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向量与空间解析几何向量与空间解析几何第一节第一节 空间直角坐标系与向量的概念空间直角坐标系与向量的概念 一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量的基本概念及线性运算二、向量的基本概念及线性运算 三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示 向向量量加加法法的的三三角角形形法法则则：把把 b的的起起点点放放到到向向量量 a的的终终点点上上, ,把把自自 a的的起起点点的的到到向向量量 b 的的终终点点的的向向量量为为ab. . 向向量量加加法法运运算算规规律律： 交交换换律律：abba； 结结合合律律：)()(cbacba. . （2 2）向向量量与与数数的的乘乘法法 定定义义2 2 设设 为为一一实实数数, ,向向量量 a与与数数 的的乘乘积积是是一一个个向向量量, ,记记为为 a, ,并并且且规规定定： ( (1 1) )|aa； ( (2 2) )当当0时时 , , a与与a同同向向； 当当0时时, , a与与 a反反向向； ( (3 3) )当当 = =0 0时时, ,0a（零零向向量量）. . a b a + b a b a + b 向量与数的乘法运算规律：向量与数的乘法运算规律： 结合律：结合律：)()()(aaa ; ; 分配律：分配律：a)(babaaa)(,; ; 交换律：交换律：aa. . 同向的单位向量：设同向的单位向量：设 a是一个非零向量是一个非零向量, ,则向量则向量|aaa为与向量为与向量 a同向的单位向量同向的单位向量. . 定义定义 3 3 = =- -1 1 时时, ,记记aa ) 1(, ,则则 a与与 a的方向的方向相反相反, ,模相等模相等, ,称称 a为为 a的负向量（也称其为的负向量（也称其为 a的逆的逆向量）向量）. . 向向量量的的减减法法： 向向量量 a的的 b的的差差规规定定为为 )( baba. . 向向量量减减法法的的三三角角形形法法则则： 把把 a与与 b的的起起点点放放在在一一起起, ,即即 ab是是以以 b的的终终点点为为起起点点, ,以以 a的的终终点点为为终终点点的的方方向向向向量量 . . 1 1. .向向径径及及其其坐坐标标表表示示 向径： 起点在坐标原向径： 起点在坐标原点点O, ,终点为终点为M的向量的向量OM 称为点称为点M的向径的向径, ,记记为为)(Mr或或OM . . a b a+(-b) a-b -b 三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示基基本本单单位位向向量量： 在在坐坐标标轴轴上上分分别别取取与与 x轴轴, , y轴轴和和 z轴轴方方向向相相同同的的单单位位向向量量称称为为基基本本单单位位向向量量, ,分分别别用用 i , j,k, ,表表示示. . 向径的坐标：向径的坐标： 若 点若 点M的 坐 标 为的 坐 标 为( , , )x y z, , 则 向 量则 向 量,OAx iOByj, ,OCzk由 向 量 的 加 法 法 则 得由 向 量 的 加 法 法 则 得 OM = =OM+ +M M =(=(OA + +OB )+)+OC = = xyzijk，称其，称其为点为点M ( , , )x y z的向径的向径OM 的坐标表达式，简记为的坐标表达式，简记为OM = =zyx,. . 2 2. .向向量量12M M的的坐坐标标表表达达式式 设设1111( ,)Mx y z，2222(,)Mxyz为为坐坐标标系系中中两两点点，向向径径1OM , ,2OM 的的坐坐标标表表达达式式为为1111OMxyz ijk，2222OMxyz ijk ，则则以以 1M为为起起点点, , 以以 2M为为终终点点的的向向量量 12M M = =21OMOM 222()xyzijk 111()xyzijk 212121()()()xxyyzzijk, , 即以即以1111( ,)Mx y z为起点为起点, ,以以2222(,)Mxyz为终点的向量为终点的向量12M M 的坐标表达式为的坐标表达式为 12212121()()()M Mxxyyzz ijk 3.3.