2021-2022学年浙江省温州市十校联合体高二(上)期末数学试卷.docx

2021-2021学年浙江省温州市十校结合体高二上期末数学试 卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分在每题给出的四个选项 中，只有一项为哪一项符合题目要求的 14 分准线方程是y=2 的抛物线标准方程是 Ax2=8y Bx2=8y Cy2=8x Dy2=8x 24 分直线l1：xy+1=0 和l2：xy+3=0，那么l1 与l2 之间间隔 是 A B C D2 34 分设三棱柱ABCA1B1C1 体积为 V，E，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中 点，那么三棱锥 EAFG 体积是 A B C D 44 分假设直线x+y+m=0 与圆x2+y2=m 相切，那么m 的值是 A0 或2 B2 C D或2 54 分在四面体ABCD 中 命题：ADBC 且ACBD 那么ABCD 命题：AC=AD 且BC=BD 那么ABCD A命题都正确 B命题都不正确 C命题正确，命题不正确 D命题不正确，命题正确 64 分设m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面考察以下命题， 其中正确的命题是 Am，n ，mn B，m，n mn C，m，n mn D，=m，nm n 74 分正方体ABCDA1B1C1D1 中，二面角ABD1B1 的大小是 A B C D 84 分过点0，2的直线交抛物线y2=16x 于Ax1，y1，Bx2，y2两 点，且 y12y22=1，那么OABO 为坐标原点的面积为 A B C D 1 94 分在ABC 中，ACB=，AB=2BC，现将ABC 绕BC 所在直线旋转到 PBC，设二面角PBCA 大小为，PB 与平面ABC 所成角为，PC 与平面PAB 所成角为 ，假设 0，那么 A且 B且 C且 D且 104 分如图，F1，F2 是椭圆C1 与双曲线C2 的公共焦点，点A 是C1，C2 的公 共点设C1，C2 的离心率分别是e1，e2，F1AF2=2，那么 A B C D 二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分 116 分双曲线 C：x24y2=1 的渐近线方程是 ，双曲线 C 的离心率 是 126 分某空间几何体的三视图如以下图单位：cm，那么该几何体的体积 V= cm3，外表积S= cm2 134 分抛物线y2=4x 的焦点为F，准线与x 轴的交点为M，N 为抛物线上的 一点，那么满足= 146 分直线l1：y=mx+1 和l2：x=my+1 相交于点 P，O 为坐标原点，那么 P 点横坐标是 用m 表示，的最大值是 156 分四面体ABCD 中，AB=AC=BC=BD=CD=1，那么该四面体体积的最大值 是 ，外表积的最大值是 164 分过双曲线G：a0，b0的右顶点A 作斜率为1 的直 线m，分别与两渐近线交于B，C 两点，假设|AB|=2|AC|，那么双曲线G 的离心 率为 2 174 分在棱长为1 的正方体ABCDA1B1C1D1 中，点P 是正方体棱上的一点 不包括棱的端点，对确定的常数 m，假设满足|PB|+|PD1|=m 的点 P 的个数 为n，那么n 的最大值是 三、解答题：本大题共5 小题，共74 分解容许写出文字说明、证明过程或演 算步骤 1814 分抛物线C：y2=4x，直线l：y=x+b 与抛物线交于A，B 两点 假设|AB|=8，求b 的值； 假设以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程 1915 分在四棱锥EABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O， EC底面ABCD，F 为BE 的中点 求证：DE平面ACF； 求证：BDAE； 假设AB=CE，在线段EO 上是否存在点 G，使CG平面BDE？假设存在， 求出的值，假设不存在，请说明理由 2015分如图，四棱锥 PABCD，PA底面 ABCD，ABCD，ABAD， AB=AD=PA=2，CD=4，E，F 分别是PC，PD 的中点 证明：EF平面PAB； 求直线 AC 与平面ABEF 所成角的正弦值 2115 分点Cx0，y0是椭圆+y2=1 上的动点，以C 为圆心的圆过点F1， 0 假设圆C 与y 轴相切，务实数x0 的值； 假设圆C 与y 轴交于A，B 两点，求|FA|FB|的取值范围 2215 分椭圆 C 的方程是，直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一 个公共点，假设F1Ml，F2Nl，M，N 分别为垂足 证明：； 求四边形F1MNF2 面积S 的最大值 2021-2021学年浙江省温州市十校结合体高二上期末 