2022年随机向量及其分布教案 .pdf

1 第三章随机向量及其分布一教学目标及基本要求（1）了解二维随机变量概念及其联合分布函数概念和性质，了解二维离散型和连续型随机变量定义及其概率分布和性质，了解二维均匀分布和正态分布。（2）会用联合概率分布计算有关事件的概率，会求边缘分布。（3）掌握随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量的独立性进行概率计算。（4）会求两个独立随机变量的简单函数(如函数 X+Y, max(X, Y), min(X, Y)的分布。二教学内容二维随机变量二维随机变量及其分布， 离散型随机变量及其分布律、 连续型随机变量及其密度函数、它们的性质、n 维随机变量边缘分布边缘分布律、边缘密度函数条件分布相互独立的随机变量两个变量的独立性， n 个变量的独立性二维随机变量的函数的分布已知(X,Y) 的分布率 pij或密度函数( ,)x y， 求(,)Zf X Y的分布律或密度函数( )Zz。特别如函数形式：,max(,),min(, )ZXY ZX YZX Y。三本章教学内容的重点和难点a)二维随机变量的分布函数及性质，与一维情形比较有哪些不同之处；b)边缘密度函数的计算公式：( )( , )Xxx y dy的运用，特别是积分限的确定和变量 x 的取值范围的讨论；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 47 页 - - - - - - - - - 2 c)随机变量独立性的判定条件以及应用独立性简化计算，如由边缘分布律或密度函数可以确定联合分布律或联合密度函数；d)推导 ZXY的密度函数的卷积公式：( )( ,)XYtx tx dx，正确使用卷积公式；e)在 X，Y独立性的条件下， 推导max(,),min(,)ZX YZX Y的密度函数，注意它们在可靠性方面的应用。四教学过程中应注意的问题a)注意联合分布函数能决定任意随机变量X 或 Y的分布（边缘分布），反之则不能确定 (X，Y)的联合分布，由正态分布可以说明；b)在判断两个随机变量是否独立过程中，如果存在某点00(,)xy，使得：0000(,)() ()P Xx YyP XxP Yy或0000(,)()()XYxyxy，则称变量 X与 Y不独立；c)一般计算概率使用如下公式：( , )(,)( , )x yGPX YGx y dxdy，注意二重积分运算知识点的复习。d)二维均匀分布的密度函数的具体表达形式。五思考题和习题思考题： 1. 由随机变量,X Y的边缘分布能否决定它们的联合分布？ 2. 条件分布是否可以由条件概率公式推导？ 3. 事件的独立性与随机变量的独立性是否一致？ 4如何利用随机变量之间的独立性去简化概率计算，试举例说明。3.1 二维随机向量及其联合分布函数一、随机向量的概念定义3-1设随机试验的样本空间为，对每一个，有确定的两个实数,XY与之对应，则称YX,为 二维随机向量，简记为),(YX。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 47 页 - - - - - - - - - 3 在定义 3-1 中要注意X和Y是定义在同一个样本空间上的两个随机变量。例如，有五件产品，其中两件是次品（用21,aa表示），三件是正品（用123,b b b表示）。从中依次不放回地任意取出两件，此时随机试验的样本空间为1211121321222312132321112131122232213132(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a aa ba ba ba ba ba bb bb bb baab ab ab ab ab ab ab bb bb b，我们将中的样本点依次记为1220,。定义随机变量XY和如下：0,1X如果第一次取出的是正品，如果第一次取出的是次品 , 0,1Y如果第二次取出的是正品，如果第二次取出的是次品，在一次随机试验中，若出现了样本点13(,)a b（即4） ，则44()1, ()0XY；若出现了样本点31(,)b a（即14） ，则1414()0,()1XY等等。注意XY和都是定义在上的，对中的每一个样本点，XY和都有一个数与此样本点对应。现在约定：对于二维随机向量),(YX，事件iiyYxX,表示事件ixX与jyY的交，其中ixX和iyY均是样本空间的子集。同样，事件yYxX,表示事件xX与事件yY的交。二、随机向量的联合分布函数定义 3-2设),(YX是一个二维随机向量，x， y 是两个任意实数，则称二元函数2( , )(,),( , )F x yP Xx Yyx yR为),(YX的联合分布函数（joint distribution function） 。