向量向量123aaaaijk的模的模 任给一向量任给一向量123aaaaijk, ,都可将其视为以点都可将其视为以点M( (1a, ,2a, ,3a) ) 为 终 点 的 向 径为 终 点 的 向 径OM , ,2|OM = =2|OA + +2|OB + +2|OC , , 即即 2|a= =232221aaa, , 所 以 向 量所 以 向 量123aaaaijk的模为的模为 a= =232221aaa. . z A B C M M i k O x y j z O x y 1 M 2 M 4 4. .空空间间两两点点间间的的距距离离公公式式 设设点点1M( (1x, ,1y, ,1z) )与与点点 2M( (2x, ,2y, ,2z) )，且且两两点点间间的的距距离离记记作作 )(21MMd, ,则则 )(21MMd= =22212212121|()()()M Mxxyyzz . . 例例1 1 ( (1 1) )写出点写出点) 1 , 2 , 1 (A的向径；的向径； (2)(2)写出起点为写出起点为) 1 , 2 , 1 (A, ,终点为终点为)0 , 3 , 3(B的向量的向量的的坐标表达式；坐标表达式； (3)(3)计算计算BA,两点间的距离两点间的距离. . 解解 (1)(1)2OA ijk； (2)(2)(3 1)(3 2)(0 1)AB ijk 2ijk； 5.5.坐标表示下的向量运算坐标表示下的向量运算 设设123aaaaijk, ,123bbbbijk , ,则有则有 (1) (1) 112233()()()ababababijk; ; (2)(2)123aaaaijk; ; (3) (3) 112233()()()ababababijk; ; (4) (4) ab332211,bababa; ; (5) (5) /ab332211bababa. . ( (3 3) )222() |21( 1)6d ABAB . . 思考题思考题 1. 1. 点点),(zyxM与与 x轴轴, ,xOy平面及原点的对称点坐平面及原点的对称点坐标标为为何何？ 2.2.下列向量哪个是单位向量？下列向量哪个是单位向量？ (1)(1)kjir; ; (2)(2)1, 0 , 121a; ; (3)(3)31,31,31b. . 第二节第二节 向量的点积与叉积向量的点积与叉积 二、向量的叉积二、向量的叉积 一、向量的点积一、向量的点积 1 1. .引引例例 已已知知力力 F与与 x轴轴正正向向夹夹角角为为 其其大大小小为为 F, ,在在力力 F的的作作用用下下, ,一一质质点点 M沿沿轴轴 x由由 ax 移移动动到到bx 处处, ,求求力力 F所所做做的的功功？ 解解 力力F在水平方向的分力大在水平方向的分力大小为小为cosxFF所以所以, ,力力F使质点使质点M沿沿x轴方向（从轴方向（从A到到 B）所做的）所做的功功 cos|WFba= =|cosAB F, , 即力即力F使质点使质点M沿沿 x轴由点轴由点A移移动到动到B点所做的功等于力点所做的功等于力F的模的模与位移矢量的模及其夹角余弦的与位移矢量的模及其夹角余弦的积积. . A B b a F x O 一、向量的点积一、向量的点积2 2点点积积的的定定义义 定义定义1 1 设向量设向量 a与与 b之间夹角为之间夹角为(), ,则称则称数量数量|cosa b为为 a与与 b的点积（或数量积）的点积（或数量积）, ,并用并用ba表示表示, ,即即 ba= =|cosa |b. . 例例1 1 已知基本单位向量已知基本单位向量kji,是三个相互垂直的单是三个相互垂直的单 位向量位向量, ,求证：求证： 1kkjjii; ; 0ikkjji. . 证证 因为因为 1kji， 所以所以 1cos|iiii )0(. .同理可知：同理可知：1kkjj； 又又因因为为kji, 之之间间的的夹夹角角皆皆为为 2, ,故故有有 00112cos|jiji，同同理理可可知知 0ikkj. . 点积的运算规律：点积的运算规律： 交换律：交换律： abba； 分配律：分配律：cabacba)(； 结合律：结合律：)()(bababa. . 3 3 点点积积的的坐坐标标表表示示 设设123aaaaijk, ,123bbbbijk，则则 123123() ()aaabbba bijkijk. . 