最新同济版线性代数课件--第五节向量空间PPT课件.ppt

说明说明.,VRV 则则若若2 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 .nnR;,VVV 则则若若定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间nVVVV1集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指V., 11线性表示线性表示可由可由，则，则设设maaxVx 证证,:12VxVx 则则若若类似地可证类似地可证.211221VVVVVV ，所以，所以，因为因为线性表示，线性表示，可由可由线性表示，故线性表示，故可由可由因因ssmbbxbbaa,111.2Vx 所所以以，则则这这就就是是说说，若若21VxVx .21VV 因因此此.12VV 因此因此定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量空间，若向量空间，就说就说 是是 的的子空间子空间21VV 1V2V1V2V实例实例RVn 显显然然.的的子子空空间间总总是是所所以以RVn设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，维向量所组成的向量空间，Vn;,)1(21线线性性无无关关r .,2)(21线线性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由rV 那末，向量组那末，向量组 就称为向量的一个就称为向量的一个r, 21V基基， 称为向量空间称为向量空间 的维数的维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间VrVr定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足r,21 VVr , R,xVrrr 12211(1) 只含有零向量的向量空间称为只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，维向量空间，因此它没有基因此它没有基说明说明(3) 若向量组若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为r, 21VV(2) 若把向量空间若把向量空间 V 看作向量组看作向量组 , 那末那末V 的基就是的基就是向量组的最大无关组向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的秩的维数就是向量组的秩.,21所生成的向量空间所生成的向量空间称为由向量组称为由向量组r 坐标坐标坐标坐标 组合系数组合系数rrrxVxV 221121,有有若若的的一一组组基基是是设设.,2121的坐标的坐标关于基关于基称为向量称为向量则数组则数组rrx 123123T1231:R3,e ,e ,e,e ,e ,eR.(1,1,0) ,(1,0,1) ,(0,1,1) ,R,R.TT3333例的秩为为其一组线性无关向量故是的一组基也是的一组线性无关的向量 也可作为的一组基., )4( 21一个基一个基维向量都是的维向量都是的的的个线性无关个线性无关任意任意的自然基的自然基是是nnnRnnReee五、基变换公式五、基变换公式 坐标变换公式坐标变换公式1PAB333Ra ,a ,aR,b ,b ,bRb ,b ,b )(a ,a ,a )P-P-123123123123以为例:(1)基变换:设;为的一组基为的一组新基则(旧基到新基的基变换公式旧基到新基的过渡矩阵123123(2):x,z ,yyyzz坐 标 变 换设在 旧 基 下 的 坐 标 为在 新 基 下 的 坐 标 为11223311111222333P.yzxA yB zyzzyyzBA yyzyy 则旧基到新基的坐标变换式