 两平两平 面平行面平行一、一、直线与平面平行直线与平面平行ABCA1B1C1PQ例题例题4.4 试作试作EFGABC平面平面ebabceacXOffg分析分析作图作图在在ABC内作直线内作直线AMEF,MNFG(amef,mnfg)2. 求出求出AM ,MN的正面的正面投影投影mnmn3. 过过f作作efam、fgmn,则则EFG即即为所求为所求 g例题例题4.5 判断判断EFG与与ABC平面是否平行平面是否平行gfabcegbcefaXObc平行平行gf但但bc 不平行不平行gf例题例题4.5 判断判断EFG与与ABC平面是否平行平面是否平行gfabcegbcefaXOba平行平行ge但但ba 不平行不平行gebc平行平行gf但但bc 不平行不平行gf因此，因此，EFG与与ABC平面不平行平面不平行例题例题4.6 判断两平面是否平行判断两平面是否平行dfgecbaafgdbcehh例题例题4.7 判断两平面是否平行判断两平面是否平行dfecbaaf dbceac平行平行df但但ac 不平行不平行df例题例题4.7 判断两平面是否平行判断两平面是否平行dfecbaaf dbceac平行平行df但但ac 不平行不平行dfbc平行平行de但但bc 不平行不平行de因此两平面不平行因此两平面不平行ABCGHEFefacbh 若两平行平面同时垂直于同若两平行平面同时垂直于同一投影面一投影面,则它们在该平面上的则它们在该平面上的积聚性投影必然相互平行积聚性投影必然相互平行,且反且反映两平行平面之间的真实距离。映两平行平面之间的真实距离。面面平行的特殊情况面面平行的特殊情况efacbhghfgebac4-2 直线与平面相交直线与平面相交 两平两平 面相交面相交 直线与平面相交直线与平面相交,必有一个交点必有一个交点,它是直线与平它是直线与平面的共有点。面的共有点。 平面与平面相交平面与平面相交,必有一个交线必有一个交线,它是两平面的它是两平面的共有线。共有线。 求解交线的方法求解交线的方法: 1. 作出交线上的两个共有点作出交线上的两个共有点 2. 作出交线上的一个共有点及交线的方向作出交线上的一个共有点及交线的方向求作交点或交线的过程求作交点或交线的过程:1. 求出交点或交线的投影求出交点或交线的投影2. 判别可见性判别可见性4-2 直线与平面相交直线与平面相交 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交ABCabcFEKfekbacbacefefbacbacefefkk 作图步骤作图步骤 1. 利用积聚性求出利用积聚性求出K点水平投点水平投影影k 2. 利用点在线上的投影特性求利用点在线上的投影特性求出出K点正面投影点正面投影k 3. 判别可见性判别可见性121(2)y1y2,即点即点在点在点前方，前方，EK正面投影可见正面投影可见121(2)a bcbacefefkk 作图步骤作图步骤 1. 利用积聚性求出利用积聚性求出K点水平投点水平投影影k 2. 利用点在线上的投影特性求利用点在线上的投影特性求出出K点正面投影点正面投影k 3. 判别可见性判别可见性y1y2,即点即点在点在点前方，前方，EK正面投影可见正面投影可见4-2 直线与平面相交直线与平面相交 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交abcbace(f)efkkdd 分析分析 EF在正面的投影在正面的投影有积聚性，故交点有积聚性，故交点K的正面投影必与的正面投影必与EF的的正面投影重合，利用正面投影重合，利用面上取点的方法可求面上取点的方法可求出交点出交点K的水平投影的水平投影 作图作图 abcace(f)efkkdd4-2 直线与平面相交直线与平面相交 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交3. 特殊位置平面与一般位置平面相交特殊位置平面与一般位置平面相交klabcbacefefddklVXOABCEDFcabefd 作图步骤作图步骤 1. 利用积聚性求出利用积聚性求出KL的水平的水平投影投影kl 2. 利用点在线上的投影特性求利用点在线上的投影特性求出出K点正面投影点正面投影k ，l 3. 判别可见性判别可见性klKL121(2)klabcbacefefddkl4-2 直线与平面相交直线与平面相交 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交3. 特殊位置平面与一般位置平面相交特殊位置平面与一般位置平面相交二、二、利用辅助平面求交点和交线利用辅助平面求交点和交线 一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交FEDMNddabfebaefBAMmnnmkk作图作图判别可见性判别可见性11Z1ZM, AK的水平投影的水平投影ak可见可见2(3)2YY, AK的正面投影的正面投影ak不不可见可见3ddabfebaefFEDMNBAMmnnmkk作图作图判别可见性判别可见性11Z1ZM, AK的水平投影的水平投影ak可见可见2(3)2YY, AK的正面投影的正面投影ak不不可见可见34-2 直线与平面相交直线与平面相交 两平两平 面相交面相交一、一、利用积聚性求交点和交线利用积聚性求交点和交线1. 一般位置直线与特殊位置平面相交一般位置直线与特殊位置平面相交2. 特殊位置直线与一般位置平面相交特殊位置直线与一般位置平面相交3. 