与一维的情形类似，掌握了联合分布函数也就掌握了二维随机变量的统计规律。联合分布函数),(yxF具有下列五条基本性质：（1）20( ,)1,( ,)F x yx yR；（2）),(yxF对每个自变量都是单调非降的；（3）对一切实数x和y，则有(, )( ,)0,(,)1FyF xF；（4）),(yxF对每个自变量都是右连续的，即(0, )( ,),( ,0)( ,)F xyF x yF x yF x y；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 47 页 - - - - - - - - - 4 （5）对一切实数2121,yyxx，有0),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxF。图 3-1 图 3-2 证明（ 1）- （4） ，类似一维随机变量分布函数的四条基本性质，下面我们只证（5） 。由定义 3-2 知，),(),(yYxXPyxF是（X，Y）落在区域D内的概率，见图3-1 ，则1212(,)P xXxyYy122121(,)(,)P xXx YyP xXx Yy2212(,)(,)P Xx YyP Xx Yy2111(,)(,)P Xx YyP Xx Yy22122111(,),F xyF xyF xyF x y，这是用),(yxF来计算),(YX落在矩形区域1212( , ) |,x yxXxyYy概率的公式，见图3-2 ，再由概率的非负性，即知（5）成立。任何一个联合分布函数),(yxF一定具有以上五条基本性质；反之，任何具有以上五条基本性质的二元函数),(yxF必可作为某一二维随机向量),(YX的联合分布函数。三、随机向量的边际分布函数由于联合分布函数),(yxF全面描述了随机向量),(YX的统计规律，显然由),(YX的联合分布函数),(yxF，我们可以得到随机变量X和Y各自的分布函数。即)()(xXPxFX),(xXP),(YxXP),(xF，其中),(lim),(yxFxFy. 同样),()(yFyFY，其中),(lim),(yxFyFx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 47 页 - - - - - - - - - 5 我 们 把)(),(yFxFYX分 别 称 为),(YX关 于X，Y的 边 际 分 布 函 数 （ marginal distribution function）或 边际分布函数 。我们经常讨论的随机变量有两种类型：离散型和连续型。3.2 二维离散型随机向量一、二维离散型随机向量的联合概率分布定义3-3若二维随机向量),(YX的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称),(YX为二维离散型随机向量（ 2-dimensional discrete random vector） 。定义 3-4 设),(YX的所有可能取值为(,),1,1, ,ijx yimjn，则称,1,1, ,.ijijpP Xx Yyimjn为二维离散型随机向量),(YX的联合概率分布 （ joint probability distribution） ，也常用表格列出 , 见表 3-1. Y X 2yny1x11p12pnp12xmx21p22pnp21mp2mpmnp联合概率分布完整地描述了离散型随机向量的统计规律。联合概率分布具有下列两条基本性质：（1）,1,1,0njmipij；（2）111ijijp。证明（ 1）显然；1y表 3-1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 47 页 - - - - - - - - - 6 （2）由于11,ijjiyYxX，再由概率的可列可加性知，11,ijijPXxYyjiijyYxXP,111)(11Ppijij，即111ijijp。联合概率分布一定具有以上二条基本性质。反之，若一串),1,1(njmipij具有以上二个性质，则),1,1(njmipij一定可作为某一二维离散型随机向量的联合概率分布。下面举例说明如何求二维离散型随机向量的联合概率分布。例 3-1箱子里装有a件正品和b件次品。每次从箱子中任取一件产品，共取两次。设随机变量X和Y的定义如下：0,1X如果第一次取出的是正品，如果第一次取出的是次品 , 0,1Y如果第二次取出的是正品，如果第二次取出的是次品 , （1）第一次取出的产品仍放回去；（2）第一次取出的产品不放回去。在上述两种情况下分别求出二维随机向量),(YX的联合概率分布。