故故向向量量 a321,aaa与与 b321,bbb的的点点积积等等于于其其相相应应坐坐标标积积的的和和. . 1a1b+ +2a2b+ +3a3b， 则则由由向向量量点点积积知知向向量量 a与与 b夹夹角角余余弦弦公公式式为为 cos|baba 232221332221332211bbbaaabababa（0 0 ） . . 向向量量垂垂直直的的条条件件：向向量量 a与与 b正正交交的的充充分分必必要要条条件件是是ab= =0 0或或332211bababa= =0 0. . 证证 因因为为 ab0)3(33231, , 所所以以 a与与 b正正交交. . cos 2322211aaaa， cos2322212aaaa, , cos 2322213aaaa, , 并并且且1coscoscos222. . 例例3 3 设设向向量量123aaaaijk与与x轴轴, ,y轴轴, ,z轴轴正正向向的的夹夹角角分分别别为为 , 称称其其为为向向量量 a的的三三个个方方向向角角, ,并并称称cos, ,cos, ,cos为为向向量量 a的的方方向向余余弦弦, , 且且 222coscoscos1)(232221232221aaaaaa . . cos|jaja2322212aaaa, , cos|kaka2322213aaaa. . 证证 向向量量 i, ,j, ,k的的坐坐标标表表达达式式分分别别为为 1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 1kji, , 于于是是有有 cos= =|iaia2322211aaaa, , 1. 引例引例 设设O点为一杠杆的支点点为一杠杆的支点, ,力力 F作用于杠杆作用于杠杆上点上点P处处, ,求力求力 F对支点对支点 O的力矩的力矩. . 解解 根据物理学知识根据物理学知识, ,力力 F对点对点 O的力矩是向量的力矩是向量 M, ,其大小为其大小为 |sinMdOP FF|sinF dFOP . . 其中其中d为支点为支点O到力到力F的作用线距的作用线距离离, ,为矢量为矢量F与与OP 的夹角的夹角. .力矩力矩M的方向规定为：的方向规定为：OP , ,F, ,M依次依次符合右手螺旋法则符合右手螺旋法则. . O F d P 二、向量的叉积二、向量的叉积因因此此, ,力力矩矩 M是是一一个个与与向向量量OP和和向向量量 F有有关关的的向向量量, ,其其大大小小为为|sinOPF, ,其其方方向向满满足足： （1 1）同同时时垂垂直直于于向向量量OP和和 F； （2 2） 向向量量 OP, , F, , M依依次次符符合合右右手手螺螺旋旋法法则则. . 定义定义2 2 两个向量两个向量 a和和 b的叉积（也称为向量的叉积（也称为向量积）是一个向量积）是一个向量, ,记作记作 ab, ,并由下述规则确定：并由下述规则确定： （1 1） ),sin(bababa （2 2）ab的方向规定为的方向规定为: : 注注：a b既垂直于既垂直于 a又垂又垂 直于直于 b, ,并且按顺序并且按顺序 , , a b ab符符 合右手螺旋法则合右手螺旋法则. . b a c=a b 若把若把a, ,b的起点放在一起的起点放在一起, ,并并以以a, ,b为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形, ,则向则向量量a与与b叉积的模叉积的模 |ba = =sin|ba 即为该平行四边形的面积即为该平行四边形的面积. . （1 1）abba（反反交交换换律律）; ; （2 2）acabcba)(（左左分分配配律律）; ; （3 3）acabacb )(（右右分分配配律律）; ; （4 4）bababa)()( a b a b 例例 5 5 试试证证: : 0aakkjjii. . 证证 只证只证0 aa， 因为， 因为 a与与 a平行 （即共线）平行 （即共线） , ,所以其夹角所以其夹角0或或 , ,从而从而0sin, ,因此因此 0sin|aaaa, , 而模为而模为0的向量为零向量的向量为零向量, ,所以所以 0 aa. . 定定理理 两两个个非非零零向向量量平平行行的的充充分分必必要要条条件件是是它它们们的的叉叉积积为为零零向向量量. . 