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1-2 基本概念基本概念（一）广义力与广义位移（用（一）广义力与广义位移（用F 表示）广义力可以是集中力、分布力、力偶、分布力偶、体力、面力广义力可以是集中力、分布力、力偶、分布力偶、体力、面力广义位移是广义力作功时所对应的位移（线位移与角位移）广义位移是广义力作功时所对应的位移（线位移与角位移）（二）广义应力与广义应变（二）广义应力与广义应变广义应力广义应力正应力与切应力正应力与切应力广义应变广义应变线应变与切应变线应变与切应变（三）虚位移（三）虚位移满足约束条件和变形协调、连续条件一切可能的微小位移满足约束条件和变形协调、连续条件一切可能的微小位移能量原理能量原理系统应变能对某一真实位移的偏导数，在数值上等系统应变能对某一真实位移的偏导数，在数值上等于在这一真实位移处所施加的与之相对应的外力于在这一真实位移处所施加的与之相对应的外力1-5 虚位移原理的应用虚位移原理的应用例例4 EI为常量，用虚移原理求解梁的挠曲线为常量，用虚移原理求解梁的挠曲线例例5 用虚移原理导出卡式第一定理用虚移原理导出卡式第一定理iiFE需要指出，以上阐述虚位移原理和推证卡式第一定需要指出，以上阐述虚位移原理和推证卡式第一定理，均以梁的弯曲为例；其实对于任何变形均成立理，均以梁的弯曲为例；其实对于任何变形均成立能量原理能量原理1-5 虚位移原理的应用虚位移原理的应用 例例6 三铰二杆（线弹性材料）组成的结构三铰二杆（线弹性材料）组成的结构ABC，加载后，加载后不能在原来位置上保持平衡，而在变形后的位置平衡。于是不能在原来位置上保持平衡，而在变形后的位置平衡。于是二杆的受力与点二杆的受力与点B的位移有关。此时，若通过二杆的伸长变形的位移有关。此时，若通过二杆的伸长变形来确定点来确定点B的位移的位移 ，则所得到的位移与载荷不满足线性关系。，则所得到的位移与载荷不满足线性关系。若已知二杆的抗拉刚度为若已知二杆的抗拉刚度为EA，杆长为，杆长为 l，载荷为，载荷为F，试用卡式，试用卡式第一定理求解点第一定理求解点B的位移的位移。3 EAFl解得解得能量原理能量原理1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用 虚位移原理：虚位移原理： 虚力原理：虚力原理：是讨论弹性体变形协调的充要条件，即保持位移不变，使是讨论弹性体变形协调的充要条件，即保持位移不变，使力有一个改变，称为虚力，从而导出虚力原理应用于弹性力有一个改变，称为虚力，从而导出虚力原理应用于弹性体的表达式，并由此派生出卡式第二定理。体的表达式，并由此派生出卡式第二定理。是讨论弹性体平衡的充要条件，即保持力不变，使真实是讨论弹性体平衡的充要条件，即保持力不变，使真实位移产生一虚位移，从而导出虚位移原理应用于弹性体位移产生一虚位移，从而导出虚位移原理应用于弹性体的表达式，并由此派生出卡式第一定理。的表达式，并由此派生出卡式第一定理。虚力在真实位移上做的功，称为虚力在真实位移上做的功，称为虚余功虚余功。能量原理能量原理1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用1） 虚力原理的表述：虚力原理的表述：对于弹性体，保持变形协调的充分和必要条件是外虚余功对于弹性体，保持变形协调的充分和必要条件是外虚余功等于内虚余功，即等于内虚余功，即可用虚位移原理证明虚力原理可用虚位移原理证明虚力原理（证明过程）（证明过程）icecWW外虚余功虚力与相应的真实位移的乘积内虚余功虚力引起的内力分量与相应的真实位移的乘积能量原理能量原理1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用2） 关于虚力和虚力原理的讨论关于虚力和虚力原理的讨论 虚力是任意的，可与真实力无关，但必须满足平衡条件虚力是任意的，可与真实力无关，但必须满足平衡条件 与虚位移原理相似，只适用于小变形，与材料性能无与虚位移原理相似，只适用于小变形，与材料性能无 关，即适用于线弹性和非线弹性材料关，即适用于线弹性和非线弹性材料能量原理能量原理 虚力可以是真实力的增量，此时虚力原理变为：外虚余虚力可以是真实力的增量，此时虚力原理变为：外虚余 功等于弹性体余应变能的增量，写成功等于弹性体余应变能的增量，写成cecVW外虚余功余应变能增量1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用3） 由虚力原理推导出卡式第二定理由虚力原理推导出卡式第二定理（推导过程）（推导过程）能量原理能量原理ipicFE对于线性弹性体，即应力应变满足线性关系，则有对于线性弹性体，即应力应变满足线性关系，则有ipiFE卡式第二定理线性弹性体或系统的应变能对某一个力的偏导数，等于线性弹性体或系统的应变能对某一个力的偏导数，等于与该力相应的位移。与该力相应的位移。