2022年高中数学选修全套知识点及练习答案解析 .pdf

选修 2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1.导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数( )yf x在0 xx处的瞬时变化率是000()()limxf xxf xx，我 们 称它 为 函 数( )yf x在0 xx处 的 导 数 ， 记 作0()fx或0|xxy， 即0()fx=000()()limxf xxf xx2.导数的几何意义：曲线的切线 .通过图像 ,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnf xf xkxx，当点nP趋近于P时，函数( )yf x在0 xx处的导数就是切线PT 的斜率k，即0000()()lim()nxnf xf xkfxxx3.导函数： 当 x 变化时，( )fx便是 x 的一个函数，我们称它为( )f x的导函数 . ( )yf x的导函数有时也记作y,即0()( )( )limxf xxf xfxx二.导数的计算基本初等函数的导数公式: 1 若( )f xc(c 为常数 )，则( )0fx；2 若( )f xx,则1( )fxx; 3 若( )sinf xx,则( )cosfxx4 若( )cosf xx,则( )sinfxx; 5 若( )xf xa,则( )lnxfxaa6 若( )xf xe,则( )xfxe7 若( )logxaf x,则1( )lnfxxa8 若( )lnf xx,则1( )fxx导数的运算法则1. ( )( )( )( )f xg xfxgx2. ( )( )( )( )( )( )f xg xfxg xf xgx3. 2( )( )( )( )( )( ) ( )f xfxg xf xgxg xg x复合函数求导( )yf u和( )ug x,称则y可以表示成为x的函数 ,即( ( )yf g x为一个复合函数( )( )yfg xg x三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数: 一般的 ,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间( , )a b内名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - (1)如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递增；(2)如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间单调递减 . 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( )yf x的极值的方法是:（1）如果在0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()f x是极大值（2）如果在0 x附近的左侧( )0fx,右侧( )0fx,那么0()f x是极小值 ; 4.函数的最大 (小)值与导数求函数( )yf x在,a b上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数( )yf x在( , )a b内的极值；（2）将函数( )yf x的各极值与端点处的函数值( )fa，( )f b比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值 . 推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致 )性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理 ,叫做类比推理 . 类比推理的一般步骤: (1)找出两类事物的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想 ); (3)一般的 ,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似 ,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的. (4)一般情况下 ,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠 . 考点二演绎推理 (俗称三段论 ) 由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法1.它是一个递推的数学论证方法. 2.步骤 :A.命题在 n=1（或0n）时成立，这是递推的基础；B.假设在 n=k 时命题成立；C.证明 n=k+1 时命题也成立 , 完成这两步 ,就可以断定对任何自然数(或 n=0n,且nN)结论都成立。考点三证明1.反证法 : 2、分析法 : 3、综合法 : 数系的扩充和复数的概念复数的概念(1)复数 :形如(,)abi aR bR的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2)分类 :复数(,)abi aR bR中,当0b,就是实数 ; 0b,叫做虚数 ;当0,0ab时,叫做纯虚数 .