特殊位置平面与一般位置平面相交特殊位置平面与一般位置平面相交二、二、利用辅助平面求交点和交线利用辅助平面求交点和交线 一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交 一般位置平面与一般位置平面相交一般位置平面与一般位置平面相交 三、三、利用辅助投影求交点和交线利用辅助投影求交点和交线abcbacefefddd1f1e1a1b1c1n1l1lnnl作图步骤作图步骤1. 将将ABC变换为铅垂面变换为铅垂面2. 求出交线的辅助投影求出交线的辅助投影l1 n13. 求出交线的正面投影和水平求出交线的正面投影和水平投影投影4. 判别可见性判别可见性abcbacefefddd1f1e1a1b1c1n1l1lnnl1(2)123 (4)341. YY, AB的正面投影可见的正面投影可见2. ZZ, DF的水平投影可见的水平投影可见nabcbacefefddd1f1e1a1b1c1n1k1knnk1(2)123 (4)34kdfgecbaafgdbce12233hh例一 求作两平面的交线并判断可见性nmcbaabcmn12例二 求作两平面的交线并判断可见性4-3 直线与平面垂直直线与平面垂直 两平两平 面垂直面垂直 若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。 据此可以解决据此可以解决:1. 作直线垂直平面或平面作直线垂直平面或平面垂直直线垂直直线2. 判断线面是否垂直判断线面是否垂直作作 图图 举举 例例: 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。平线的正面投影。klkl 若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。hacac例题例题1：平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作平面的法线。作平面的法线。hKCFDBA在在BDF上作正平线上作正平线DC和和水平线水平线AB2. 作作kh dc; kh ab H例题例题2：平面由两平行线平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线给定，试判断直线MN是否垂直是否垂直于定平面。于定平面。efefDC为正平线为正平线 , 判判断断mn是否垂直是否垂直dc2. 在平面内作水平在平面内作水平线线EF , 判断判断mn是是否垂直否垂直ef 直线直线MN不垂不垂直给定平面直给定平面例题例题3：试过定点试过定点S作一平面垂直于已知直线作一平面垂直于已知直线EF。esOXeffsSFENM 过过S点分别作正平线点分别作正平线 SN 、水平线水平线SM, 使使 水平水平SNEF SMEFnnmm4-3 直线与平面垂直直线与平面垂直 两平两平 面垂直面垂直 若一直线垂直于定平面若一直线垂直于定平面则包含该直线的所有平面都则包含该直线的所有平面都垂直于该平面垂直于该平面。据此可以解决据此可以解决:1. 作平面垂直平面作平面垂直平面2. 判断面面是否垂直判断面面是否垂直实质问题是作面垂实质问题是作面垂直直例题例题4：平面由平面由 BDF给定，试过定点给定，试过定点K作平面垂直作平面垂直 BDF 。hacahcmm例题例题5：判断判断 DEF 、 GHK是否与是否与 ABC垂直。垂直。ghcabfdekhgfedcbamhm DEF ABC GHK ABC 4-4 点线面综合题举例点线面综合题举例画法几何问题，归纳起来大体分为画法几何问题，归纳起来大体分为定位问题定位问题和和度量问题度量问题两大类。两大类。（2） 空间分析空间分析 轨迹分析法轨迹分析法 逆推法逆推法（4） 解答分析解答分析（3） 投影作图投影作图（1） 题意分析题意分析 分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，分析有哪些几何条件，有无几何元素在空间处于特殊位置，明确求解的几何元素或几何量。明确求解的几何元素或几何量。EF例题例题1 过点过点K作直线作直线KS平行于三角形平行于三角形ABC并与直线并与直线EF相交。相交。ecbakfeafkcbSACBK(1) 过过K作平面平行作平面平行三角形三角形ABC(2) 求出求出EF与辅助与辅助平面的交点平面的交点Sss(3) 连连KS即为所求即为所求例题例题1 过点过点K作直线作直线KS平行于三角形平行于三角形ABC并与直线并与直线EF相交。相交。ecbakfeafkcbACBEFMNKS例题例题2：求交叉两直线求交叉两直线AB和和CD的公垂线的公垂线MN。dcbaadbc分分 析析EDCBAKMNdcbaadbcABCDmnNMabc( d )c1d1a1b1a2b2(d2 )c2m2n2n1m1mnnmdcbaadbcXX1X2例题例题3：求三角形求三角形ABC及及BCD两平面之间的夹角两平面之间的夹角。dbadcbacXABCDdbadcbacXX1a1c1( b1)d1c1(d1)b1(a1)abcdcbdaXX2例题例题4 以以DC为直角边作等腰直角为直角边作等腰直角CDE(CDE=90)且与且与ABCD平平面垂直。面垂直。e1HV例题例题5：已知等边三角形已知等边三角形ABC , 点点C在在H面上面上 , 求此三角求此三角形的两面投影形的两面投影。babaXabcABCbabaXabcc1. 求边求边AB的实长的实长2. 求边求边AC的水平投影的水平投影3. 求边求边BC的水平投影的水平投影4. 求求c , c并连线并连线59 结束语结束语
