2021-2022学年浙江省温州十校联合体高二上学期期中考试数学试题 Word版.docx

温州十校联合体2021-2022学年高二上学期期中考试 数学试题 选择题部分（共60分） 一、单选题：本大题共8小题， 每小题5分， 共40分在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知空间向量 a= (2,-3,4),b = (-4,m,n)，若a/b，则实数m+ n= （ ） A 2 B. -2 C. 1 D. -1 2. 直线 3x- 3y+ 7= 0的倾斜角为（ ） A 30 B. 60 C. 120 D. 150 xy 22 :1 9 2 22 4. 已知mÎR， 则“3< m< 6”是“曲线 1 2 6 3. 已知双曲线 C - b = 的焦距为10 ， 则双曲线C的浙近线方程为（ ） A 9 y= ±16x B. 16 y= ± 9 x C. 4 y= ± 3x D. 1 1 11 3 y= ± 4x xy m-+- m =表示椭圆”的 （ ） A 充分不必要条件 B. 充要条件 C 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在平面直角坐标系中， 坐标原点O到过点A(cos100 ,sin100 ),B(cos40 ,sin40 )的 直线距离为（ ） 10 10 B. 30 15 C. 195 15 D. A A 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 1 ABCD- ABCD 中 ， AD= 3,AA = 5,AB= 4,E,F,G 分 别 是 棱 1 6. 已知正方体 ABCD- ABCD 的棱长为 3，点P在棱 111 AA上，且 1 PA =1，则直线 1 DP 1 与 DB所成角的余弦值为 （ ） 1 3 10 10 7. 已知抛物线C:y2 = 4x 的焦点为 F ， 点 P 为抛物线C 上一点，点 A(2,2)则 PA+ PF 的最小值为 （ ） A 5 B. 2 C. 10 D. 3 8. 在 长 方 体 1 1 11 CD,BC,CC 的中点，M 是平面ABCD内一动点，若直线 DM 与平面EFG平行， 则 1 1 MB ×MD 的最小值为（ ） 11 75 4 B. 25 C. 10 2 D. 3 A 25 B若空间中点P,A,B,C 满足 4 二、多项选择题 （每小题5分，共20分每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求，全部选对的得5分， 错选或不选得0分， 部分选对的得2分） 9. 下列四个结论正确的有 （ ） A对于任意两个向量a,b ，若a×b = 0，则a= 0或b = 0或a b 13 PC = 4PA+ 4PB，则A,B,C三点共线 C空间中任意三个向量a,b,c 都满足(a×b)×c- a×(b×c)= 0 D对于任意两个向量a,b ， 都有 a×b = a× b 10. 已知直线 y= x+ b与曲线x-1- y2 = 0有且仅有一个公共点， 则b的取值可以是 （ ） A -2 B. 2 C. 1 - 2 D. 1 11. 已知双曲线C过点( 2, 3)， 且渐近线方程为 y= ±3x ，则下列结论正确的是 （ ） A 双曲线C的离心率为 3 B 左焦点到浙近线的距离为 3 C 双曲线的实轴长为1 D 过右焦点截双曲线C所得弦长为6的直线只有三条 12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前 262 年至前 190 年）与欧几里得、阿基米德 齐名， 著有圆锥曲线论八卷他发现平面内到两个定点的距离之比为定值l(l ¹1) 的点所形成的图形是圆后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆已知在 PA PB =，设点P所构成的曲线 1 2 平面直角坐标系xOy 中，A(-1,0),B(1,0)点P满足 为E，下列结论正确的是（ ） æö ç-÷ ,0 5 3 4 4 A 曲线E的圆心坐标为 èø B. 3 £ PB £ 2 C 曲线E的周长为p D. 曲线E上的点到直线x+ y-1= 0的最小距离为4( 2 1) 3- 非选择题部分（共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13. 若a= (2,3,5),b = (3,1,-4)， 则 a- 2b = （ ） 14. 设直线() 12 l : 2-m x+3y+ 4= 0,l :2x+my-1= 0， 若 12 l l ，则m= （ ） 15. 