解 （1）X：0，1，Y：0，1 )00()0()0,0(XYPXPYXPbaabaa22)(baa , )01()0() 1, 0(XYPXPYXPbabbaa2)(baab , 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 47 页 - - - - - - - - - 7 ) 10()1()0, 1(XYPXPYXPbaabab2)(baba , ) 11() 1() 1, 1(XYPXPYXPbabbab22)(bab , 即联合概率分布为(见表 3-2) Y X 0 1 0 22baa2baab1 2baba,22bab（2）X：0，1，Y：0，1 )00()0()0, 0(XYPXPYXP11baabaa11babaaa , )01()0() 1, 0(XYPXPYXP1babbaa1babaab , ) 10()1()0, 1(XYPXPYXP1baabab1bababa , )11() 1() 1, 1(XYPXPYXP1111bababbbabbab , 即联合概率分布为(见表 3-3) Y X 0 1 表 3-2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 47 页 - - - - - - - - - 8 0 11babaaa1babaab1 1bababa,)1()1(bababb例 3-2掷两枚骰子，第一枚骰子出现的点数记为X，两枚骰子最大点数记为Y，求),(YX的联合概率分布。解X所有可能取值为1，2， 6，Y所有可能取值为1，2， 6。当ji时，iXjYPiXPjYiXP)(),(0061，当ji时，iXjYPiXPjYiXP)(),(36661ii，当ji时 ，iXjYPiXPjYiXP)(),(3616161，其中,1,2,6i j，即),(YX的联合概率分布为( 见表 3-4) Y X 1 2 3 4 5 6 1 3613613613613613612 0 3623613613613613 0 0 3633613613614 0 0 0 364361361表 3-3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 47 页 - - - - - - - - - 9 5 0 0 0 0 3653616 0 0 0 0 0 366二、二维离散型随机向量的边际概率分布由于),(YX的联合概率分布全面地描述了二维离散型随机向量),(YX的统计规律，因此，当),(YX的联合概率分布已知时，我们就可以求出随机变量X和Y的概率分布。具体地说，已知),(YX的联合概率分布为,1,1, ,.ijijpP Xx Yyimjn，则X的概率分布为iixXPxXP1jjiyYxXP1jjiyYxXPjijyYxXP1jijyYxXP,1, 1,1mipjij，同理可求得Y的概率分布为, 1,1njpyYPiijj。我们记?1jijipp，?1iijjpp。所以，X的概率分布为, 1,mipi?，Y的概率分布为, 1,njpj?。定义 3-5我们将二维离散型随机向量),(YX中X（或Y）的概率分布称为),(YX关于表 3-4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 47 页 - - - - - - - - - 10 X（或Y）的边际概率分布 (marginal probability distribution)或边际概率分布 。我们也可以直接将两个边际概率分布写在),(YX的联合概率分布表中( 见表 3-5) ：Y X 1y2yny?ip1x11p12pnp1?1p2x21p22pnp2?2pmx1mp2mpmnp?mpjp?1?p2?pnp?1 例如，例3-1 中联合概率分布的的两个边际概率分布分别为( 见表 3-6 、表 3-7) （1）Y X 0 1 ?ip0 22)(baa2)(baabbaa1 2)(baba22)(babbabjp?baabab1 （2）Y X 0 1 ?ip0 (1)()1a aabab1)(babaabbaa1 )1)(bababa1)()1(bababbbabjp?baabab1 表 3-5 表 3-6 表 3-7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 47 页 - - - - - - - - - 11 从上述表 3-6 和表 3-7 中我们还可以发现， （1） 、 （2）两者有完全相同的边际概率分布，而联合概率分布却是不相同的。由此可知，由边际概率分布并不能唯一地确定联合概率分布。事实上，),(YX的联合概率分布还包含有X与Y之间的相互关系的信息，它是边际概率分布所不能提供的。因而对单个随机变量X与Y的研究并不能代替对二维随机向量),(YX整体的研究。*三、二维离散型随机向量的条件概率分布当同时考察两个随机变量时，常常需要考虑： 已知一个随机变量取得某值的情况下，另一个随机变量取值的条件概率。