课题学习_最短路径问题课件.ppt
13.4课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题人民教育出版社人民教育出版社 八年级（上）八年级（上）广西南宁市宾阳县光华中学广西南宁市宾阳县光华中学 授课人：梁亮权授课人：梁亮权相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？线全程最短？BAlABCD 如图，点如图，点A A关于直线关于直线l的对称点是点的对称点是点B B，点点C C，D D在在直线直线l上，则上，则CA与与CB，DA与与DB大小关系如何？大小关系如何？理由是什么？理由是什么？lCA=CBDA=DB对称轴是对称点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 如图，从如图，从A A地到地到B B地有三条路可供地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？的理由是什么？ 两点之间两点之间,线段最短线段最短FEDCBA我选第条路条路已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两的两侧，在侧，在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L交于点交于点P 就是所求就是所求。根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？线全程最短？BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用用轴对称的知识轴对称的知识回答了这个问题这个问题回答了这个问题这个问题后来被称为后来被称为“将军饮马问题将军饮马问题”这就是我们这就是我们这节课学习的内容这节课学习的内容最短路径问题最短路径问题 你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ BAl将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象抽象为一条直线为一条直线 BAl作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ ABCBl你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +CB最短吗？最短吗？ 证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，CB，CB 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， CB = =CB，CB= =CB AC + +C B= = AC + +C B= = AB， AC+ +CB= = AC+ +CBBlABCCABAC+ +CB，AC + +CBAC+ +CB即即AC + +CB 最短最短在在ABC中中，问问回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？过程、借助什么解决问题的？ BlABCC利用了轴对称的有关知识，利用了轴对称的有关知识，把把两点之间，线段最短两点之间，线段最短”解决问题。解决问题。 小试牛刀小试牛刀 如图如图，OM,ON是两条公路，在两条公路是两条公路，在两条公路之间有一油库之间有一油库A，现在想在两条公路分别，现在想在两条公路分别建一个加油站，为使运油的车从建一个加油站，为使运油的车从A出发先出发先到一个加油站再到另一个加油站，最后到一个加油站再到另一个加油站，最后回到油库回到油库A的路程最短，的路程最短， 问加油站应如何选址？问加油站应如何选址？ 再试试再试试 光华中学光华中学93班举行文艺晚会，桌子摆成如班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排图所示两直排(图中的图中的AO，BO)，AO桌面桌面上摆满了橘子，上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，桌面上摆满了糖果，站在站在C处的小明想先拿橘子再拿糖果处的小明想先拿橘子再拿糖果，然，然后到后到D处座位上，请你帮助他设计一条行处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？走路线，使其所走的总路程最短？OAD C B发现一个规律发现一个规律：最短路径（最短路径（最小值最小值）问题一般回归到：）问题一般回归到： 两点之间，线段最短。两点之间，线段最短。 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.BCDE分析：当分析：当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小 已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小，组成三角形，使三角形周长最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接；连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点，则点B、点点C即为所求即为所求1. 如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）ABMN作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E E， 2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M, 则点则点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。证明：由平移的性质，得证明：由平移的性质，得 BNEM BNEM 且且BN=EM, BN=EM, MN=CD,BD MN=CD,BDCE, BD=CE,CE, BD=CE,所以所以A A到到B B地的路程为地的路程为: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CDCD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则则A A到到B B地的路程为：地的路程为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以桥的位置建在所以桥的位置建在MNMN处，处，A A到到B B地的路程最短。地的路程最短。ABMNECD