已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4 米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米， 则车辆的最大高度为（ ）米 xy C+=，过椭圆在第二象限上的任意一点P作椭圆的切线与y轴相 16. 已知椭圆 : 42321 交于Q 点，O是坐标原点，过点Q作QR OP，垂足为R，则 OR + OP 的取值范围 是（ ） 四、解答题： 本大题共5小题，每小题14分，共70分， 解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 17. 已知点A(2,1)，直线l:(a-1)x+ y+ 2+ a= 0(aÎR)不论a取何值，直线l过定 点P （I）求点P的坐标，及点A(2,1) 到直线l距离的最大值； （II）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值 18. 已知点P(-1,2)，圆C:(x-3)2 + y2 =16 （I）若直线l过点P，且圆C上任意一点关于直线l的对称点也在圆C上，求直线l的方 程； （II）若直线l过点P，且直线l与圆C交于M、N两点，若MC NC，求直线l的方程 1 æö ç÷ A 2 ,1 P x,y ,Q x ,y 两点， 1 2 19.已知抛物线C:y2 = 2px， 点 èø 是抛物线C上的点 （I）求抛物线的方程及 p的值； （II）直线l与抛物线交于 ()() 1122 y y < 0，且OP×OQ = 3，求 3 12 y + 2 y 的最小值并证明直线l过定点 20.如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Ð ADC = 60 ，平面 PBC平面 ABCD，且侧面PBC为等边三角形E为线段BC的中点 （I）求证：直线BC PA； 4 5 （II）在线段AP上是否存在点F，使得直线EF 与平面PAC所成角的余弦值为 F -1,0 、F 1,0 的距离之和为2 3点P的轨 21.已知P是平面上的动点， 且点P与()() 12 迹为曲线E （I）求动点P的轨迹E的方程； （II）不与y轴垂直的直线l过点 1 F且交曲线E于M,N两点， 曲线E与x轴的交点为 8 3 A,B，当 MN ³ 5时，求AM× NB+ AN×MB的取值范围 4 2021学年第一学期温州十校联合体期中联考 高二数学评分标准与参考答案 一、单选题（5×840分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D C B D A D AC/平面EFG，可知M的轨迹是直线AC， ()2()2 111111 8.解析：易得平面 1 1175 (100 25) ×=é+-ù ³-= MB MD4 MB MDMB MD44 ëêûú选 A也可建系， 利用坐标法求解 二、选择题（4×520分，全部选对的得5分，错选或不选得0分，部分选对的得2分） 题号 9 10 11 12 答案 AB ACD BD ABD 三、填空题，（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 7 2 3, èø 2 x xy y +=，从而可知 16.解析：设 () 00 y Qçæ÷ö èø ，|OR|×|OP|= OP×OQ = 3为定值， 37 | ( 3,2),| |2 3, æö Î+=+Îç÷ OPOROP|OP|OP2 13. 186 14.4 15. ì+= í 39 2 令 16. æö ç÷ P x ,y ，利用 = 0可求得切线方程为 001 43 0, 0 3 x y 2 0 a èø 四、解答题：本大题共 5小题，每小题 14分，满分 70分解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤 17.解：（）由(a-1)x+ y+ 2+ a= a(x+1)- x+ y+ 2= 02分 1 a a 2 = - 1 x 1 0 î-+=，解得x= -1,y= -3 所以直线l过定点P（1，3）4分 点A（2，1）到直线l距离的最大值为|PA|=9+16 = 57分 （用点到直线距离公式表示出距离d，再求最大值可以酌情给分） x - 2 （）令y0，得 = a -；令x0，得ya211分 - 2 依题意， a -，解得a2或a214分 5 18.