(3)复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数 :当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5)复平面 :建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴， y 轴除去原点的部分叫做虚轴。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - (6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。复数的运算1.复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,( , , ,)zabi zcdi a b c dR则（ 1 ）12()()zzacbd i（ 2 ）12()()zzacbdadbc i（ 3 ）12222()()(0)zacbdadbc izzcd2,几个重要的结论(1) 2222121212|2(| )zzzzzz(2) 22|zzzz(3)若z为虚数 ,则22|zz3.运算律(1) mnm nzzz;(2) ()mnmnzz;(3)1212()(,)nnnzzzzm nR4.关于虚数单位i 的一些固定结论：（1）21i（2）3ii（3）41i（2）2340nnnniiii练习一组一、选择题1在平均变化率的定义中，自变量x 在 x0处的增量 x() A大于零B小于零C等于零D不等于零答案 D 解析 x 可正，可负，但不为0，故应选 D. 2设函数yf(x)，当自变量x 由 x0变化到 x0 x 时，函数的改变量 y 为() Af(x0 x) Bf(x0) xCf(x0) xDf(x0 x)f(x0) 答案 D 解析 由定义，函数值的改变量 yf(x0 x) f(x0)，故应选 D. 3已知函数f(x)x2x，则 f(x)从 1 到0.9 的平均变化率为() A3 B0.29 C2.09 D2.9 答案 D 解析 f(1) (1)2(1) 2. f(0.9) (0.9)2(0.9) 1.71. 平均变化率为f(0.9)f(1)0.9(1)1.71(2)0.12.9，故应选D. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - 4已知函数f(x)x24 上两点 A，B，xA1，xB1.3，则直线AB 的斜率为 () A2 B2.3 C2.09 D2.1 答案 B 解析 f(1)5，f(1.3)5.69. kABf(1.3)f(1)1.315.6950.32.3，故应选 B. 5已知函数f(x)x22x，函数 f(x)从 2 到 2 x 的平均变化率为() A2 xB 2 xC2 xD( x)22x答案 B 解析 f(2) 22220，f(2 x) (2 x)22(2 x) 2 x( x)2，f(2 x)f(2)2 x2 2 x，故应选 B. 6已知函数yx21 的图象上一点 (1,2)及邻近一点 (1 x,2 y)，则 y x等于 () A2 B2xC2 xD2( x)2答案 C 解析 y xf(1 x)f(1) x(1 x)212x2 x.故应选 C. 7质点运动规律S(t)t23，则从 3 到 3.3 内，质点运动的平均速度为() A6.3 B36.3 C3.3 D9.3 答案 A 解析 S(3)12，S(3.3)13.89，平均速度v S(3.3) S(3)3.331.890.36.3，故应选A. 8在 x1 附近，取 x0.3，在四个函数yx、 yx2、 yx3、 y1x中，平均变化率最大的是() AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - CD答案 B 解析 x0.3 时， yx 在 x1 附近的平均变化率k11；yx2在 x1 附近的平均变化率k22 x2.3；yx3在 x1 附近的平均变化率k333 x( x)23.99；y1x在 x1 附近的平均变化率k411 x1013.k3k2k1k4，故应选B. 9物体做直线运动所经过的路程s 可以表示为时间t 的函数 ss(t)，则物体在时间间隔t0，t0 t内的平均速度是() Av0B. ts(t0 t)s(t0)C.s(t0 t)s(t0) tD.s(t)t答案 C 解析 由平均变化率的概念知C 正确，故应选C. 10已知曲线 y14x2和这条曲线上的一点P 1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点， 则点Q 的坐标为 () A. 1 x，14( x)2B. x，14( x)2C. 1 x，14( x1)2D. x，14(1 x)2答案 C 解析 点 Q 的横坐标应为1 x，所以其纵坐标为f(1 x)14( x1)2，故应选C. 二、填空题11已知函数yx32，当 x2 时， y x_. 答案 ( x)26x12 解析 y x(2 x)32(232) x( x)36( x)212x x( x)26x12. 12在 x2 附近， x14时，函数 y1x的平均变化率为_答案 29名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - 解析 y x12 x12 x142 x29. 