合肥168中学自主招生数学试题及答案.doc
Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date合肥168中学自主招生2013年数学试题及答案合肥168中学自主招生2013年数学试题及答案2013年合肥一六八中学自主招生考试数学试卷答案1. C。 2. D。（PD=7，PB=6）3. B或C。（若a+b+c0，则k=2，选B；若a+b+c=0，则k=-1，选C）4. B。（ax中若x为偶数则ax=-x/2，若x为奇数则ax=-x/2+1/2）5. C。（分别为1、1、7，1、2、4，1、3、1和2、1、2）6. B。（易证OBCBAC，可得比例式1：a = a：(a+1)，解方程并排除负解得B）7. B。（由n+m=4s，可知AD²/4+BC²/4=AB²即AD²+BC²=4AB²，作BEAD交CD于 E，可证得BEC是直角三角形且四边形ABED是平行四边形，AD=BE，AB=DE，AD²+BC²=CE²，于是得4AB²=CE²即2AB=CE即2DE=CE，所以CD=3AB）8. C。（通过十字相乘法分解因式，得y=(nx-1)(n+1)x-1，故其与x轴交点为1/n和1/(n+1)，所截得线段长度为1/n-1/(n+1)。所以线段长度之和为1-1/2+1/2-1/3+1/2013-1/2014 = 2013/2014）9. 3 EQ R(,3) 。（连接OB，OAAP，OBBP，易算出BAP和ABP为60°，于是得ABP为等边三角形；易算出AB= EQ R(,3) ，所以周长为3 EQ R(,3) ）10. 27。 11. 56。（观察可知aij=(i-1)²+j×(-1)i+j+1）12. 5/18。13. 3 EQ R(,2) 。（显然AC是正方形ABCD的对称轴，对于在AC上的任意一个P点，都能满足PB=PD，所以PD+PE=PB+PE。显然当P点恰为AC、BE的交点时PB+PE值最小，所以最小值为PB+PE=BE=AB=3 EQ R(,2)）14. 2（易算出SABD=6，SABE=4，所以SABD- SABE=2，即SADF-SBEF=2）15. 0°<<60°（由题意可知b²-4ac<0，即：(4sin)²-4×6×cos<0。化简，得2sin²-3cos<0。由sin²+cos²=1，可知2sin²=2-2cos²，令x=cos，则2-2x²-3x<0，化简得(2x-1)(x+2)>0。所以2x-1和x+2同正或同负，解得x>1/2或x<-2。x=cos，x<-2排除，故x>1/2即cos>1/2，得<60°。又为三角形内角，所以0°<<60°）16. (1)化简得原式=1/(a²+2a)，又由a²+2a-1=0可得a²+2a=1，原式值为1。 (2)若a=b，则原式=1+1=2； 若ab，则a、b为x²+3x+1=0的两个根，由韦达定理可得a+b=-3，ab=1。将原式化为(a+b)²/ab-2，代入，得原式值为7。 综上，原式的值为1或7。17. (1)作AFBC于F，易得出BF=1，AF= EQ R(,3) 。又BC= EQ R(,3) +1，CF= EQ R(,3) 。由勾股定理，得AC= EQ R(,6) 。 (2)由(1)及题目，易算出SABF= EQ R(,3) /2，SACF=3/2。SACE= EQ R(,3) /2。做法A：由S=CE×AD/2可得AD= EQ R(,6) /2，sinACD=1/2，ACD=30°。做法B：由S=sinACD×CE×AC/2（面积公式），可得sinACD=1/2，ACD=30°。18. (1)若0<t2，作DEBC于E，易得BE=3，EC=1，NP=DE= EQ R(,3) ，PE=DN=BM=t，ABC=60°。AB=AD，ADBC，DBC=ADB=ABD=30°， PQ=BP/ EQ R(,3) = EQ R(,3) - EQ R(,3) t/3。S=PQ×BM/2=- EQ R(,3) /6(t-3/2)²+3 EQ R(,3) /8(0<t2)。此时S的最大值为3 EQ R(,3) /8。若2t<4，易得BP=NB/2=(4-t)/2。