设设123aaaaijk, ,123bbbbijk注注 意意 到到0aakkjjii, ,及及kji, ,ikj, ,jik应应用用叉叉积积的的运运算算规规律律可可得得 2 33 23 11 31 22 1()()()a ba ba ba ba ba babijk. . 为为了了便便于于记记忆忆, ,可可将将 ba表表示示成成一一个个三三阶阶行行列列式式, ,计计算算时时, ,只只需需将将其其按按第第一一行行展展开开即即可可， 即即 ba311321bbbaaakji. . 解解 a b320121kji 2021) 1(3011) 1(3212) 1(312111kji kji238 . . 例例 7 7 求求同同时时垂垂直直于于向向量量368aijk及及 x轴轴的的单单位位向向量量. . 解解 因因为为kjia863, ,kjii001, , 所所以以, ,同同时时垂垂直直于于 a和和 x轴轴的的单单位位向向量量 |)863(|iaikjiiaiac kjkj5354)68(101 即即为为所所求求的的两两个个单单位位向向量量. . 解解 因因为为kjiF32从从支支点点 B到到作作用用点点 A的的向向量量 (3 1)(1 ( 2)( 1 3)234BAijkijk 所所以以, ,力力F关关于于点点 B的的力力矩矩 234213BAijkMF = =kji)62()86()49(= =kji8145. . 例例 8 8 已知力已知力kjiF32作用于点作用于点) 1, 1 , 3(A处处, ,求此力求此力关于杠杆上另一点关于杠杆上另一点)3 , 2, 1 ( B的力矩的力矩. . 思思考考题题 1 1. .若若 a与与 b为为单单位位向向量量, ,则则ba是是单单位位向向量量吗吗？ 2 2. .验验证证： （1 1）cbacba)()(; ; （2 2）cbabcacba)()()(; ; （3 3）cacaa2|)(. . 第三节 平面与直线 一、平面的方程一、平面的方程 二、直线的方程二、直线的方程 三、两平面间、两直线间的位置关系三、两平面间、两直线间的位置关系 四、直线与平面的位置关系四、直线与平面的位置关系 第三节 平面与直线 平面的法向量平面的法向量: :设非零的向量设非零的向量 n垂直于平面垂直于平面 , ,则称则称 n为平面为平面 的法向量的法向量. . 问问题题：设设平平面面 过过点点 0M),(000zyx, , n= =CBA,为为其其一一法法向向量量, ,求求平平面面 的的方方程程. . 设点设点M),(zyx是平面是平面 上任意一点上任意一点, ,则则0M M在平在平面面 上上, ,由于由于n, ,所以所以00M M n, ,而而, ,A B Cn， 0000,M Mxxyy zz . . 故故 0)()()(000zzCyyBxxA ( (1 1) ) 一、平面的方程一、平面的方程M 0 M n z O x y z O x y A B C 由于平面由于平面 上任意一点上任意一点M的坐标都满足方程的坐标都满足方程( (1)1), ,而而不在平面不在平面 上的点上的点M的坐标都不满足方程的坐标都不满足方程( (1).1).因此因此, ,方程方程( (1)1)即是所求的平面即是所求的平面 的方程的方程. .此方程称为平面的点法式此方程称为平面的点法式方程方程. . 例例 1 1 求求由由点点) 1 , 0 , 0(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (CBA所所确确定定的的平平面面方方程程. . 解解 向量向量 110101AB ACijknijk与平面与平面垂直垂直, ,是它的一个法向量是它的一个法向量. . 过过点点)0 , 0 , 1 (A, ,且且以以kjin为为法法向向量量的的平平面面方方程程为为 0)0(1)0(1) 1(1zyx, , 整整理理得得 1zyx. . 2 2. .平平面面的的一一般般式式方方程程 过点过点),(0000zyxM, ,且以且以 nA,B,C为法向量的点为法向量的点法式平面方程法式平面方程 0)()()(00zzCyyBxxA 整理得整理得 0DCzByAx (2) (2) 即平面即平面 的方程的方程( (1 1) )可以写出形如式可以写出形如式( (2 2) )的三元一次方的三元一次方程程. . 