考虑二维离散型随机向量(, )X Y，设它的联合概率分布为(,),1,2,1,2, ,ijijP Xx Yypimjn它们的边际概率分布分别为1(),1,2,iijijP Xxppim?1(),1,2, ,jijjiP Yyppjn?。定义 3-6若对固定的j，()0jjP Yyp?，则在已知jYy的条件下，X取各可能值的条件概率(,)(),1,2,()ijijijjjP Xx YypP Xx YyimP Yyp?称为在jYy的条件下X的条件概率分布（conditional probability distribution） 。类似地，若对固定的i，()0,iiP Xxp?则在已知iXx的条件下，Y取各可能值的条件概率(,)(),1,2, ,()ijijjiiiP Xx YypP Yy XxjnP Xxp?称为在iXx的条件下Y的条件概率分布 。注：对固定的j，条件概率分布()ijP Xx Yy仍然是概率分布，满足概率分布的一切性质。例如（1）()0 ,1,2,ijP Xx Yyim； （2）1()1ijiP Xx Yy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 47 页 - - - - - - - - - 12 例 3-3设二维随机向量(, )X Y的联合概率分布为( 见表 3-8) YX1 2 3 1 29911812 311619求（ 1）在2Y的条件下，X的条件概率分布；（2）在1X的条件下，Y的条件概率分布。解（1）2115(2),9618pP Y?122129(12),5518pP XYp222136(22)5518pP XYp。在2Y的条件下，X的条件概率分布为2,15(2)3,25iP Xi Yi。同样，也可以分别求出在13YY和的条件下，X的条件概率分布。（2）12117(1),991818pP X?111249(11),7718pP YXp?121129(21),7718pP YXp?1311118(31)7718pP YXp?。在1X的条件下，Y的条件概率分布为表 3-8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 47 页 - - - - - - - - - 13 4,172(1),271,37jP Yj Xjj。同样，也可以求出在2X的条件下，Y的条件概率分布。3.3 二维连续型随机向量一、二维连续型随机向量的联合密度函数定义 3- 7 设二维随机向量),(YX的联合分布函数为),(yxF，若存在非负可积二元函数( , )f x y (,)x y，使得对任意实数x，y，有,d dxyFx yfs ts t，则称),(YX为二维连续型随机向量（2-dimensional continuous random vector ） ，( , )f x y称为二维连续型随机向量),(YX的联合概率密度函数，或称联合密度函数（joint density function） 。从定义知，二维连续型随机向量的联合密度函数( , )f x y具有以下性质：（1）非负性：2( , )0,( , )f x yx yR; （2）正则性：( , )d d(,)1f x yx yF。证明 ： （1）显然；（2）1(,)lim( , )xyFF x ylim( , )d d( , )d dxyxyf s ts tf x yx y。联合密度函数一定具有以上两条基本性质；反之，具有以上两条性质的二元函数( , )f x y必可作为某一二维连续型随机向量的联合密度函数。若( , )f x y处处连续，则：2( ,)( ,)F x yf x yx y由上可知： 对于二维连续型随机向量),(YX而言， 当已知联合分布函数),(yxF时，求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 47 页 - - - - - - - - - 14 二阶混合偏导数可得其联合密度函数；反之，由定义3-7即可由联合密度函数求得联合分布函数),(yxF。设二维连续型随机向量),(YX的联合密度函数为( , )f x y，且 D 为 xOy 平面上的任一区域，则,( ,)d dDPX YDf x yx y。特别地，对于矩形区域,|,Dx yaxb cyd，有,d dbdacP aXb cYdfx yx y. 上式的几何意义表示为:,PX YD的值等于以区域D为底、以曲面,fx y为顶面的曲顶柱体的体积. 例 3- 4 设二维随机向量,X Y的联合密度函数为2,0,0,0 xyAexyfx y其他，求： (1)常数A; (2)11 11PXY，; (3)1P XY; (4),X Y的联合分布函数,F x y. 