最新反常积分的判敛法精品课件.ppt
复复习习： 1 1反常积分反常积分 无无界界函函数数的的反反常常积积分分无无穷穷限限的的反反常常积积分分 2 2P 积分积分)0( axdxap 时收敛时收敛当当 1 p；时发散时发散当当 1 p。 3 3. . q积积分分 baqaxdx )(及及)()( baxbdxbaq 时时收收敛敛当当 1 q；时时发发散散当当 1 q。 设设) ,)(),(baCxgxf ， bx 为为无无穷穷型型间间断断点点， 且且), bax 时时，)()(0 xgxf ， 则则（1 1）当当 badxxg )(收收敛敛时时， badxxf )(也也收收敛敛； （2 2）当当 badxxf )(发发散散时时， badxxg )(也也发发散散。 3.2 3.2 无界函数反常积分的判敛法无界函数反常积分的判敛法 若若ax 为无穷型间断点，相应的极限式为为无穷型间断点，相应的极限式为 lxfaxqax )()(lim。 设设) ,)(baCxf ，0)( xf ，bx 为为无无穷穷型型间间断断点点， 且且lxfxbqbx )()(lim，则则 （1 1）当当1 q， l0时时， badxxf )(收收敛敛； （2 2）当当1 q， l0时时， badxxf )(发发散散。 例例 4 4判判别别下下列列反反常常积积分分的的敛敛散散性性： （1 1）椭椭圆圆积积分分）( )1( )1)(1(2 1 0 222 kxkxdx )1)(1(1)1(lim222211xkxxx ,)1(21)1)(1(1lim2221kxkxx )1)(1( 1 0 222 xkxdx收收敛敛。 解解：1 x是是瑕瑕点点。 )1(21 ,21(2klq （2 2）dxx sin1 0 解解：0 x和和 x是是瑕瑕点点，为为此此讨讨论论下下面面两两个个反反常常积积分分 dxxI sin1 2 10 和和dxxI sin1 22 的的敛敛散散性性 1sinlimsin1lim0210 xxxxxx， )1 ,21( lq1I收收 敛敛 。 1)sin(limsin1)(lim21 xxxxxx， )1 ,21( lq2I收收 敛敛 。 故故21 0 sin1 IIdxx 收收敛敛。 解解：此此积积分分的的积积分分区区间间为为无无穷穷区区间间，时时又又当当 1 x，0 t 是是被被积积函函数数的的瑕瑕点点。 dtteIxt 110 1 ，dtteIxt 11 2 ， 先先讨讨论论1I的的敛敛散散性性。 当当1 x时时，1I是是常常义义积积分分，收收敛敛的的； 1lim)0(lim0110 ttxtxtetet， 为为此此讨讨论论下下列列两两个个反反常常积积分分： 例例 5 5判判别别反反常常积积分分dttext 1 0 的的敛敛散散性性。 dtteIxt 110 1 收收敛敛。 ,0时时 x有有 再再讨讨论论2I的的敛敛散散性性。 0limlim112 txtxttettet， dtteIxt 11 2 收收敛敛。 综综上上可可知知， 反反常常积积分分dttext 1 0 ，当当时时 0 x收收敛敛；时时当当 0 x发发散散。 )0 , 12( lp , 1 11 lxq 当当10 x时时，有有 , 1 , 11 lxq dtteIxt 110 1 发发散散。 1 1. . 函函 数数 的的 定定 义义 函函数数dttexxt )(1 0 ，), 0( x称称为为伽伽马马函函数数。 2 2函函数数的的递递推推公公式式 ：)0)()1( xxxx证证明明：)( )1( 0 0 txxtedtdttex )()(0 10 0 xxdttextdeetxtxttx 。 )1()1()()1(nnnnnn)1(!)1(12)2)(1( nnnn3 3 函函数数的的定定义义域域的的扩扩充充 而而1e )1( 0 dtt， 故故! )1( nn 。 当当01 x，即即01 x时时，)1( x有有定定义义， 从从而而定定义义xxx)1()( ，01 x， 当当12 x，即即011 x时时，)1( x有有定定义义， 再再定定义义xxx)1()( ，12 x， 当当 x 为为正正整整数数 n 时时，有有 依依次次类类推推，可可将将)(x 的的定定义义域域 0 扩扩充充为为除除与与负负整整数数 之之外外的的一一切切实实数数，即即 3, 2, , 10 ,)1(0 , )(1 0 xxxxxdttexxt且且4 4 函函 数数 的的 其其 它它 形形 式式 在在dttexxt )(1 0 中中，令令)0(2 uut， 则则得得函函数数的的另另一一种种形形式式： 在上式中令在上式中令21 x，则得，则得 . 2)(12 0 2duuexxu .22 2)21( 0 2 dueu解解：令令tx 8，dtdxx 78， dttexxt )(1 0 )()1(xxx 例例 6 6利利用用函函数数求求积积分分dxexx8 0 19 的的值值. . dxexx8 0 19 dttet 0 125 81)123(81)25(81 )23(2381 .323)21(212381)121(2381 dxxxex712 0 8 818 )21(
