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向量空间的基向量空间的基目录后页返回2 2前页 定义定义5.1.1 非空集合 称为域 上的向量空间向量空间 VF(vector space)或线性空间线性空间(linear space), 如果 关于 V加法（记作“+”）运算构成一个交换群，并且对每个 , 在 中可惟一地确定一个元素 (称为 kFvVVkvk与 的标量乘法标量乘法)，使得对所有的 ， , 以 v, l mF, u vV下四个条件都满足： (M1) ; ()()lm vl mv (M2) ; ()lm vlvmv目录后页返回3 3前页目录后页返回4 4前页目录后页返回5 5前页目录后页返回6 6前页目录后页返回7 7前页目录后页返回8 8前页目录后页返回9 9前页 定义定义5.1.3 向量组 称为在 上线性线性 12,nv vvF相关相关(linearly dependent), 如果存在不全为零的元 , 使得 . 如果 12,nk kkF1 12 20n nk vk vk v向量组在 上不是线性相关的, 则称为在 上线性无线性无 FF关关(linearly independent). 例例8设 , 则 中的向量组 20,1F Z3F ， ， 在 上是线性无关的. 因为假 (1,0,0) (1,1,0)(1,1,1)F设存在 , 使得 , ,a b cF目录后页返回1010前页(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)(0,0,0)abc那么 , 于是 . (, )(0,0,0)abc bc c0abc 定义定义5.1.4 设 是 上的向量空间. 是 的 VFBV一个非空子集. 如果 中任一有限子集都在 线性无 BF关, 且 张成 , 则称 为 的基. BVBV目录后页返回1111前页 例例9集合 5,aabVa babbZ是 上的向量空间 . 则我们可以证明 5Z1101,1011B 是 的基. V首先我们来证明 是线性无关的. B假设有 , 使得 5, a bZ目录后页返回1212前页110100101100ab那么有 0000aababb所以, , 从而 线性无关. 其次, 中任何 0abBV元素都具有形式 11011011aabababb因此, 生成 , 即 是 的基. BVBV目录后页返回1313前页 定理定理5.1.1 如果 和 都 12 ,mu uu12,nw ww是域 上向量空间 的基, 那么 FVmn 证证假设 . 不妨设 . mnmn由于 12,mu uu张成 , 所以可设 , 且这些 V11 1mmwk uk u 不全为零, 对 的顺序适当重排后可 ikF12,mu uu设 ,则 张成 . 10k 12,mw uuV 设 , 21122mmwl wl ul u则 中至少有 2,mll一个不为零, 设 , 20l 则 张成 继续 123,mw w uuV目录后页返回1414前页这样下去, 有 张成 . 12,mw wwV但此时 是 1mw 的线性组合, 矛盾! 12,mw ww 定义定义5.1.5如果一个向量空间 具有一个含 Vn个元素的基, 则称 的维数维数(dimension)是 . 零空 Vn间 称为是由空集张成的, 并规定它的维数是0. 0 可以用集合论的方法证明每个向量空间都有基. 以有限多个元素为基的向量空间(包括零空间)称为 有限维向量空间有限维向量空间(finite dimensional vector space), 否 目录后页返回1515前页则称为无限维向量空间无限维向量空间 (infinite dimensional vector space). 例例10例1中的域 上的向量空间 是 维的, FnFn12(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1)neee是 的自然基而例3中的向量空间 是 上的 nF pxZpZ无限维向量空间, 是 的一个基. |0nxn 5 xZ