反反过过来来, ,设设给给定定三三元元一一次次方方程程0DCzByAx，点点),(000zyx的的坐坐标标为为方方程程( (2 2) )的的一一组组解解, ,代代表表一一平平面面方方程程. .称称方方程程( (2 2) )为为平平面面的的一一般般式式方方程程. . 例例 2 2 求过点求过点) 1 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 0(21BBO的平面方程的平面方程. . 解解 点点) 1 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 0(21BBO不在一直线上不在一直线上, ,所以所以, ,这三点惟一确定一平面这三点惟一确定一平面, ,令所求平面方程为令所求平面方程为 0DCzByAx 将将三三点点坐坐标标分分别别代代入入上上式式得得 011001000000DCBADCBADCBA (1),(2),(3), 由由方方程程( (1 1) )得得0D, ,再再由由( (2 2) )的的0C再再将将0, 0DC代代入入方方程程)3(知知0B, ,于于是是得得0Ax)0(A即即 0 x为为所所求求平平面面方方程程，且且yOz面面的的方方程程即即为为 0 x. . 例例 3 3 试写出与试写出与yOz面平行面平行, ,且过且过 x轴上的点轴上的点 )0 , 0 , 1 (的平面方程的平面方程. . 解解 因因为为 x轴轴垂垂直直于于yOz面面, ,所所以以, , x轴轴上上的的单单位位向向量量 i 可可作作为为与与yOz面面平平行行的的平平面面的的法法向向量量 n，即即 0 , 0 , 1 in，所以，过点，所以，过点 )0 , 0 , 1 (,且以且以 )0 , 0 , 1 (为法为法向量的平面方程为向量的平面方程为 0)0(0)0(0) 1(1yxx, 整理得整理得 1x, 即即 1x表示过点表示过点 )0 , 0 , 1 (且与且与yOz面平行的平面方程面平行的平面方程. z O x y 2 z O x y 1 z O x y 1 1 A B C c a b z O x y 例例 4 4 描描绘绘出出下下列列平平面面方方程程所所代代表表的的平平面面： 1 1. . 直直线线的的点点向向式式方方程程 直直线线的的方方向向向向量量：设设非非零零向向量量 s平平行行于于直直线线 L, ,则则称称s为为直直线线 L的的方方向向向向量量. . 问题：设直线问题：设直线 L过点过点),(0000zyxM并且并且 m,n,ps为其一方向向量为其一方向向量, ,求直线求直线 L的方程的方程. . 设点设点),(zyxM为直线为直线 L上任一点上任一点, ,由于由于0M M在直在直线线 L上上, ,所以所以0/M M s, ,即即 0M Mts ( ( t为实数为实数),), 而而 0000,M Mxxyy zz. . 二、直线的方程二、直线的方程因因此此, ,有有 000,xxtmyytnzztp 即即000,xxmtyyntzzpt ( (3 3) ) 因因为为直直线线 L上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足式式( (3 3) ), ,而而不不在在直直线线 L上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足式式( (3 3) ), ,所所以以式式( (3 3) )是是直直线线 L的的方方程程, ,并并称称式式( (3 3) )为为直直线线的的参参数数方方程程, ,其其中中 t为为参参数数. . 在在式式( (3 3) )中中, ,消消去去参参数数 t, ,即即有有 pzznyymxx000 , , ( (4 4) ) 式式( (4 4) )中中),(000zyx是是直直线线 L上上已已知知点点, ,pnm是是 L的的方方向向向向量量, ,因因此此, ,式式( (4 4) )称称为为直直线线 L的的点点向向式式方方程程. . 