3 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分在每题给出的四个选项 中，只有一项为哪一项符合题目要求的 14 分准线方程是y=2 的抛物线标准方程是 Ax2=8y Bx2=8y Cy2=8x Dy2=8x 【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：x2=2pyp0， 抛物线的准线方程为y=2， =2， p=4， 抛物线的标准方程为：x2=8y 应选A 24 分直线l1：xy+1=0 和l2：xy+3=0，那么l1 与l2 之间间隔 是 A B C D2 【解答】解：平行直线l1：xy+1=0 与l2：xy+3=0， l1 与l2 间的间隔 d=， 应选C 34 分设三棱柱ABCA1B1C1 体积为 V，E，F，G 分别是 AA1，AB，AC 的中 点，那么三棱锥 EAFG 体积是 A B C D 【解答】解：三棱柱ABCA1B1C1 体积为V， AA1， E，F，G 分别是AA1，AB，AC 的中点， S AFG V=S ABC =， 三棱锥EAFG 体积： VEAFG=SABCAA1= 4 应选：D 44 分假设直线x+y+m=0 与圆x2+y2=m 相切，那么m 的值是 A0 或2 B2 C D或2 【解答】解：圆x2+y2=m 的圆心为原点，半径r= 假设直线x+y+m=0 与圆x2+y2=m 相切，得圆心到直线的间隔 d=， 解之得m=2舍去0 应选B 54 分在四面体ABCD 中 命题：ADBC 且ACBD 那么ABCD 命题：AC=AD 且BC=BD 那么ABCD A命题都正确 B命题都不正确 C命题正确，命题不正确 D命题不正确，命题正确 【解答】解：对于作 AE面BCD 于E，连接DE，可得AEBC，同理可得 AE BD，证得E 是垂心，那么可得出AECD，进而可证得CD面AEB，即可证出 ABCD，故正确； 对于，取CD 的中点O，连接AO，BO，那么CDAO，CDBO， AOBO=O， CD面ABO， AB 面ABO， CDAB，故正确 应选A 64 分设m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面考察以下命题， 其中正确的命题是 Am，n ，mn B，m，n mn C，m，n mn D，=m，nm n 【解答】解：设m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，那么： m，n ，mn 时，、 可能平行，也可能相交，不一定垂直，故 A 不正 确 ，m，n 时，m 与n 一定垂直，故B 正确 5 ，m，n 时，m 与n 可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C 错误 ，=m 时，假设nm，n ，那么n，但题目中无条件n ，故D 也不一定成立， 应选B 74 分正方体 ABCDA1B1C1D1 中，二面角ABD1B1 的大小是 A B C D 【解答】解：以 D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD1 为z 轴，建立空间直角 坐标系， 设正方体ABCDA1B1C1D1 中棱长为1， 那么A1，0，0，B1，1，0，B11，1，1，D10，0，1， =0，1，0，=1，1，1，=0，0，1， 设平面ABD1 的法向量 =x，y，z， 那么，取y=1，得， 设平面BB1D1 的法向量 =a，b，c， 那么，取a=1，得 =1，1，0， 设二面角ABD1B1 的大小为， 那么cos= ， = 二面角ABD1B1 的大小为 应选：C 84 分过点0，2的直线交抛物线y2=16x 于Ax1，y1，Bx2，y2两 点，且 y12y22=1，那么OABO 为坐标原点的面积为 A B C D 【解答】解：设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x 可得y216my32m=0， 6 y1+y2=16m，y1y2=32m， y1y22=256m2+128m， y12y22=1， 256m2256m2+128m=1， OABO 为坐标原点的面积为|y1y2|= 应选：D 94 分在ABC 中，ACB=，AB=2BC，现将ABC 绕BC 所在直线旋转到 PBC，设二面角PBCA 大小为，PB 与平面ABC 所成角为，PC 与平面PAB 所成角为 ，假设 0，那么 A且 B且 C且 D且 【解答】解：在ABC 中，ACB=，AB=2BC， 可设BC=a，可得AB=PB=2a，AC=CP=a， 过C 作CH平面PAB，连接 HB， 那么PC 与平面PAB 所成角为 =CPH， 且CHCB=a， sin=； 由BCAC，BCCP， 可得二面角PBCA 大小为，即为ACP， 设P 到平面ABC 的间隔 