13函数 yx在 x1附近，当 x12时的平均变化率为_答案 62 解析 y x1 x1 x11 x162. 14已知曲线yx21 上两点 A(2,3)，B(2 x,3 y)，当 x1 时，割线AB 的斜率是_；当 x0.1 时，割线 AB 的斜率是 _答案 54.1 解析 当 x1 时，割线 AB 的斜率k1 y x(2 x)21221 x(21)22215. 当 x0.1 时，割线 AB 的斜率k2 y x(20.1)212210.14.1. 三、解答题15已知函数f(x)2x1，g(x)2x，分别计算在区间3， 1，0,5上函数f(x)及 g(x)的平均变化率解析 函数 f(x)在3，1 上的平均变化率为f(1)f(3)1(3)2(1)12(3)122. 函数 f(x)在0,5上的平均变化率为f(5)f(0)502. 函数 g(x)在3， 1上的平均变化率为g(1)g(3)1(3)2. 函数 g(x)在0,5上的平均变化率为g(5) g(0)5 0 2. 16过曲线 f(x)2x2的图象上两点A(1,2)，B(1 x,2 y)作曲线的割线AB，求出当 x14时割线的斜率解析 割线 AB 的斜率 k(2 y)2(1 x)1 y x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2(1 x)22 x2( x2)(1 x)27225. 17求函数 yx2在 x1、2、3 附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？解析 在 x2 附近的平均变化率为k1f(1 x)f(1) x(1 x)21x2 x；在 x2 附近的平均变化率为k2f(2 x)f(2) x(2 x)222 x4 x；在 x3 附近的平均变化率为k3f(3 x)f(3) x(3 x)232 x6 x. 对任意 x 有， k1k2k3，在 x3 附近的平均变化率最大18路灯距地面8m，一个身高为1.6m 的人以 84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线离开路灯(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率解析 (1)如图所示，设人从C 点运动到 B处的路程为xm，AB 为身影长度，AB 的长度为 ym，由于 CDBE，则ABACBECD，即yyx1.68，所以 yf(x)14x. (2)84m/min 1.4m/s，在 0,10内自变量的增量为x2x1 1.4101.4014，f(x2)f(x1)141414072. 所以f(x2)f(x1)x2x1721414. 即人离开路灯的第一个10s内身影的平均变化率为14. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - 练习二组一、选择题1函数在某一点的导数是() A在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B一个函数C一个常数，不是变数D函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率答案 C 解析 由定义， f(x0)是当 x 无限趋近于0 时， y x无限趋近的常数，故应选C. 2如果质点A 按照规律 s3t2运动，则在t03 时的瞬时速度为() A6B18C54D81 答案 B 解析 s(t)3t2，t03， ss(t0 t)s(t0)3(3 t)23 3218 t3( t)2 st183 t. 当 t0 时，s t18，故应选 B. 3yx2在 x1 处的导数为 () A2xB2 C2 xD1 答案 B 解析 f(x)x2，x1， yf(1 x)2f(1)(1 x)212x( x)2 y x2 x当 x0 时， y x2 f(1)2，故应选 B. 4一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)4t23(s(t)的单位： m，t 的单位： s)，则 t5 时的瞬时速度为() A37B38C39D40 答案 D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - 解析 s t4(5 t)234523 t404t，s(5)li mt0 s tli m t0(404 t)40.故应选 D. 5已知函数yf(x)，那么下列说法错误的是() A yf(x0 x)f(x0)叫做函数值的增量B. y xf(x0 x)f(x0) x叫做函数在x0到 x0 x 之间的平均变化率Cf(x)在 x0处的导数记为yDf(x)在 x0处的导数记为f(x0) 答案 C 解析 由导数的定义可知C 错误故应选C. 6函数 f(x)在 xx0处的导数可表示为y|xx0，即 () Af(x0)f(x0 x)f(x0) Bf(x0)li m x0f(x0 x)f(x0) Cf(x0)f(x0 x)f(x0) xDf(x0)li m x0f(x0 x)f(x0) x答案 D 解析 由导数的定义知D 正确故应选D. 7函数 yax2bxc(a0，a，b，c 为常数 )在 x2 时的瞬时变化率等于() A4aB2abCbD4ab答案 D 解析 yxa(2 x)2b(2 x)c4a2bc x4aba x，y|x2li m x0 y xli m x0(4abax)4ab.