说明说明：因为：因为0s, ,所以所以pnm,不全为零不全为零, ,但当有一个但当有一个为零为零, ,例如例如0m时时, ,式式( (4 4) )应理解为应理解为 0000,xxyyzznp 当有两个为零时当有两个为零时, ,例如例如0 nm, ,式式( (4 4) )应理解为应理解为 000,0.xxyy 例例 5 5 求求过过两两点点)3 , 2 , 3(),1 , 1 , 1 (21MM的的直直线线 L的的方方程程. . 解解 直直线线L的的方方向向向向量量 123 1,2 1,3 1M M s2 , 1 , 2, 因因此此, ,过过点点) 1 , 1 , 1 (1M, ,且且以以2 , 1 , 2s 为为方方向向向向量量的的直直线线 L的的方方程程为为 211121zyx. . 2 2直直线线的的一一般般式式方方程程 空间直线也可看作两平面的交线空间直线也可看作两平面的交线, ,所以可用这两个所以可用这两个平面方程的联立方程组来表示直线方程平面方程的联立方程组来表示直线方程, ,即即 111122220,0,A xB yC zDA xB yC zD ( (5 5) ) 由于两平面相交由于两平面相交, ,故式故式( (5 5) )中的中的111,CBA与与222,CBA不不成比例成比例( (即法向量即法向量1111,A B Cn与与2n222A ,B ,C不平不平行行),),称式称式( (5 5) )是直线是直线 L的一般式方程的一般式方程. . 例例 6 6 写出直线写出直线 L: :2330,3250 xyzxyz的点向式方程的点向式方程 . . 解解 先在直线先在直线 L: :2330,3250 xyzxyz上选取一点上选取一点, ,为为此此, ,令令0z, ,得得23,35,xyxy 解之得解之得2, 1yx, ,即点即点)0 , 2, 1(0M为直线为直线 L上的一个点上的一个点. . 直直线线L的的方方向向向向量量 2, 1 , 33 , 2, 1s= =213321kji = =kji711 , , 则则直直线线L的的点点向向式式方方程程为为 7011211zyx. 例例7 7 设设平平面面1的的方方程程为为0122zyx, ,平平面面 2的的方方程程为为05 yx, ,求求1与与 2的的夹夹角角. . 解解 两两平平面面的的夹夹角角即即为为其其法法向向量量的的夹夹角角, ,设设 1的的法法向向量量为为1n, , 2的的法法向向量量为为 2n, ,则则 0 , 1, 1,2 , 1, 221nn, , 2222221210) 1(12) 1(202) 1() 1(12cosnnnn 22233, 即即 2arccos24为两平面为两平面 12 ,的夹角的夹角. . 两两平平面面间间的的位位置置完完全全由由其其法法向向量量决决定定, ,因因此此两两平平面面平平行行（垂垂直直）的的充充要要条条件件是是法法向向量量互互相相平平行行（垂垂直直） ；同同样样两两直直线线间间的的位位置置关关系系完完全全由由其其方方向向向向量量决决定定, ,因因此此, ,两两直直线线平平行行 （垂垂直直） 的的充充要要条条件件是是其其方方向向向向量量互互相相平平行行 （垂垂直直）. . 例例9 9 试试证证直直线线332211:1zyxL与与直直线线 235342:2zyxL 垂垂直直 . . 证证 因为因为1L的方向向量为的方向向量为3 , 2 , 11s, , 2L的方向向量的方向向量为为2, 5 , 42s, ,而而 )2(352)4(121ss41060 , , 所以所以21ss , ,21LL , ,证毕证毕. . 三、两平面间、两直线间的位置关系三、两平面间、两直线间的位置关系例例 1010 试 证 平 面试 证 平 面1 :25460 xyz与与2 :244110 xyz垂直；而垂直；而2与平面与平面311 :2202xyz平行平行. . 证证 因为因为 1的法向量的法向量4 , 5 , 21n, , 2的法向量的法向量4 , 4, 22n, , 3的法向量的法向量2 , 2, 13n, , 由于由于044)4(52221nn, ,所以所以21nn , ,即即12. . 又由于又由于 32nn 所以所以 32/nn, ,即即 32/. . 直直线线与与它它在在平平面面上上的的投投影影线线间间的的夹夹角角 ( (0 0 2) ), ,称称为为直直线线与与平平面面的的夹夹角角( (如如右右下下图图) ). .