最新同济大学微积分第三版课件第二章第三节幻灯片.ppt
一、隐函数的导数一、隐函数的导数本节要点本节要点二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率三、相关变化率例例3 求由方程求由方程2sincosxyyx解解 方程两边对方程两边对 求导求导, 得得x2cos1sin2cos ,xyyyxy yx0,0将将 代入上式代入上式, 解出解出 , 得得0,0 xyy1,y 故切线方程为故切线方程为0.xy点的切线方程点的切线方程.确定的曲线在确定的曲线在二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 在平面解析几何中在平面解析几何中, 我们学习了用参数来表示曲线我们学习了用参数来表示曲线, cos 02 ,sinxryr表示的中心在原点、半径为表示的中心在原点、半径为 的圆的圆. 通过参数通过参数 可以建可以建r 0 ;如果如果22yrx例如例如, 参数方程参数方程yx立立 与与 的对应关系的对应关系:或或 22yrx 2 .如果如果 一般一般, 若参数方程若参数方程( ),( ),xtyt确定变量确定变量 与与 之间的函数关系之间的函数关系, 则称此函数为由则称此函数为由参数参数yx 在上式中在上式中, 若函数若函数 在某个定义区间上具有在某个定义区间上具有( )xt方程所确定的函数方程所确定的函数.1( )tx单调、连续的反函数单调、连续的反函数 , 并且此函数能与函并且此函数能与函数数 构成复合函数构成复合函数, 由此得函数由此得函数( )yt 1( ),yf xx 再由复合函数的求导法则再由复合函数的求导法则, 得得 ddd dd.ddd ddytyyttxxtxtt 注意的是注意的是: 这里的导数一般情况下这里的导数一般情况下, 仍然可能是用仍然可能是用参参数来表示数来表示.例例4 求曲线求曲线2,xtytt 11d123,d1ttytkx故切线方程为故切线方程为 23(1),yx即即 31.yx解解 当当 时时, 曲线上相应的点的坐标为曲线上相应的点的坐标为 , 曲线曲线1t 1,2线方程线方程.1t 在在 处所对应的切线和法处所对应的切线和法在相应的点的切线斜率为在相应的点的切线斜率为法线方程为法线方程为121 ,3yx 即即17.33yx 例例5 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为已知抛射体的运动轨迹的参数方程为122,1,2xv tyv tgt其中其中 分别是抛射体初速度的水平、铅直分量（见分别是抛射体初速度的水平、铅直分量（见12,v v下图）下图）,xyO1v2vvg是重力加速度是重力加速度.x与与y分别是抛射体在铅直平面上的分别是抛射体在铅直平面上的位置的横坐标和纵坐标位置的横坐标和纵坐标. 求抛求抛射体在时刻射体在时刻 时的运动速度时的运动速度t .v t解解 先求速度的大小先求速度的大小. 速度的水平分量和与铅直分量分速度的水平分量和与铅直分量分别为别为12dd,.ddxyvvgttt因而抛射体运动速度的大小为因而抛射体运动速度的大小为 222212dd,ddxyv tvvgttt再求速度的方向再求速度的方向, 即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向. 设设 是切角是切角, t则由导数的几何意义则由导数的几何意义, 有有 21dddtan/.dddvgtyyxtxttv例例6 一个半径为一个半径为 的圆在定直线上滚动时的圆在定直线上滚动时, 圆周上任一圆周上任一a点的轨迹称为点的轨迹称为摆线摆线. 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程sin,1 cos,xa ttyat所确定的函数所确定的函数 yy x的导数的导数.解解 由求导公式得由求导公式得1 cosddd/dddsinatyyxxtta ttsincot,1 cos2attat2 ,Z .tkk三、相关变化率三、相关变化率 设设 与与 都是可导函数都是可导函数, 且变量且变量 与与( ) ( )xx tyy tyx之间存在某种联系之间存在某种联系, 从而变化率从而变化率 与与 之间也存在之间也存在ddytddxt一定关系一定关系, 这两个相互依赖的变化率称为这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率.例例7 一梯子长一梯子长 , 上端靠着墙上端靠着墙, 下端着地下端着地, 梯子顺梯子顺10m610 xy解解 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设在时刻设在时刻 时时, 梯子上端的坐标梯子上端的坐标t 22100.xtyt方程两端对方程两端对 求导求导, 得关系式得关系式t6m2/m s墙下滑墙下滑. 当梯子下端离墙当梯子下端离墙 时时, 沿着地面以沿着地面以 的的速度离墙速度离墙, 问这时梯子上端下滑的速度是多少？问这时梯子上端下滑的速度是多少？ 0,y t ,0 ,x t为为 梯子下端的坐标为梯子下端的坐标为 10 ,m因梯子的长度为因梯子的长度为 故有关系式故有关系式dd0.ddxyxytt当当 代入上式代入上式, 得得d6,8,2,dxxytd3/.d2ym st 例例8 一飞机在离地面一飞机在离地面 的高度的高度, 以以 的速的速2km200/km h解解 建立坐标系如图建立坐标系如图. 设飞机与目标的水平距离为设飞机与目标的水平距离为 ,xd200,dxvt 飞机飞机xy2x度水平飞行到某目标上空度水平飞行到某目标上空, 以便进行航空摄影以便进行航空摄影, 试求飞试求飞机飞至该目标上空时机飞至该目标上空时, 摄影机转动的角度摄影机转动的角度.则由已知条件得则由已知条件得:2arctan,x角速率为角速率为22ddd12ddddd12/xxtxtxtx所以当飞机飞至目标正上方时所以当飞机飞至目标正上方时, 角速度为角速度为22d,4 dxxt 02200100 rad/h4x 5/.os27 结束语结束语
