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复旦大学宏观经济学课件复旦大学宏观经济学课件-15高级宏观经济增长高级宏观经济增长8/15/2022课件2一、新古典增长理论（简介） n新古典增长（资本劳动替代性），假定储蓄率给定。n拉姆齐卡斯库普曼斯增长模型，家庭最优化行为、内生储蓄。 8/15/2022课件95过渡动态过渡动态 资本增长率为： ( )/()ksf kkn 1-9 0lim( ) /ksf kk ， lim( ) /0ksf kk ，且() /sfkk单调，因此与n曲线有唯一的交点。 图14反映了资本增长速度与稳态点的距离成正比。 一个较大的储蓄带来更多的资本积累。 或者由.( )()()/( )()ksf kn kd kdksfkn来进行判别（袁志刚和宋铮，2001） 8/15/2022课件106相对收敛、绝对收敛相对收敛、绝对收敛 定义，对稳态的依赖（不同的储蓄率） 。由18得 *()/()snkf k.1-10 将110代入到19得： *( ) /()1() /kf kknf kk1-11 因此依赖于目前的资本平均产品与稳态中的情况，当*kk ，0k 图14， 条件收敛（不同的稳态，来自于不同的储蓄率） 8/15/2022课件11二、拉姆齐模型与最优经济增长 新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭，在跨期预算约束下，选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效用函数。这归功于Ramsey (1928)，Cass（1965）和Koopmas（1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。注：本讲义参考了Blanchard和Fischer（1989），Barro和Sala-I-Martin（1995），Zilibotti的讲义 8/15/2022课件121 1效用函数效用函数 拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。 1. 假定劳动力tL增长率为n，初始数正规化为1，因而有：nttLe.2-1 2. 假定 tC是t期的总消费，因此人均消费为c(t)C(t)/L(t)。 家庭效用函数为： (n)t0t0Uu(c )edt .2-2 (其中为主观贴现率，u(0) ，u( )0 。并根据横截条件假定n ，以保证当c为常数时，0U是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率。) 3. 假定存在两种资产， 资本和债权， 在没有风险、 资本市场完全竞争情况下收益率都为tr。同时存在竞争的劳动力市场， 工资为tw。 假定总资产为tA， 平均净资产为tttaA /L，资产收益为ttr a。因此家庭的预算约束为：.tttttawracna.2-3 8/15/2022课件132非蓬齐对策条件（意义）非蓬齐对策条件（意义） tv0(rn)dvttae0lim .2-4 这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于trn，因此总债务的增长速度不能超过tr。我们定义ttv01rr dvt，因此24又可被写为 tt(rn)ta(t)e0lim 2-4 8/15/2022课件143汉密尔顿函数与一阶条件汉密尔顿函数与一阶条件 家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化0U。这个问题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式： (n)Hu(x)ew(rn)ac .2-5 其中是资产的影子价格。一阶条件为： (n)tH0u(c)ec .2-6 .H(rn)a .2-7 t ttlim a 02-8 其中27是欧拉方程，或拉姆齐凯恩斯最优储蓄规则。28是横截条件 8/15/2022课件15现在我们来求出最优的消费变化。 26两边对时间求导得： .(n)(n)tu(c)ce(n)u(c)e .2-9 由26，知(n)te/u(c) ，代入到29并将27代入29，得： .u(c)c cr( )u(c)c.2-10 其中u(c)cu(c)为边际效用弹性的值。 8/15/2022课件16一个相关的概念是跨期替代弹性： stst1ststc /cdu(c )/u(c )u(c )/u(c )d(c /c ) .2-11 跨期替代弹性是stc /c比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当st时， u(c)cu(c) ，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。 跨期替代弹性实际上反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应，因为简单的跨期消费问题中存在tt1u(c )1ru(c)1，是贴现率，r取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写为1t1tc(1r)c(1)，1/ 。因此跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。 