为d， 由BC平面PAC， 且VBACP=VPABC， =dS ABC 即有 BCS ACP ， 即 aaasin=daa 解得d=sin， 那么sin=， 7 即有 另解：由BCAC，BCCP， 可得二面角PBCA 大小为，即为ACP 以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为z 轴，建立直角坐标系Oxyz， 可设BC=1，那么AC=PC=，PB=AB=2， 可得Pcos，sin，0， 过P 作PMAC，可得PM平面ABC， PBM=，sin=， 可得； 过C 作CN 垂直于平面PAB，垂足为 N， 那么CPN=， sin= 应选：B 104 分如图，F1，F2 是椭圆C1 与双曲线C2 的公共焦点，点A 是C1，C2 的公 共点设C1，C2 的离心率分别是e1，e2，F1AF2=2，那么 A B C D 【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b12tan， e1=， a1=， b12=a12c2=c2， =c2tan 8 根据双曲线的几何性质可得，=， a2=， b22=c2a22=c2=c2 =c2， c2tan=c2， sin2=cos2， ， 应选：B 二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共36 分 116 分双曲线C：x24y2=1 的渐近线方程是 y=± x ，双曲线C 的离心 率是 【解答】解：双曲线C：x24y2=1， 即为=1， 可得a=1，b=，c=， 可得渐近线方程为y=± x； 离心率e= 故答案为：y=± x； 126 分某空间几何体的三视图如以下图单位：cm，那么该几何体的体积 V= cm3，外表积S= cm2 【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三 9 棱锥， 所以V=cm3， S=+= 故答案为：； 134 分抛物线y2=4x 的焦点为F，准线与x 轴的交点为M，N 为抛物线上的 一点，那么满足= 【解答】解：设N 到准线的间隔 等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|， 由题意得 cosNMF= NMF= 故答案为： 146 分直线l1：y=mx+1 和l2：x=my+1 相交于点 P，O 为坐标原点，那么 P 点横坐标是 用m 表示，的最大值是 【解答】解：直线l1：y=mx+1 和l2：x=my+1 相交于点 P， ， x=mmx+1+1， 解得x=， y=m×+1=， P 点横坐标是； =， =+=2，且m=0 时“=成立； 的最大值是 故答案为：， 156 分四面体ABCD 中，AB=AC=BC=BD=CD=1，那么该四面体体积的最大值 10 是 ，外表积的最大值是 +1 【解答】解：四面体ABCD 中，AB=AC=BC=BD=CD=1， 当平面ABC平面BDC 时，该四体体积最大， 此时，过D 作DE平面ABC，交BC 于E，连结AE， 那么AE=DE=， 该四面体体积的最大值： Smax= ABC，BCD 都是边长为1 的等边三角形， 面积都是S=， 要使外表积最大需ABD，ACD 面积最大， 当ACCD，ABBD 时，外表积取最大值， 此时=， 四面体外表积最大值Smax=1+ 故答案为： ， 164 分过双曲线G：a0，b0的右顶点A 作斜率为1 的直 线m，分别与两渐近线交于B，C 两点，假设|AB|=2|AC|，那么双曲线G 的离心 率为 或 【解答】解：由题得，双曲线的右顶点 Aa，0 所以所作斜率为 1 的直线l：y=xa， 假设l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 Bx1，y1，Cx2，y2 联立其中一条渐近线 y= x，那么 ， 解得x2=； 同理联立 ， 11 解得x1=； 又因为|AB|=2|AC|， i当C 是AB 的中点时，那么x2= 2x2=x1+a， 把代入整理得：b=3a， e=； ii当A 为BC 的中点时，那么根据三角形相似可以得到， x1+2x2=3a， 把代入整理得：a=3b， e= 综上所述，双曲线G 的离心率为或 故答案为：或 174 分在棱长为1 的正方体ABCDA1B1C1D1 中，点P 是正方体棱上的一点 不包括棱的端点，对确定的常数 m，假设满足|PB|+|PD1|=m 的点 P 的个数 为n，那么n 的最大值是 12 【解答】解：正方体的棱长为1， BD1=， 点P 是正方体棱上的一点不包括棱的端点， 满足|PB|+|PD1|=m， 点P 是以2c=为焦距，以2a=m 为长半轴的椭圆， P 在正方体的棱上， P 应是椭圆与正方体与棱的交点， 结合正方体的性质可知， 满足条件的点应该在正方体的12 条棱上各有一点 满足条件 满足|PB|+|PD1|=m 