最新向量的乘积幻灯片.ppt

2 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示 cos|baba 实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积9例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()( 垂垂直直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(10|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例二、两向量的向量积LFPQO 11向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.12向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa (), 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 ()0sin . 0sin| baba证证ba/ba/或或0 13,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式14向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出15zzyxbaaa 000, 0 yxaa补充补充|ba 表表示示以以a和和 b为为邻邻边边 的的平平行行四四边边形形的的面面积积. xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，abbac 16例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量. 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj17例例 4 4 在顶点为在顶点为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三角形中，求三角形中，求AC边上的高边上的高BD. 解解ABCD3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD18例例 5 5 设设向向量量pnm,两两两两垂垂直直，符符合合右右手手规规则则，且且4| m，2| n，3| p，计计算算pnm )(. 解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，19定义定义设设已已知知三三个个向向量量a、b、c，数数量量cba )(称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为为cba. . cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积20（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义： 向向量量的的混混合合积积cbacba )(是是这这样样的的一一个个数数，它它的的绝绝对对值值表表示示以以向向量量a、b、c为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三三向向量量a、b、c共共面面. 0 cba21 已已知知2 cba， 计计算算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例622例例 7 7 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求求四面体的体积四面体的体积. 解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 23,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.24向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.七、小结（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）向量的数量积、向量的数量积、向量的向量积、向量的向量积、向量的混合积、向量的混合积、（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）25思考题思考题2.已知向量已知向量0 a，0 b， 证明证明2222)(|bababa . 26思考题解答思考题解答1.对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四边形的对角线的长度各为平行四边形的对角线的长度各为11, 3.mn27)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 2.28补充知识要点-29312213332112322311312312322113332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2112221122211211aaaaaaaa定义定义：称为二阶行列式。称为三阶行列式。称行列式中的数为元素。30 通常用行列式中元素 aij 的下标表示元素所在的位置。第一个下标 i 为行指标，第二个下标 j 为列指标。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。二阶和三阶行列式的计算二阶和三阶行列式的计算对角线法则：11a12a22a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa 2112aa21a31 333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311312312322113332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa322-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 1433例例 求证322)(11122 babbaababa证明：证明：2222223222232232233()22()22 2222 33aabababbaba ba baa babababba ba baa babbab左边（）右边34小结小结1、二阶和三阶行列式分别是形如表达式。aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa的简记式和312213332112322311312312322113332211211222112、二阶和三阶行列式都可按对角线法则进行计 算。后面还将介绍其他计算方法。3、在用对角线法则计算三阶行列式时：35312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa6项的行下标全为123，而列下标分别为123123，231231，312312 此三项均为正号，132132，213213，321321 此三项均为负号。4、对角线法则不用于计算更高阶的行列式。365、二阶或三阶行列式中的元素无论有没有足标，都不改变对角线法则。 333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311312312322113332211aaaaaaaaaaaaaaaaaabcaddcbaaaaaaaaa2112221122211211cegbdiafhbfgcdhabcihgfedcba