解(1)利用性质,d d1fx yx y，可得220000d ddd12xyxyAAex yAexey, 所以，2A. (2)11112110011, 11,d d =2d dx yPXYfx yx yex y11221002dd= 11xyexeyee(3)112120011,d d2d d12xxyxyPXYfx yx yex yee(4) 当0,0 xy时，2002200,d d2d d2dd11xyxys txystxyFx yfs ts tes tesetee. 当,|0,0 x yx yxy时，,0F x y，故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 47 页 - - - - - - - - - 15 2(1) 1,0,0,0,xyeexyFx y其他例 3- 5 设随机向量),(YX的联合密度函数为2,01,02,( , )0,xcxyxyf x y其他求（ 1）常数 c；(2) 1YXP； (3)联合分布函数),(yxF。解： （1）利用联合密度函数的基本性质得：( , )f x y dxdy12200()d dxcxyx y132c，从而得31c(2) 由于在区域20, 10,yxyx外，( , )f x y=0，所以，在区域1,yxyx上积分等价于在区域D 上的积分，其中,01,02,1Dx yxyxy,如图 33 所示区域；xyx+y=1D 1 2123 1 21234O1(1)( , )d dxyP XYf x yx y( ,)d dDf x yx y12201d()d3xxyxxy1320541()d632xxxx7265。(3) 由于( , )( , )d dxyF x yf s ts t，所以，图 3-3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 47 页 - - - - - - - - - 16 当0 x或0y时，( ,)( , )d d0 xyF x yf s ts t; 当20 , 10yx时，见图 34. xy(x,y) 1 212345 1 2 3123Oxy 1 212345 1 2 3123O(x,y)( ,)( , )d dxyF x yf s ts t2001()d d3xyssts t123223yxyx; 当2, 10yx时，见图 35. ( ,)( , )d dxyF x yf s ts t22001()d d3xssts t233132xx; 当20, 1yx时，见图 36. ( ,)( , )d dxyF x yf s ts t12001()d d3yssts t1232yy; xy 1 21234 1 21234O(x,y)xy 1 212345 1 2 3123O(x,y)当2, 1 yx时，见图 37. 图 34 图 35 图 36 图 37 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 47 页 - - - - - - - - - 17 ( ,)( , )d dxyF x yf s ts t122001()d d3ssts t1；综上所述，3222320,00, 01,023122( , ),01,233,1,023121 ,1,2xyx yx yxyxxF x yxyyyxyxy或。二、二维连续型随机向量的边际密度函数如果二维连续型随机向量,X Y的联合密度函数为,fx y，则,d dxXFxP XxP Xx Yfs tts. 上式表明：X是连续型随机变量，其密度函数为,dXXfxFxfx yy. 同理，Y是连续型随机变量，其密度函数为,dYYfyFyfx yx定义 3- 8我们称( )( , )dXfxf x yy为二维连续型随机向量),(YX关于 X 的边际密度函数 （marginal density function） 。称( )Yfy( ,)df x yx为二维连续型随机向量),(YX关于 Y 的边际密度函数 。例 3- 6 设),(YX的联合密度函数为3 ,01,0( , )0,xxyxf x y其他求),(YX的边际密度函数( )Xfx,( )Yfy。解：先画出区域xyxyx0, 10,的图形，见图38. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 47 页 - - - - - - - - - 18 xyy=x 112 11231O则( )( , )dXfxf x yy03 d ,010,xx yx其他23,010,xx其他，( )( , )dYfyf x yx13,010 ,yxdxy其他233,01220,yy其他。与二维离散型随机向量类似，对于二维连续型随机向量),(YX而言，两个边际密度函数也不能唯一地确定联合密度函数。