故应选 D. 8如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是() A圆B抛物线C椭圆D直线答案 D 解析 当 f(x)b 时， f(x)0，所以 f(x)的图象为一条直线，故应选D. 9一物体作直线运动，其位移s与时间 t 的关系是 s3tt2，则物体的初速度为() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - - A0 B3 C 2 D32t答案 B 解析 s t3(0 t)(0 t)2t3 t，s(0)li mt0 s t3.故应选 B. 10设 f(x)1x，则 li mxaf(x) f(a)xa等于 () A1aB.2aC1a2D.1a2答案 C 解析 li mxaf(x)f(a)xali mxa1x1axali mxaax(xa) xa li mxa1ax1a2. 二、填空题11已知函数yf(x)在 xx0处的导数为11，则li m x0f(x0 x)f(x0) x_；limxx0f(x)f(x0)2(x0 x)_. 答案 11，112解析 li mx0f(x0 x)f(x0) x li m x0f(x0 x)f(x0) x f(x0) 11；limxx0f(x)f(x0)2(x0 x)12li m x0f(x0 x)f(x0) x12f(x0)112. 12函数 yx1x在 x1 处的导数是 _答案 0 解析 y 1 x11 x 111名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - x11 x1(x)2x1， y xx x1.y|x1li m x0 xx10. 13已知函数f(x)ax4，若 f(2)2，则 a 等于 _答案 2 解析 yxa(2 x)42a4 xa，f(1)li m x0 y xa.a2. 14已知f(x0)limxx0f(x)f(x0)xx0，f(3)2， f(3) 2，则li mx32x3f(x)x3的值是_答案 8 解析 li mx32x3f(x)x3li mx32x3f(x)3f(3)3f(3)x3limx32x3f(3)x3li mx33(f(3)f(x)x3. 由于 f(3)2，上式可化为li mx32(x3)x33li mx3f(x)f(3)x323(2)8. 三、解答题15设 f(x)x2，求 f(x0)，f(1)，f(2)解析 由导数定义有f(x0) li m x0f(x0 x)f(x0) xli m x0(x0 x)2x20 xli m x0 x(2x0 x) x2x0，16枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0105m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6103s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度解析 位移公式为s12at2 s12a(t0 t)212at20at0 t12a( t)2 s tat012a t，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - li m t0 s tli m t0at012at at0，已知 a5.0105m/s2，t01.6103s，at0800m/s. 所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s. 17在曲线 yf(x)x23 的图象上取一点P(1,4)及附近一点 (1 x,4 y)，求(1) y x(2)f(1)解析 (1) y xf(1x)f(1)x(1 x)23123 x2 x. (2)f(1) lim x0f(1 x)f(1) x lim x0(2 x)2. 18函数 f(x)|x|(1x)在点 x00 处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由解析 f(x)xx2(x0)xx2(x0) x( x)2( x0)，则 f(x)为 R 上增函数的充要条件是() Ab2 4ac0Bb0，c0 Cb0，c0 Db23ac0，f(x)为增函数，f(x) 3ax22bxc0 恒成立， (2b)243ac4b212ac0，b23ac0，右侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值D如果在点x0附近的左侧f(x)0，那么 f(x0)是极大值答案 C 解析 导数为 0 的点不一定是极值点，例如f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，但 x0不是 f(x)的极值点，故A 错；由极值的定义可知C 正确，故应选C. 6.函数 yf(x)在区间 a，b上的最大值是M，最小值是m，若 Mm，则 f(x)() A等于 0B大于 0 C小于 0 D以上都有可能答案 A 解析 Mm，yf(x)是常数函数f(x)0，故应选 A. 7.内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为() ARB2RC.43RD.34R答案 C 解析 设圆锥高为h，底面半径为r，则 R2(Rh)2r2，r22Rhh2V13 r2h3h(2Rhh2)23 Rh23h3V43 Rh h2.