1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用例例7 能量原理能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题应用卡式第二定理求解超静定问题解除多余约束，代以解除多余约束，代以 ，并将这，并将这n个个未知力作为已知量，写出结构的应变能表达式未知力作为已知量，写出结构的应变能表达式（以弯、扭变（以弯、扭变形为例）形为例）).(21XnXiXXFFFF，xGIxTxEIxMxEIxMFFFFFFFFElplzzlyypmpjppXnXiXXd2)(d2)(d2)( ).,.,.(2222121，式中式中).(21XnXiXXFFFF，为多余约束力为多余约束力).,.,(21pmpjppFFFF，为原主动力为原主动力1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用能量原理能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题应用卡式第二定理求解超静定问题xGIxTxEIxMxEIxMFFFFFFFFElplzzlyypmpjppXnXiXXd2)(d2)(d2)( ).,.,.(2222121，应用卡式第二定理，可建立求解这应用卡式第二定理，可建立求解这 n个多余约束力的变形协个多余约束力的变形协调方程调方程llpXnlzzXnzyyXnyXnnllpXlzzXzyyXyXllpXlzzXzyyXyXxGITFTxEIMFMxEIMFMFExGITFTxEIMFMxEIMFMFExGITFTxEIMFMxEIMFMFE0ddd.0ddd0ddd22222111111-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用能量原理能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题应用卡式第二定理求解超静定问题解上述解上述n个方程组，便可求出个方程组，便可求出llpXnlzzXnzyyXnyXnnllpXlzzXzyyXyXllpXlzzXzyyXyXxGITFTxEIMFMxEIMFMFExGITFTxEIMFMxEIMFMFExGITFTxEIMFMxEIMFMFE0ddd.0ddd0ddd2222211111).(21XnXiXXFFFF，上述上述n个方程组中，个方程组中， 是对应于刚性约束；若是对应于刚性约束；若为弹性约束，则为弹性约束，则 ，而等于已知的常量。，而等于已知的常量。),.,2 , 1(0nii0i1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用虚力原理及其在弹性杆件中的应用能量原理能量原理应用卡式第二定理求解超静定问题应用卡式第二定理求解超静定问题例例8例例91-7 单位载荷法（摩尔积分）单位载荷法（摩尔积分）能量原理能量原理应用虚位移原理和虚力原理均可以推导出单位载荷法应用虚位移原理和虚力原理均可以推导出单位载荷法一般表达式一般表达式对于线性问题对于线性问题ylsyzlszylyzlzllNFFMMTlFddddd)d(dlzM上式对线性问题与非线性问题均成立上式对线性问题与非线性问题均成立 . ,dd ,dd ,d)d(xEIMxGITxEAFlzzzpN 可以是线位移、角位移、相对位移、相对转角可以是线位移、角位移、相对位移、相对转角1-7 单位载荷法（摩尔积分）单位载荷法（摩尔积分）能量原理能量原理对于线性问题对于线性问题xGAFFxGAFFxEIMMxEIMMxGITTxEAFFlsysyylszszzlyyylzzzlplNNdd dddd对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）xhTTd)(d12xhTTMlzd)(121-7 单位载荷法（摩尔积分）单位载荷法（摩尔积分）能量原理能量原理对于线性问题对于线性问题对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）对于温度效应问题（以温度引起的弯曲问题为例）计算摩尔积分的图乘法的两个前提条件计算摩尔积分的图乘法的两个前提条件能量原理能量原理1）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性平衡稳定性判别准则：平衡稳定性判别准则： 静力学准则静力学准则 施加微小扰动施加微小扰动 ，使刚体（弹性体，使刚体（弹性体 或结构）偏或结构）偏 离初始平衡位置（构形）；扰动解除后，刚体（弹离初始平衡位置（构形）；扰动解除后，刚体（弹 性体或结构）仍能回复到初始平衡位置（构形），性体或结构）仍能回复到初始平衡位置（构形）， 则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则是不稳定则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则是不稳定 的。的。