*三、条件密度函数定义 3-9设二维连续型随机向量,X Y的联合密度函数为,fx y，边际密度函数为Xfx,Yfy，对于任意的x，若0Xfx，则称|,|,Y XXfx yfy xyfx为在条件Xx下Y的条件密度函数(conditional density function)，记为|Y Xfy x. 类似地，对于任意的y，若0Yfy，则称|,X YYfx yfx yxfy图 38 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 47 页 - - - - - - - - - 19 为在条件Yy下X的条件密度函数 ，记为|X Yfx y. 例 3-7设二维随机向量,X Y的联合密度函数为,0,0,yexyfx y其他. 求：条件密度函数|X Yfx y、|Y Xfy x解：边际密度函数分别为：0,00,0( ,)dd ,0,0Xyxxxxfxf x yyeyxex. 00,00,0( ,)dd ,0,0yYyyyyfyf x yxexyyey当0y时0Yfy，所以，在Yy的条件下X的条件密度函数为：|1,0,|0,X YYxyfx yyfx yfy其他. 当0 x时，Xfx在Xx的条件下Y的条件密度函数为：|,0|0,yxY XXfx yexyfy xfx其他. 四两种常用的二维连续型随机向量的分布1. 二维均匀分布定义 3- 10 若二维随机向量,X Y的联合密度函数为1,0,Dx yDSfx y其他，其中DS是平面区域D的面积0DS,则称,X Y服从区域D上的二维均匀分布.这时，,X Y落在区域D内任何子区域的概率与该子区域的面积成正比，而与该子区域的具体位置无关，由第一章知，这是几何概率.现在由二维均匀分布来描述，设GD，则1,d dd dDGGGPX YGfx yx yx ySD的面积的面积. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 47 页 - - - - - - - - - 20 这正是几何概率的计算公式。特别地，当G 为矩形区域时，即dycbxayxG,，则此二维均匀分布的联合密度函数为1,( ,)0,axb cydbadcfx y其他. 例 3- 8 在区间),0(a的中点两边随机地选取两点，求两点间的距离小于3a的概率。解：以 X 表示中点左边所取的随机点到端点O 的距离， Y 表示中点右边所取的随机点到端点 O 的距离，即( , ) 0,2 2a aGx yXYa， （见图 39）),(YX服从区域 G 上的二维均匀分布，所以，),(YX的联合密度函数为xyGDaa3a2a2a6y= x+ a3O24,0,( , )2 20,a axyaf x ya其他，又“两点间距离小于3a”等价于事件3aXY，则()( , )d d3DaP YXf x yx y232624daaxaadxya92. 请读者用几何概型来解决。2. 二维正态分布图 39 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 47 页 - - - - - - - - - 21 定义 3- 11 若二维连续型随机向量),(YX的联合密度函数为22122122212122()()12(1)2121( , )21xyyxf x ye，其中,2121为常数，且120,0,1，则称),(YX服从 二维正态分布（2-dimensional normal distribution） ，记作),(YX,222121N。二维正态分布的联合密度函数,zfx y的几何图形是一张以12,为极大值点的单峰钟形曲面（图3-10） ，很像一顶四周无限延伸的草帽. 图 3-10 例 3-9 设二维随机向量,0,0,1,1,X YN，求X和Y的边际密度函数. 解：222122 121,dd21xxyyXfxx yyey2222 12211d221yxxeey. 注意到上式积分号内的被积函数恰好是均值为x，方差为21的正态分布的密度函数，因此，该积分分值为1，于是2212xXfxe. 同理可得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 47 页 - - - - - - - - - 22 2212yYfye可见0,10,1XNYN，通过与例3-9 类似的计算，可得如下结论：(1) 二维正态分布的两个边际分布均为一维正态分布，且它们的参数对应于二维正态分布的前 4 个参数；(2) 边际分布不能唯一确定联合分布，这是因为X与Y的边际密度函数相同，但可以有不同的值；(3)为了确定一个二维正态分布的联合密度函数，除了知道两个边际分布以外，还需知道的值 . 