8/15/2022课件17 考虑一个不变跨期替代弹性的效用函数（CIES） 1c1u(c)1，(0)；.2-13 u(c)logc， (1) 显然是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性1/。式212变为 .crc2-14 8/15/2022课件18对27积分得： tt(r n)(t)(0)e，(0)0.2-15 因此28变为 tt(r n)ttlimae02-16 即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死后留下任何正的资产都是非理性的。当ta0（负债） ，一个无限期的家庭希望通过不停的借债但不偿还， 来违反216， 因此24就是为了确保这种链式融资的不发生。 在均衡状态，根据横截条件216，一个家庭不愿持有超过或等于tr n的资产增长，否则横截条件就违反了，也就是说没有人愿意接受增长速度超过tr n的债权，也就意味着没有人可以发行增长速度超过tr n的债务。因此24是信贷市场均衡的结果。 8/15/2022课件194消费消费 由.(r n)t(r n)t(r n)tdae/dtaea(rn)e，将.tttta(rn)awc两边同乘(r n)te得：TTT(rt n)t(rt n)t(rt n)tttt000(dae/dt)dtwedtcedt，也即： TT(rt n)T(rt n)t(rt n)tTtt00a ecedtwedta(0).2-17 当T ，由216，可得 (rt n)t(rt n)ttt00cedtwedta(0)w(0)a(0)W.2-18 由214可得 t(1/ )rtt0cc e 2-19 将219代入到218得； rt(1)/nt0c(0)W/(edt) .2-20 8/15/2022课件205厂商厂商 设生产函数为： ttttttYF(K ,AL )F(K ,L ) (其中tA(t)e，tttLAL)2-21 写成人均的形式为： tttttYL yL f(k ) (其中ttttf(k )F(K /AL ,1)2-22 具有下列关系(固定L，Y对K求导；固定K，Y对L求导)： ttYf (k)K， ttttttYf(k )k f (k )eL2-23 并满足 Inada 条件： f(0)0，f (0) ，f ()0 . 8/15/2022课件21厂商的利润函数为： ttttttttL F(K,L )R kwe 2-24 其中tR是厂商向居民租赁资本的租金，ttRr。给定tL，由利润最大化的一阶条件得到： ttf (k)r 2-25 为了维持零利润，将225代入224，有 tttttf(k )k f (k )ew 2-26 8/15/2022课件226均衡均衡 8/15/2022课件233. 利用ttkke，ttf (k)r，以及216，TVC条件变为 tv0(f(k )n)dvtlimke0.2-31 227和230构成在t(c,k )上的动态系统。 4. 在稳态中，有.tt(c)/(c)0， .tt(k )/(k )0，因此 tf (k) .2-32 tttcf(k )(n)k 2-33 8/15/2022课件240 c 0c 0 c 0k *k goldk *k .0k .0c c k 图12 拉姆齐模型中的相位图 DD B 8/15/2022课件25稳态中的消费、投资人均增长率等于。232，233刻画的稳态需要满足TVC，因此231中，*rf (k )n，即稳态中的资本回报率大于增长率。从232可知 n(1) .2-34 由333可知消费在 tf (k )n2-35 时达到最大。335被称为修正的黄金律。334保证了*goldkk，即稳态的资本小于黄金律水平，避免了资本积累过多。原因过多积累不是最优，因为减少可以多消费；同时小于黄金律是因为有效主观贴现，消费者又不希望牺牲当前的消费。 （分析，降低的影响） 。 8/15/2022课件26 分析： goldk（储蓄不足，违反欧拉方程，从232可以看出路径变化） ，*k（均衡路径） ，0c（储蓄过多，违反TVC） 详细说明： 1. 考虑低于DD的路径，例如初始位置在0c，那么k会超过黄金律资本存量,此后真实利率低于n，从而trt(n)tee上升，所以trt(n)tteek发散，因此trt(n)tttlimeek， 因此违反了横截条件。 或者根据Blanchard和Fischer（1989）第二章附录2。 注意Blanchard和Fischer（1989） 是利用当前值汉密尔顿函数来表示的，对横截条件的说明经过简单的代换和现值是一样的 8/15/2022课件272. 当高于DD的路径，在这条路径上资本以递增的速度减少。 对230，.ttttkf(k )(n)kc 进行全微分得： .2tttt2d kf (k )(n)kc0dt ，当tf (k )(n) 和.tc0， 因此tk会在有限的时间变为0（B点） ， 因为在B点，tk为零， 经济必须移到原点，因此tc由一个正值变为零，这种跳跃违背了（212） .c(r)c ，因为当tk0，r ， （212）左式为负，右边为无穷大，因此违反了欧拉方程的条件（212） 。 8/15/2022课件287鞍点路径的形状鞍点路径的形状 高，跨期替代率低，更愿意进行消费平滑，趋于稳态的速度慢。 低，跨期替代率高， 作为对当前高收益的反应，更愿意进行储蓄，减少消费，趋于稳态的速度快。 