1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理能量原理能量原理1）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性平衡稳定性判别准则：平衡稳定性判别准则： 能量准则能量准则 在所有平衡位置（构形）中，总势能取极小者在所有平衡位置（构形）中，总势能取极小者 是稳定的平衡位置（构形）；总势能取极大者是不是稳定的平衡位置（构形）；总势能取极大者是不 稳定的平衡位置（构形）。稳定的平衡位置（构形）。1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理能量原理能量原理1）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性）刚体平衡、弹性体（结构）平衡构形的稳定性平衡稳定性判别准则：平衡稳定性判别准则： 动力学准则动力学准则 施加微小扰动施加微小扰动 ，使刚体（弹性体，使刚体（弹性体 或结构）在或结构）在 初始平衡位置（构形）附近作自由振动，若振动是初始平衡位置（构形）附近作自由振动，若振动是 有界的，则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则有界的，则初始平衡位置（构形）是稳定的。否则 是不稳定的。是不稳定的。1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理能量原理能量原理2）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）任何一机械系统或结构系统的势能，定义为该系统从任何一机械系统或结构系统的势能，定义为该系统从实际形态运动到某一参考形态时所有作用力所做的功。实际形态运动到某一参考形态时所有作用力所做的功。为此，我们总是采取卸载的结构形态（构形）作为参为此，我们总是采取卸载的结构形态（构形）作为参考形态，因而，考形态，因而，势能为从受载形态（位置）运动到卸势能为从受载形态（位置）运动到卸载下的形态（位置）时，所有力所作的功载下的形态（位置）时，所有力所作的功。 1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理结构的作用力包括外载荷和内力。内力结构的作用力包括外载荷和内力。内力势能应是受载势能应是受载结构中的应变能；载荷的位置势能为从其最终位置往结构中的应变能；载荷的位置势能为从其最终位置往回移至其初始位置所做的功，是负值回移至其初始位置所做的功，是负值。 能量原理能量原理2）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）弹性体的总弹性势能（简称为总势能）1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理FVEV总势能总势能应变能应变能载荷的位置势能载荷的位置势能1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理3） 势能驻值定理势能驻值定理满足约束条件和变形连续条件的平衡构形的充要条件是，系满足约束条件和变形连续条件的平衡构形的充要条件是，系统在这一构形下的总势能取驻值。即统在这一构形下的总势能取驻值。即0V其中其中 FVEV总势能总势能应变能应变能载荷的位置势能载荷的位置势能能量原理能量原理1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理4） 弹性体的最小势能原理弹性体的最小势能原理所有满足约束条件和变形连续条件的平衡构形中，只有使系所有满足约束条件和变形连续条件的平衡构形中，只有使系统的总势能取极小值的平衡构形才是稳定的平衡构形。即统的总势能取极小值的平衡构形才是稳定的平衡构形。即界状态平衡构形处于稳定的临，平衡构形是不稳定的，平衡构形是稳定的， 0 0 0VVV其中其中V 是从所考察的平衡构形到任意相邻的构形时，系统是从所考察的平衡构形到任意相邻的构形时，系统总势能的改变量总势能的改变量 。对于一维问题，用泰勒级数展开，有。对于一维问题，用泰勒级数展开，有 .! 31! 2132VVVV能量原理能量原理1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理4） 弹性体的最小势能原理弹性体的最小势能原理界状态平衡构形处于稳定的临，平衡构形是不稳定的，平衡构形是稳定的， 0 0 0VVV.! 31! 2132VVVV因为构形是平衡的，由势能驻值定理，有因为构形是平衡的，由势能驻值定理，有 ，于，于是，是，V的正负由高阶项的正负来判断。例如的正负由高阶项的正负来判断。例如0V定性，余此类推的正负来判断系统的稳需要据，平衡构形是不稳定的，平衡构形是稳定的，VVVV3222 0 0 0能量原理能量原理1-8 弹性体平衡构形的弹性体平衡构形的势能驻值定理势能驻值定理与与最小势能原理最小势能原理例例10 分析两端任意约束，理想细长压杆的临界力分析两端任意约束，理想细长压杆的临界力例例11 一端固定，另一端自由，在均布轴向力作用下细长压一端固定，另一端自由，在均布轴向力作用下细长压 杆的临界力杆的临界力能量原理能量原理31 结束语结束语