的点P 的个数n 的最大值是12， 12 故答案为12 三、解答题：本大题共5 小题，共74 分解容许写出文字说明、证明过程或演 算步骤 1814 分抛物线C：y2=4x，直线l：y=x+b 与抛物线交于A，B 两点 假设|AB|=8，求b 的值； 假设以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程 【解答】解：设 Ax1，y1，Bx2，y2，由抛物线 C：y2=4x，直线 l：y= x+b 得y2+4y4b=02 分 |AB|=|y1y2|=8 5 分 解得b=17 分 以AB 为直径的圆与x 轴相切，设AB 中点为M |AB|=|y1+y2|又y1+y2=49 分 4=解得b= ，那么M ，212 分 圆方程为x 2+y+22=414 分 1915 分在四棱锥EABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O， EC底面ABCD，F 为BE 的中点 求证：DE平面ACF； 求证：BDAE； 假设AB=CE，在线段EO 上是否存在点 G，使CG平面BDE？假设存在， 求出的值，假设不存在，请说明理由 【解答】解：I连接OF由ABCD 是正方形可知，点O 为BD 中点 又F 为BE 的中点， 所以OFDE 又OF 面ACF，DE面ACF， 所以DE平面ACF4 分 II 证明：由EC底面ABCD，BD 底面ABCD， 13 ECBD， 由ABCD 是正方形可知，ACBD， 又ACEC=C，AC、E 平面ACE， BD平面ACE， 又AE 平面ACE， BDAE9 分 III：在线段EO 上存在点G，使CG平面BDE理由如下： 取EO 中点G，连接CG， 在四棱锥EABCD 中，AB=CE，CO=AB=CE， CGEO 由可知，BD平面ACE，而BD 平面BDE， 平面ACE平面BDE，且平面ACE平面BDE=EO， CGEO，CG 平面ACE， CG平面BDE 故在线段EO 上存在点 G，使CG平面BDE 由G 为EO 中点，得14 分 2015分如图，四棱锥 PABCD，PA底面 ABCD，ABCD，ABAD， AB=AD=PA=2，CD=4，E，F 分别是PC，PD 的中点 证明：EF平面PAB； 求直线 AC 与平面ABEF 所成角的正弦值 【解答】证明：因为E，F 分别是PC，PD 的中点，所以EFCD， 又因为CDAB，所以EFAB， 又因为EF平面PAB，AB 平面PAB， 所以EF平面PAB 解：取线段 PA 中点 M，连结 EM，那么EMAC， 故AC 与面ABEF 所成角的大小等于ME 与面ABEF 所成角的大小 作MHAF，垂足为H，连结EH 因为PA平面 ABCD，所以PAAB， 又因为ABAD，所以AB平面PAD， 14 又因为EFAB， 所以EF平面PAD 因为MH 平面PAD，所以EFMH， 所以MH平面ABEF， 所以MEH 是ME 与面ABEF 所成的角 在直角EHM 中，EM=AC=，MH=，得 sinMEH= 所以AC 与平面ABEF 所成的角的正弦值是 2115 分点Cx0，y0是椭圆+y2=1 上的动点，以C 为圆心的圆过点F1， 0 假设圆C 与y 轴相切，务实数x0 的值； 假设圆C 与y 轴交于A，B 两点，求|FA|FB|的取值范围 【解答】解：当圆C 与y 轴相切时，|x0|=，2 分 又因为点C 在椭圆上，所以，3 分 解得，5 分 因为，所以6 分 圆C 的方程是xx02+yy02=x012+， 令x=0，得y22y0y+2x01=0， 设A0，y1，B0，y2，那么y1+y2=2y0，y1y2=2x01，8 分 由，及得22x02+2， 又由P 点在椭圆上，x0，所以，10 分 |FA|FB|=12 分 = = 15 =，14 分 所以|FA|FB|的取值范围是4，2+215 分 2215 分椭圆 C 的方程是，直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一 个公共点，假设F1Ml，F2Nl，M，N 分别为垂足 证明：； 求四边形F1MNF2 面积S 的最大值 【解答】解：证明：将直线的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x2+4y2=12 中， 得4k2+3x2+8kmx+4m212=0 由直线与椭圆C 仅有一个公共点知， =64k2m244k2+34m212=0， 化简得：m2=4k2+3 设d1=|F1M=，d2=|F2M|=， d1d2=3， |F1M|+|F2M|=d1+d2=2 当k0 时，设直线的倾斜角为， 那么|d1d2|=|MN|tan|，|MN|=， S=|MN|d1+d2=， m2=4k2+3，当k0 时，|m|， +=， S 当k=0 时，四边形F1MNF2 是矩形， 16 所以四边形F1MNF2 面积S 的最大值为2 17