33垂径定理 (2).ppt
简称简称 .弧弧 个点确定一个圆。个点确定一个圆。不在同一直线上的三不在同一直线上的三O如图，设如图，设O O的半径为的半径为r r，点到圆心的距离为点到圆心的距离为d d。dr若点若点A在圆上，则：在圆上，则：若点若点C在圆外，则：在圆外，则：dr若点若点B在圆内，则：在圆内，则：drABC点与圆的位置关系点与圆的位置关系rddd在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠然后沿着直径所在的直线把纸折叠, ,你发现了什么你发现了什么? ?结论结论1： 圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线每一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。强调：强调：判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）X（1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴;（2）圆的对称轴有无数条）圆的对称轴有无数条C CD D圆是什么对称图形？(1)(1)该图是轴对称图形吗？该图是轴对称图形吗？(2)(2)能不能通过改变能不能通过改变ABAB、CDCD的位置关系的位置关系, ,使它成使它成为轴对称图形为轴对称图形? ?AB思考：思考：你能你能利用等腰三利用等腰三角形的性质，角形的性质，说明说明CD平平分分ABAB吗吗？如果把如果把能够重合的圆弧叫做等弧能够重合的圆弧叫做等弧, ,那么在下那么在下图中图中, ,哪些线段和圆弧相等哪些线段和圆弧相等? ?A AB BE E AC=BC，AD=BDC CD D结论：结论：EA=EB；垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧几何语言叙述几何语言叙述:CD为直径，为直径，CDAB（或（或OCAB） EA=EB， AC=BC， AD=BD A AB BC CD DE E条件条件CD为直径为直径CDABCD平分弧平分弧ADBCD平分弦平分弦ABCD平分弧平分弧A B结论结论分一条弧成相等的两条弧的点分一条弧成相等的两条弧的点, ,叫做这条叫做这条弧的中点弧的中点. .OABCDMOABCMOABMOABCDM你还认识我吗你还认识我吗?如图，如图，ABAB是是ABAB所对的弦，所对的弦，ABAB的垂直平分线的垂直平分线DGDG交交ABAB于点于点D D，交，交ABAB于点于点G G，给出下列结论：，给出下列结论：AG=BGAG=BGDGABDGABBD=ADBD=ADA AB BD DG G其中正确的是其中正确的是_（只需填写序号）（只需填写序号）一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10OB=10，水面宽，水面宽AB=16AB=16。求截面圆心。求截面圆心O O到水面的距离。到水面的距离。DC1088解解: :作作OCABOCAB于于C,C, 由垂径定理得由垂径定理得: :AC=BC=1/2AB=0.5AC=BC=1/2AB=0.516=816=8 由勾股定理得由勾股定理得: :2222OCOBBC1086圆心到圆的一条弦的距离叫做圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距弦心距.想一想想一想: :排水管中水最深多少排水管中水最深多少? ?答答: :截面圆心截面圆心O O到水面的距离为到水面的距离为6.6.想一想：在同一个圆中，两条想一想：在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？距之间有什么关系？已知已知O O的半径为的半径为13cm13cm，一条弦的弦心距为，一条弦的弦心距为5cm5cm， 求求这条弦的长这条弦的长. .答答:在同一个圆中，在同一个圆中，弦心距越长弦心距越长,所对应的弦就越短所对应的弦就越短;弦心距越短弦心距越短,所对应的弦就越长所对应的弦就越长.C CA AB BO OD D. .归纳：归纳：1作作弦心距弦心距和和半径半径是是圆中常见的辅助线；圆中常见的辅助线；OABCr rd d22.2ABrd弦长2 半径（半径（r)、半弦、弦、半弦、弦心距心距(d)组成的直角三角组成的直角三角形是研究与圆有关问题形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的主要思路，它们之间的关系：的关系：2 2、已知、已知 O O的半径为的半径为10cm10cm，点，点P P是是 O O内一点，且内一点，且OP=8OP=8，则过点，则过点P P的所有弦中，最短的弦是（的所有弦中，最短的弦是（ ）O OP P(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm(A)6cm (B)8cm (C)10cm (D)12cm 3、已知：如图，、已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，OC