最新同济大学微积分第三版课件第一章第五节ppt课件.ppt
本节建立极限存在的两个基本准则本节建立极限存在的两个基本准则, 及由准则导出两及由准则导出两本节要点本节要点一、夹逼准则一、夹逼准则个重要极限个重要极限.二、单调有界准则二、单调有界准则因因 由准则由准则1, 得得0limcos1,xx0sinlim1.xxx 注注: 0limcos1.xx因当因当 时时, 有不等式有不等式02x220cos11cos2sin,22xxxx 即即:201cos,2xx 0lim 1cos0,xx即即0limcos1.xx当当 时时, 由准则由准则1, 得得20,2x0 x 例例1 求求0tanlim.xxx解解 00tansin1limlimcosxxxxxxx00sin1limlim1.cosxxxxx例例2 求求 30sintanlim.xxxx解解 3300sintansin (cos1)limlimcosxxxxxxxx x222002sin1sincos12limlimcosxxxxxxxxx 2202sin12lim.242xxx 注注 本例说明极限本例说明极限201cos1lim.2xxx这是一个重要的极限这是一个重要的极限.例例3 求求0arcsinlim.xxx00arcsinlimlim1.sinxtxtxt解解 令令arcsin ,tx则由复合函数的极限运算法则则由复合函数的极限运算法则, 得得sinxt0 x 0.t 则则 , 当当 时时,例例4 证明证明1lim1.nnn221111,22nnnnnnnn nn nnn 所以所以222,11nnn nn即即20,1nn11,nn 110 ,nnnn 证证 当当 时时, 1n 令令于是于是两边取极限两边取极限, 由夹逼定理得由夹逼定理得:lim0,nn即有即有1limlim 11.nnnnn 1111limlimlim11.xxxxxxxxx 因对任意的因对任意的 , 总有总有 由此得由此得 1,xxxx由此极限由此极限, 得到得到0lim1.xxx二、单调有界收敛准则二、单调有界收敛准则准则准则2 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 更具体地说更具体地说:若数列若数列 单调递增且有上界单调递增且有上界 , 则则 存在并且存在并且nxlimnnxM若数列若数列 单调递减且有下界单调递减且有下界 则则 存在并且存在并且nxlimnnx,N不大于不大于 ;M不小于不小于 .N应用此准则应用此准则, 我们来讨论另一个重要极限我们来讨论另一个重要极限1lim 1.xxx11nnxn 设设 , 今证数列今证数列 单调增加且有界单调增加且有界.11nnxnnx231(1) 1(1)(2) 111!2!3!nn nn nnnnn (1)1 1!nn nnnnn 类似地有类似地有111121 11112!3!nnn 1121111.!nnnnn1111121 11112!13!11nxnnn 1121111!111nnnnn112111.1 !111nnnnn比较比较 的展开式的展开式, 可以看到除前两项外可以看到除前两项外, 的每的每1,nnxxnx一项都小于一项都小于 的对应项的对应项, 且且 还多了最后的一项还多了最后的一项,1nx1nx其值大于零其值大于零, 所以所以211111111 11 12!3!222nnxn 1,nnxx由此说明数列由此说明数列 是单调递增的是单调递增的. 又因又因nx此说明数列此说明数列 是有界的是有界的, 由极限存在准则由极限存在准则2, 知数列知数列nx11112133.1212nn 1lim 1e.nnn1lim 1e.xxx 的极限存在的极限存在, nx11xx下面证明下面证明, 当当 时时, 函数函数,xx 限均存在限均存在, 且都等于且都等于 , 即有即有e的极的极e以数以数 表示表示, 即即1111111,1nxnnxn1111lim 1lim 11e,nnnnnnn 因为因为1111lim 1lim 1/ 1e,111nnnnnnn事实上事实上, 若若 记记 则则,x ,xn由夹逼准则由夹逼准则, 得得1lim 1e,xxx(1)1111lim 1lim 1lim 1e,1xttxttxtt由此得到由此得到:1lim 1e.xxx若若 令令 则则(1), ,xtxt ,x 例例5 求求1lim 1.xxx解解 1111lim 1lim1e .xxxxxx进一步有进一步有lim 1e .xkxkx例例6 求求11lim 1.xxx解解1111lim 1lim 11e 1e.xxxxxxx 进一步有进一步有 lim 1xxkxlim 1e .xkxkx例例7 求求2lim.2xxxx解解22 4limlim22xxxxxxxx 24lim 12xxx4lim 12xxx4e .注注 此极限的一般形式是此极限的一般形式是lim.cx dxxbxa例例8 设设lim8,2xxxkxk求求. k解解lim2xxxkxk23lim 12xkxkxk3lim 12xxkxk即即 3e8kln2.k例例9 求求2sin0lim 1.xxx解解 因因221sinsin11,xxxxxx而而10lim 1e,xxx221sin2sin00lim 1lim1e .xxxxxxxx一般一般, 若若lim( )0,1,lim ( ),xxf xaag xb则则 ( )lim.g xbxf xa35 结束语结束语