令 V0 得 h43R. 当 0h0；当4R3h2R 时， V0. 因此当 h43R 时，圆锥体积最大故应选C. 8.和式i15(yi1)可表示为 () A(y11)(y51) By1y2y3y4y51 Cy1y2y3y4y55 D(y11)(y21)(y51) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - - 答案 C 解析 i15(yi1)(y11)(y21)(y31)(y41)(y51)y1y2y3y4y55，故选 C. 9设 f(x)是a，b上的连续函数，则f(x)dxf(t)dt 的值 () A小于零B等于零C大于零D不能确定答案 B 解析 f(x)dx 和 f(t)dt 都表示曲线yf(x)与 xa，xb 及 y0 围成的曲边梯形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置所以其值为0. 10.设 f(x)x2(0 xg(x)，所以阴影部分的面积为f(x)g(x)dx.12 已知 f(x)x3的切线的斜率等于1，则其切线方程有() A1 个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - B2 个C多于两个D不能确定答案 B 解析 f(x)x3，f(x)3x2，令 3x2 1，得 x33，即切点坐标为33，39或 33，39. 由点斜式可得切线方程为y39x33或 y39x33， 即 yx239或 yx239.故应选 B. 13.若曲线 yx2axb 在点 (0，b)处的切线方程是xy10，则 () Aa1，b1Ba 1，b1 Ca1，b1 Da 1，b 1 答案 A 解析 y2xa，y|x0(2xa)|x0a1，将(0，b)代入切线方程得b1. 14.关于归纳推理，下列说法正确的是() A归纳推理是一般到一般的推理B归纳推理是一般到个别的推理C归纳推理的结论一定是正确的D归纳推理的结论是或然性的答案 D 解析 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定故应选D. 15.下列说法正确的是() A由合情推理得出的结论一定是正确的B合情推理必须有前提有结论C合情推理不能猜想D合情推理得出的结论无法判定正误答案 B 解析 由合情推理得出的结论不一定正确，A 不正确； B 正确；合情推理的结论本身就是一个猜想，C 不正确；合情推理结论可以通过证明来判定正误，D 也不正确，故应选名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - - B. 16.“四边形ABCD 是矩形，四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 () A正方形都是对角线相等的四边形B矩形都是对角线相等的四边形C等腰梯形都是对角线相等的四边形D矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B 解析 由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形故应选B. 17.证明命题“ f(x)ex1ex在(0， )上是增函数”，一个同学给出的证法如下：f(x)ex1ex， f(x)ex1ex. x0， ex1,01ex0，即 f(x)0，f(x)在(0， )上是增函数，他使用的证明方法是() A综合法 B分析法C反证法D以上都不是答案 A 解析 该证明方法符合综合法的定义，应为综合法故应选A. 18.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A有一个解B有两个解C至少有三个解D至少有两个解答案 C 解析 在逻辑中 “至多有 n 个”的否定是 “至少有 n1个”， 所以 “至多有两个解 ”的否定为 “至少有三个解”，故应选C. 19.用数学归纳法证明1121312n11)时，第一步应验证不等式() A1120，b0，b0 Ca0，b0 Da0 答案 D 解析 复数 zabi 在复平面内的对应点坐标为(a，b)，该点在第二象限，需a0，故应选D. 24.i 是虚数单位，i33i() A.14312iB.14312iC.1236iD.1236i答案 B 解析 i33ii(33i)(33i)(33i)33i1214312i，故选 B. 25.复数 z是实数的充分而不必要条件为() A|z| zBz zCz2是实数Dz z 是实数答案 A 解析 由|z|z 可知 z 必为实数，但由 z 为实数不一定得出|z|z， 如 z 2， 此时 |z|z，故|z|z 是 z为实数的充分不必要条件，故选A. 26.复数 i3(1i)2() A2B2C2iD2i 答案 A 解析 考查复数代数形式的运算i3(1i)2 i (2i)2. 27.复数3i1i2() A 34iB34i C34i D34i 答案 A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 27 页 - - - - - - - - - 解析 3i1i286i2i34i. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 27 页 - - - - - - - - -