解：（）依题意，直线 l 经过圆的圆心 C（3.0），所以直线斜率为 - = - 2 01 -，4分 所以直线l的方程为 k1 32 1 (3) y= - 2 x-，化简得：x+ 2y- 3= 07分 （）由 MCNC 及圆的半径为 4，可得|MN |= 4 2 ，圆心 C 到直线的距离为 2 29分 设直线l的斜率为m，则直线的方程为y- 2= m(x+1)，10分 |42| m 2 2 + 1 m 2 6 1(1) 2 解得16 y2x æö ç÷ A 2 ,1 y22x x my t ì= í 圆心C到直线l的距离 d = +，12分 æö y + y = 2m,y y = -2t< 07分 ()22 1 21 21 21 2 1 23 m= -±2 ，所以直线l的方程为 1 y y = -6或2（舍）11分 = çç-±÷÷+ èø 14分 19.解：（）依题意，点 èø 坐标满足方程 121 2 y2 = 2px, p=1，2分 抛物线的方程为y2 = 2x4分 （）设直线 l 的方程为 x= my+t ，联立方程组 y2 - 2my- 2t= 06分 121 2 y + 2 y 的最小值为4 3，直线 l：xmy3 恒过定点（3，0）14 î=+，消去 x 得， OP×OQ= xx + y y = 4 y y+ y y = t -t =，9分 解得 1 2 y + 2 y ³ 2 2 y y = 4 312分 t3或t1（舍） 所以 12 分 20.解：（）证明：连接PE，AE，因为三角形PBC为正三角形， PEBC1分 又四边形ABCD为菱形，且ADB60°，所以ABC也是正三角形 所以AEBC3分 AEÇ PE = E,AE,PE Ì 平面PAE BC平面PAE5分 6 又PAÌ 平面PAE，BC PA6分 （）由平面PMB平面ABCD，及PEBC可得，PE平面ABC 直线 EA，EB，EP两两垂直，以 E为原点，直线 EA，EB，EP分别为 x，y，z轴建立空间 直角坐标系， 菱形ABCD边长为2，所以可求得 A( 3,0,0),E(0,0,0),P(0,0, 3),C(0,-1,0) ， CA= ( 3,1,0),CP = (0,1, 3),PA= ( 3,0,-3)8分 设平面PAC的法向量为n= (x,y,z)，则 n CAx y n CP yz 30 ïì×=+= í îï×=+=，取z=1,y= -3,x=1 可得其中一个法向量n = (1,-3,1)10分 因为F是线段PA上的点，所以存在实数l(0£ l £1)使得 PF = lPA= ( 3l,0,-3l) EF = EP+ PF = EP+ lPA= (0,0, 3)+ ( 3l,0,-3l)= ( 3l,0, 3-3l)11 分 设直线EF与平面PAC所成的角为q ，则 30 |33 EF n × sin|cos,| EF n | | |1 3 133(1)5 EFn ll 22 1 2 , 解得 q =<> = ×+×+- F(-1,0)、F (1,0) 为焦点，长轴为2 3的椭 E:xy1 设 22 xy +=4分 22 1 32 l = 3 313分 所以，线段PA上存在点F满足题意，且F为线段PA的两个三等分点14分 21.解：（）依题意，点 P 的轨迹 E 是以 12 圆，2分 22 a + b =，则a=3,c=a2 -b2 =1 故轨迹E的方程为 （）设直线l方程为yk（x1） xy 22 1 代入E的方程 32 +=，整理得(2+ 3k2)x2 + 6k2x+ 3k2 - 6= 06分 M x,y ,N x ,y ， 设点()() 1122 636 - 22 1221 22 , += -= kk +7分 2 32 3 可得 xxxx kk 7 4( 2)2 364 361 |1414 3 2 32 32 3 kkk () MNkxxxxk -+ 222 121 2222 () =+-=+-= kkk 2 + 9分 8 |3 18 4 33 2 35 MN ³ 5得， 由 ³ k 2 AM× NB+ AN×MB=x +3,y ×3- x ,-y +x +3,y ×3- x,-y 2 ()()(2)2 ()22 1 21 21 2121 2122 212 6 226 221162 2226 xxy yxxk xxk xxk xxk 2 3 212262 321 666 2 332392 33 kk kkk 22 由已知得 2 22 k 2 + +， 解得k2 £110分 因为A(-3,0),B( 3,0) 所以()() ()() 11222211 =-=-+=-+-+-=+ + +=+×=+× + +12分 0£ k2 £1， 442 321 £+×£ + 612 2 5392 k3 éù êú ,12 44 5 k + + k AM× NB+ AN×MB的取值范围是 ëû 14分 8