k *lowk *khigh low high 图22 对鞍点路径的影响 8/15/2022课件298储蓄储蓄 对于CD生产函数f(k)Ak，均衡的储蓄率为 *s(n)/(x) .2-36 （证明，详细见BarroSala-I-Martin 1995，P89, AppendixB） 两种效应：替代效应，消费平滑使得储蓄率在收入较低时较低，但是较大的跨期替代弹性，更有助于储蓄。收入效应，有助于储蓄，因为当收入增加时，当前收入与持久性收入的差距变小，意味着平滑消费的意愿更小，储蓄率上升） 当*1/s ，固定储蓄率，如SolowSwan模型 当*1/s ，跨期弹性较高，因此储蓄率一直在*s之上，并趋近，由于资本增加导致利率下降，因为跨期弹性大所以使得储蓄下降，其影响大于收入上升的影响。 当*1/s ，跨期弹性较低，因此储蓄率一直在*s之下，并趋近（收入上升因素主导作用） 。 8/15/2022课件309资本存量和产出的路径资本存量和产出的路径 由227和资本增加导致利率下降， .tt(c )/(c )单调下降。 类似，.tt(k )/(k )也单调下降。因此储蓄率在过渡路径上的的增加，并不能消除趋同性。 通过线性化可知： .ttttttt(y)/(y)k f (k )/f(k ).(k )/(k ) 即资本的增长按照占生产中的份额对生产构成影响。 8/15/2022课件3110.另一种机制（社会计划者解）另一种机制（社会计划者解） 效用函数可写为(n)tttn(1)t0tt00Uu(c )edtu(c )edt ，实际主观贴现率为。资本积累为.ttttkf(k )(n)kc 。因此社会计划者问题为： 0maxU s.j. .ttttkf(k )(n)kc 这个节是与市场解相同的。原因，竞争性市场，没有外部性。我们会在下一讲，Romer（1986）和Lucas（1988）看到社会计划者解和竞争性解的区别，因为存在外部性。 8/15/2022课件3211收敛（收敛（convergence）和收敛的速）和收敛的速度度 考 虑 生 产 函 数 为FAk，0k给 定 。 效 用 函 数 为1cU1， 资 本 积 累 为.ttttkAk(n)kc 现值汉密尔顿函数为 1t(n)ttttcHeAk(n)kc 1 .2-37 最优化的必要条件是 -(n)tHc0c e 2-38 .1ktH Ak(n) .2-39 TVC tttlim k 0.2-40 8/15/2022课件33将238微分，并用.1t Ak(n) 代入得到 .1tc( Ak)c.2-41 在稳态.c0c，.k0k。由241，稳态中1tAk0，因此 1*1Ak().2-42 *.*k0cA(k )(n)kk 2-43 同时如果满足横截条件，因此从231，令0 ，有*1tA(k )(n) ，因此由*1tA(k )必须有n。 （和234比较，就可以知道技术进步下TVC条件的变化） 8/15/2022课件34分析稳态附近的均衡，简化分析分析稳态附近的均衡，简化分析 (Blanchard和Fischer（1989）第二章附录B也作了类似的分析，这部分的处理来自Zilibotti的习题) 假定n0，0 。那么在稳态有 .tttkAkc；1*1Ak().2-44 1.t( Ak)cc；*1AcA().2-45 在稳态附近进行一阶泰勒展开， Barro和Sala-I-Martin（1995）书中使用了对数线性展开，方法接近 ，有 *1.t*tt2*t*.ttA(k )1kkk(1)A(k )ccc0c .2-46 在稳态时，有*1tA(k ) ，同时利用244，245有 .*tt2*.tt1kkk(1)cc0c 2-47 8/15/2022课件35这个方程的特征值满足 2221(1)det00(1) 2-48 这个二项式存在两个根 41122 2-49 其中1411022 ； 2411022 因此246的解是 12tt*t12ka ea ek2-50 因为10 ， 所以1a0， 将产生资本的爆炸性增长， 对应图12中的0c， 违反了TVC； 当1a0，则资本将在有限期消耗光，对应图12中的0c，违反了欧拉方程。因此只有1a0。 8/15/2022课件36因此 2t*t2ka ek.2-51 因为当t0，存在*02kak，所以*20akk。代入到251得 222*t*tt*t00k(kk )ekk e(1 e)k2-52 系统的稳定性要求tt(c,k)必须在动态系统的稳定特征向量上（由2决定的特征向量） ，因此有 2t2t2ttt21k41-0c( -)k11k(1)c2 2-53 这也就是线性化的鞍点路径。 稳定的特征向量给出了资本收敛的速度，对250微分，移项可得 22.*tt22*ttk(kk)ekk(kk)e 2-54 考虑折旧、人口增长和技术进步见Barro和Sala-I-Martin（1995）第二章附录1 8/15/2022课件3712.拉姆齐模型中的政府拉姆齐模型中的政府 (略）见Romer（1996）第二章，或Blanchard和Fischer（1989）第二章 8/15/2022课件3813附录附录:现值汉密尔顿函数与当前现值汉密尔顿函数与当前值汉密尔顿函数值汉密尔顿函数 现值汉密尔顿函数： (n)tttHu(x)ef(k )(n)kc 或者写为(n)(n)tttHeu(x)eqf(k )(n)kc ，其中(n)tqe ，定义当前值汉密尔顿函数为(n)tHHe 。 一阶条件仍然为H0c，.Hk ，同样也可以用现值汉密尔顿乘子写出： H0c， .H( -n)q-qk 2-55 TVC变为 (n)Tq(T)ek(T)0 .2-56 39 结束语结束语