同0<t2，可得PQ= BP/ EQ R(,3) =2 EQ R(,3) /3- EQ R(,3) t/6。S=PQ×BM/2=- EQ R(,3) /12(t-2)²+ EQ R(,3) /3(2t<4)。此时S最大值为 EQ R(,3) /3。显然3 EQ R(,3) /8大于 EQ R(,3) /3，故S的最大值为3 EQ R(,3) /8。综上所述，S= - EQ R(,3) /6(t-3/2)²+3 EQ R(,3) /8(0<t2), S= - EQ R(,3) /12(t-2)²+ EQ R(,3) /3(2t<4), S的最大值为3 EQ R(,3) /8。 (2)若BM=MQ，当0<t2时，t= EQ R(,（ EQ R(,3) - EQ R(,3) t/3）²+(3-t-t)²) ，解得t1=3（舍去），t2=1.2。当2t<4时，t= EQ R(,t-(4-t)/2²+(2 EQ R(,3) /3- EQ R(,3) t/6)²) ，解得t1=1（舍去），t2=4（舍去）。若BM=BQ，当0<t2时，2×( EQ R(,3) - EQ R(,3) t/3)=t，解得t=12-6 EQ R(,3) 。当2t<4时，2×(2 EQ R(,3) /3- EQ R(,3) t/6)=t，解得t=2 EQ R(,3) -2（舍去）。若MQ=BQ，当0<t2时， EQ R(,（ EQ R(,3) - EQ R(,3) t/3）²+(3-t-t)²) =2×( EQ R(,3) - EQ R(,3) t/3)，解得t1=2，t2=0（舍去）。当2t<4时， EQ R(,t-(4-t)/2²+(2 EQ R(,3) /3- EQ R(,3) t/6)²) =2×(2 EQ R(,3) /3- EQ R(,3) t/6)，解得t1=2，t2=0（舍去）。 综上所述，当t=1.2或t=12-6 EQ R(,3) 或t=2时，BMQ为等腰三角形。19. (1)由垂直平分可得BE=DE，设BE=DE=x，则有(3-x)²+( EQ R(,3) )²=x²，得x=2。故DE=2。 (2)由(1)及题目可得AE=1，则AEB=60°。易证DFE=BEF=EBF=60°，BE=FE，BG=BM=FN，BEG和FEN全等（SAS），GEN=BEF=60°。20. 题目缺失21. (1)把A（1，-4）代入直线表达式得y=2x-6，算出B点坐标为（3，0），将A、B两点代入抛物线表达式，得y=x²-2x-3。 (2)存在。OP为公共边，OB=3=OC，要使两三角形全等，可使POB=POC，即P点在直线y=-x上。计算得出直线y=-x与抛物线在第二象限的交点坐标为（1/2- EQ R(,13) /2， EQ R(,13) /2-1/2）。 (3)若QAB=90°，则可设直线QA的表达式为y=-x/2+b，将A点坐标代入，得y=-x/2-7/2，故Q点坐标为（0，-7/2）。若QBA=90°，同上可设QB的表达式为y=-x/2+b，将B点坐标代入，得y=-x/2+3/2，故Q点坐标为（0，3/2）。若AQB=90°，可设QA表达式为y1=-x/k+b，则QB表达式为y2=kx+b。将A点坐标代入y1，B点坐标代入y2，可得k1=1，b1=-3；k2=1/3，b2=-1。当k=1时，Q点坐标为（0，-3）；k=1/3时，Q点坐标为（0，-1）。综上所述，Q点的坐标为（0，-7/2）或（0，3/2）或（0，-3）或（0，-1）。 (4)不存在，理由如下：作线段AB的中垂线MN，在A点左侧交抛物线于点M，在A点右侧交抛物线于点N，交线段AB于点E，则E点坐标为（2，-2）。设直线MN的表达式为y=-x/2+b。把E点代入直线MN，得y=-x/2-1。计算得M点坐标为（3/4- EQ R(,41) /4，-11/8+ EQ R(,41) /8），N点坐标为（3/4+ EQ R(,41) /4，-11/8- EQ R(,41) /8）。易算出EA=EB= EQ R(,5) ，若能构成等边三角形，则等边三角形的高为 EQ R(,5) × EQ R(,3) = EQ R(,15) 。计算可知ME和NE都不等于 EQ R(,15) ，不存在这样的点R。-