3.4 随机变量的独立性在上一节中，我们曾经指出，二维随机向量),(YX的联合概率分布或联合密度函数不仅描述了X与Y各自的统计规律，而且还包含了X与Y相互之间关系的信息。当随机向量X与Y取值的规律互不影响时，称X与Y相互独立。一、随机变量独立性定义3- 12 设),(yxF为二维随机向量),(YX的联合分布函数，)(),(yFxFYX分别为X与Y的边际分布函数。若对于任意实数x，y，有)()(),(yFxFyxFYX，即,P Xx YyP XxP Yy，则称随机变量X与Y相互独立（independent ） 。否则称随机向量X与Y不独立 （not independent ） 。在许多情形下， 随机变量是否独立， 并不一定使用上述抽象的定义，而是根据有关理论、实践知识和直观理解来判断随机变量是否独立。例如，一颗骰子掷两次， 出现的点数X与Y显然独立。二、离散型随机变量独立的等价命题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 47 页 - - - - - - - - - 23 由定义 3-12 可知，对于二维离散型随机向量，随机变量 X 与 Y 相互独立， 有如下定理：定理 3- 1 设二维离散型随机向量),(YX的联合概率分布为(,),1,1, ,ijijP Xx Yypimjn；随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是：若对于任意的正整数ji,，有)()(),(jijiyYPxXPyYxXP，即jiijppp?。证明从略。例 3-10 设),(YX的联合概率分布为Y X1 2 3 1 61911812 31问,取什么值时，X与Y相互独立？解：由21311ijijp知31，又91)2(YP，1111(1)69183P X，及 X 与 Y 独立，则)2()1()2, 1(YPXPYXP即,31)91(9121219399，。将,的值代入联合概率分布，可以验证X 与 Y 相互独立。表 39 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 47 页 - - - - - - - - - 24 例 3-11 袋中有 5 只白球， 3 只黑球。取两次球，每次取1 只，定义下列随机变量：10X， 第一次取到白球， 第一次取到黑球，10Y， 第二次取到白球， 第二次取到黑球判断： (1) 有放回取球的情况下X与Y是否独立？(2) 无放回取球的情况下X与Y是否独立？解 (1)有放回取球的情况下，(, )X Y的所有可能取值为（0，0） ， （ 0，1） ， （1，1）.由概率的乘法公式得3390000|05525P XYP XP YX，3260101|05525P XYP XP YX，2361010|15525P XYP XP YX，2241111|15525P XYP XP YX，即：(,)X Y的联合概率分布与边际概率分布见表3-10. XY01i09256250.616254250.4j0.60.4表 3-10 有放回取球时的联合概率分布与边际概率分布表从表 3-10，易知，( ,1,2)ijiji j，故当有放回取球时，X与Y独立。这与问题的实际意义完全相符。(2) 无放回取球的情况下，由概率的乘法公式得320000|00.354P XYP XP YX，320101|00.354P XYP XP YX，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 47 页 - - - - - - - - - 25 231010|10.354P XYP XP YX，211111|10.154P XYP XP YX，即：(,)X Y的联合概率分布与边际概率分布见表3-11. XY01i00.30.30.610.30.10.4j0.60.4表 3-11 无放回取球时的联合概率分布与边际概率分布表在表 3-11 中，由于0,00.30.3600P XYP XP Y, 故当无放回取球时，X与Y不独立 . 这也与问题的实际意义完全相符. 此例表明： 在有放回取球和无放回取球的两种情况下，其边际概率分布完全相同，但联合概率分布却不同。这说明，一般情况下，联合概率分布不能由边际概率分布唯一确定。但是，当X与Y独立时，由边际概率分布就可以确定联合概率分布。例 3-12设),(YX的联合概率分布为21!),(21ejipjYiXPjiij，其中, 1 ,0,0,021ji，问 X 与 Y 是否独立？解：?0jijipp12120!ijjeeij11,0,1,!ieii同理可求出22,0,1,!jjpejj?显然,0,1,ijijpppi j?，所以， X 与 Y 相互独立。三、连续型随机变量独立的等价命题对于二维连续型随机向量，随机向量X与Y相互独立，有如下等价命题。定