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估算一元二次方程的根 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date在一般形式在一般形式ax2+bx+c=0中，中，注意注意（1）一般形式的一般形式的右边右边必须是必须是0， （2）左边）左边是按降幂排列的三项式，是按降幂排列的三项式， 当然也可以没有一次项、常数项。当然也可以没有一次项、常数项。3 3方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的条件：的条件： （1 1）当）当a0a0时，是一元二次方程。时，是一元二次方程。（2 2）当）当a=0a=0并且并且b0 b0 时时 ， 是一元一次方程是一元一次方程。用用估算估算的方法求一元二次方程的的方法求一元二次方程的近似根近似根。有些实际问题在解决的时候只需有些实际问题在解决的时候只需确定确定大体的取值范围大体的取值范围，因此我们，因此我们可用可用逼近逼近的方法求的方法求近似根近似根。第一步第一步：化为一般形式：化为一般形式 2 2x x2 2 13x+11=013x+11=0 第二步第二步：根据实际情况确定：根据实际情况确定x x大体的取值范围。大体的取值范围。X X可能大于可能大于4 4吗？吗？X X可能大于可能大于2.52.5吗？吗？不可能是不可能是0,0,没有实际意义没有实际意义X X可能小于可能小于0 0吗？吗？x x的范围是的范围是 0 0 x 2.5x 2.5解：设花边的宽为解：设花边的宽为XmXm，根据题意得，根据题意得，5cm8cmx8-2x5-2x（8-28-2x)(5-2x)=18x)(5-2x)=18第三步第三步: :在在x x范围内范围内取整数值取整数值, ,分别代入方程，如分别代入方程，如果有一个数能够使方程的左边等于果有一个数能够使方程的左边等于0,0,则这个数就则这个数就是方程的一个解是方程的一个解. 2. 2x x2 2 13x+11=013x+11=0 ( ( 0 x2.5 0 x2.5 ) )x x0 01 12 22 2x x2 2 13x+1113x+11110-7 当当x=1x=1时，时，2 2x x2 2 13x+11=0 13x+11=0 ，所以方程的解为所以方程的解为x=1x=1若在若在x x许可的范围内取整数值，没有一个许可的范围内取整数值，没有一个整数整数能够使方程的左边等于能够使方程的左边等于0 0怎么办？怎么办？列表列表你还有其它办法吗？你还有其它办法吗？（x+6）+7 =10 7m10mX+6一、化简：一、化简： x+12x-15 =0二：二：X的大致范围的大致范围 ：是是1 x 2 ，三：保留整数部分不变，从三：保留整数部分不变，从1.1取到取到1.9找十分位找十分位x1.1 1.21.3 1.41.5 1.6 1.7x x2 2 +12x-15+12x-15-0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 6.76 8.29做一做一做做第四步第四步：若在若在x x的范围内取值，没有一个数能够的范围内取值，没有一个数能够 使方程的左边等于使方程的左边等于0, 0, 则找出值最接近于则找出值最接近于0 0且小于且小于0 0的数，这个的数，这个数就是方程精确到十分位的取值。数就是方程精确到十分位的取值。x1.1 1.21.3 1.41.5 1.6 1.7x x2 2 +12x-15+12x-15-0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 6.76 8.29 X X的大致范围的大致范围 是是1.1 1.1 x 1.2x 1.2， 因此的整数部分是因此的整数部分是1,1,十分位是十分位是1 1总结用估算法解一元二次方程步骤总结用估算法解一元二次方程步骤：第一步第一步：化为一般形式：化为一般形式 2 2x x2 2 13x+11=013x+11=0第二步第二步：根据实际情况确定：根据实际情况确定x x大体的取值范围。大体的取值范围。第三步第三步: :在在x x范围内取整数值范围内取整数值, ,能够使方程左边等于能够使方程左边等于0,0,则则这个数就是方程的一个解这个数就是方程的一个解. . 第四步第四步：若在若在x x的范围内取值，没有一个数能够的范围内取值，没有一个数能够 使方程的左边等于使方程的左边等于0, 0, 则找出值最接近于则找出值最接近于0 0且小于且小于0 0的数，这个的数，这个数就是方程的近似取值。数就是方程的近似取值。一名跳水运动员进行一名跳水运动员进行1010米跳台跳水训练米跳台跳水训练, ,在正常在正常的情况下的情况下, ,运动员必须在距水面运动员必须在距水面5 5米米以前完成规以前完成规定的翻腾动作定的翻腾动作, ,并且调整好入水姿势并且调整好入水姿势, ,否则就容否则就容易出现失误易出现失误, ,假设运动员起跳后的运动时间假设运动员起跳后的运动时间t(s)t(s)为和运动员距水面的高度为和运动员距水面的高度h(m)h(m)满足关系满足关系: : h=10+2.5t-5th=10+2.5t-5t2 2 , , 那么他那么他最多最多有多长的时间完有多长的时间完成规定的动作成规定的动作? ?解解: :要完成规定动作最多的时间是要完成规定动作最多的时间是h=5h=5时时即即: : 5=10+2.5t-5t5=10+2.5t-5t2 2 化为一般形式化为一般形式2 2t t2 2 -t-2=-t-2= 0 0化为一般形式化为一般形式 ：2 2t t2 2 -t-2=-t-2= 0 0t01232t2t2 2 t-2t-2-2-1413列表列表所以所以1 1 t t 2 2列表列表t1.11.21.31.42t2t2 2 t-2t-2-0.68 -0.320.08 0.52所以所以1.21.2 t t 1.3 1.3答答: :他完成动作的时间最多不超过他完成动作的时间最多不超过1.31.3秒秒小结：小结：夹逼估算法解一元二次方程步骤夹逼估算法解一元二次方程步骤：第一步第一步：化为一般形式：化为一般形式 2 2x x2 2 13x+11=013x+11=0第二步第二步：根据实际情况确定：根据实际情况确定x x大体的取值范围。大体的取值范围。第三步第三步: :在在x x范围内取整数值范围内取整数值, ,能够使方程左边等于能够使方程左边等于0,0,则则这个数就是方程的一个解这个数就是方程的一个解. . 第四步第四步：若在若在x x的范围内取值，没有一个数能够的范围内取值，没有一个数能够 使方程的左边等于使方程的左边等于0, 0, 则找出值最接近于则找出值最接近于0 0且小于且小于0 0的数，这个的数，这个数就是方程的近似取值。数就是方程的近似取值。练习练习3：有一个两位数有一个两位数,个位数字与十位数字之和等于个位数字与十位数字之和等于6,而且这两个数字而且这两个数字的积等于这个两位数的的积等于这个两位数的 1/3,求这个两位数求这个两位数. 设设:这个两位数的这个两位数的十位数字十位数字是是x,则个位数字是则个位数字是(6-x) x(6-x)= 1/3(10 x+6-x)化成一般形式为化成一般形式为: x x2 2 -3x+2=0-3x+2=0根据题意得根据题意得x的范围是的范围是:0 x 6x123456x x2 2 -3x+2-3x+200261220 x =1 或或 x=2当当x =1 时这个两位数是时这个两位数是15当当x =2时这个两位数是时这个两位数是24