AB OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半径的半径.A AB BO OC CD D11 1已知已知00的半径为的半径为1313，一条弦的，一条弦的ABAB的弦心距的弦心距为为5 5，则这条弦的弦长等于，则这条弦的弦长等于 24242 2如图，如图，ABAB是是00的中直径，的中直径，CDCD为弦，为弦，CDABCDAB于于E E，则下列结论中不一定成立的是，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ACOE=DOE BCOE=DOE BCE=DE CE=DE C COE=BE DOE=BE DBD=BCBD=BC C CABCODE目标训练目标训练3 3过过OO内一点内一点M M的最长弦长为的最长弦长为10cm10cm，最短弦，最短弦长为长为8cm8cm，那么，那么OMOM长为（长为（ ） A A3 B3 B6cm C6cm C cm Dcm D9cm 9cm 414 4如图，如图，OO的直径为的直径为1010，弦，弦ABAB长为长为8 8，M M是是弦弦ABAB上的动点，则上的动点，则OMOM的长的取值范围是（的长的取值范围是（ ） A A3OM5 B3OM5 B4OM5 4OM5 C C3OM5 D3OM5 D4OM54OM5ABOMAA目标训练目标训练 直径直径CDAB直径直径CD平分弦平分弦AB直径直径CD平分弧平分弧ACB和弧和弧ADB 探索任务探索任务3:以上三个条件能不能成功进行知一推二以上三个条件能不能成功进行知一推二 的互推呢？的互推呢？垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧并且平分弦所对的弧.题设题设结论结论1结论结论2探索任务探索任务1:将此命题改成将此命题改成如果如果那么那么的形式的形式.探索任务探索任务2: 将此命题改成几何语言的形式将此命题改成几何语言的形式. 题设题设结论结论在在CD为圆直径的大前提条件下为圆直径的大前提条件下直径直径直径垂直于弦直径垂直于弦直径平分弦直径平分弦直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧OABCDMOABCDM在在CD为圆直径的大前提条件下为圆直径的大前提条件下 CD平分弦平分弦AB CD平分弧平分弧ACB和弧和弧ADB 求证求证已知已知 CDAB CD平分弦平分弦AB CD平分弧平分弧ACB和弧和弧ADB求证求证已知已知 CD弦弦AB逆命题逆命题1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.逆命题逆命题2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.定理定理1：平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧对的弧.定理定理2：平分弧的直径垂直平分于弧所对的弦平分弧的直径垂直平分于弧所对的弦.探索一个定理的逆命题是否成立是发现新定理的一种常用方法探索一个定理的逆命题是否成立是发现新定理的一种常用方法 如图，在如图，在 O中，中，直径直径CD交弦交弦AB（不是直径）于点（不是直径）于点E. (1)若若 CDAB，则，则有有 、 、 ； (2)若若 AE=EB， 则则有有 、 、 ； (3)若若 AC=BC ，则，则有有 、 、 .AE=EBAC=BCAD=BDAC=BCCDABCDABAE=EBAD=BDAD=BD小结小结: 解决有关弦的问题，经常是过圆心解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用半径等辅助线，为应用垂径定理垂径定理创造条件。创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABOl例例 . 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶高出水面拱顶高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船米、船舱顶部为长方形并高出水面舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过米的货船要经过这里这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？1.垂径定理的垂径定理的两个逆定理：两个逆定理：逆定理：逆定理：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧（2）平分弦所对弧的直径，垂直平分弦）平分弦所对弧的直径，垂直平分弦.2.与圆有关计算的与圆有关计算的一种重要方法一种重要方法： 通过把弦心距通过把弦心距(d)、半径、半径(r)、弦长、弦长(a)构成构成直角三直角三角形角形便将问题转化为解直角三角形的问题便将问题转化为解直角三角形的问题