设设直直线线 L的的方方向向向向量量为为 s, ,平平面面 的的法法向向量量为为 n, ,向向量量 s与与 n间间的的夹夹角角为为 , ,则则2 ( (或或2) ), ,所所以以 |cos|sinnsns. n z O x y s L 四、直线与平面的位置关系四、直线与平面的位置关系例例 1 11 1 讨讨 论论 直直 线线 L: :36552zyx和和 平平 面面: :x151259 zy的的位位置置关关系系. . 解解 由于直线由于直线 L的方向向量的方向向量 3 , 5 , 2s，平面，平面 的法向量的法向量 5 , 9,15n， 所以， 所以, ,直线直线 L与平面与平面 的夹的夹角角 的正弦的正弦 sin| |s ns n= =2222222 155 ( 9)3 502531595 , , 所以所以, , 0, ,即直线即直线 L与平面与平面 平行或直线平行或直线 L在在平面平面 内内. .容易验证直线容易验证直线 L上上(0,2,6)(0,2,6)在平面在平面 上上. . 所以直线所以直线 L在平面在平面 上上. . 思考题思考题 1.1.写出下列平面方程：写出下列平面方程： （1 1）xOy平面； （平面； （2 2）过轴）过轴 z的平面；的平面； （3 3）平行与）平行与zOx的平面； （的平面； （4 4）与）与zyx,轴正向截距相轴正向截距相等的平面等的平面. . 2 2. .用一般式用一般式111122220,0A xB yC zDA xB yC zD表示空间直线的表示空间直线的表达式是否惟一表达式是否惟一, ,直线直线0,23xyxy与与0,230 xyxy有何关有何关系？系？ 第四节第四节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 二、母线平行于坐标轴的柱面二、母线平行于坐标轴的柱面 三、旋转曲面三、旋转曲面 四、二次曲面四、二次曲面 五、空间曲线及其在坐标面上的投影五、空间曲线及其在坐标面上的投影 第第四四节节 曲曲面面与与空空间间曲曲线线 定定 义义 如如 果果 曲曲 面面上上 每每 一一 点点 的的 坐坐 标标 都都 满满 足足 方方 程程0),(zyxF；而而不不在在曲曲面面上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足这这个个方方程程, ,则则称称方方程程0),(zyxF为为曲曲面面的的方方程程, ,而而称称曲曲面面为为此此方方程程的的图图形形. . 例例1 1 求求与与两两定定点点1(1,1,0)M，2(2,2,1)M等等距距离离的的点点的的轨轨迹迹方方程程. . 解解 设设),(zyxM为 轨 迹 上 的 点为 轨 迹 上 的 点 , , 按 题 意 有 ：按 题 意 有 ：12MMMM 写成坐标形式写成坐标形式, ,即即 222222(1)(1)(0)(2)(2)(1)xyzxyz 化简化简, ,得得 2227xyz 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念例例2 2 求球心在求球心在),(000zyx, ,半径为半径为R的球面方程的球面方程. . 解解 设定点设定点0M的坐标为的坐标为),(000zyx, ,则点则点),(zyxM在在以以0M为球心为球心, ,以以R为球半径的球面上的充要条件为为球半径的球面上的充要条件为 RMM0, , 即即 Rzzyyxx202020)()()(, , 两边平方两边平方, ,得得 2202020)()()(Rzzyyxx 经验证经验证， 上式就是以， 上式就是以),(0000zyxM为球心为球心, ,以以R为球半径的为球半径的球面方程球面方程. . 当当0000zyx时时, ,则得球心在坐标原点的球面方则得球心在坐标原点的球面方程为程为2222Rzyx. . 柱面： 直线柱面： 直线 L沿定曲线沿定曲线 C平行移动所形成的曲面称平行移动所形成的曲面称为柱面定曲线为柱面定曲线 C称为柱面的准线称为柱面的准线, ,动直线动直线 L称为柱称为柱面的母线面的母线. . L C L 二、母线平行于坐标轴的柱面二、母线平行于坐标轴的柱面1 1. . 圆圆柱柱面面方方程程 设设一一个个圆圆柱柱面面的的母母线线平平行行于于 z轴轴, ,准准 C线线是是 xOy平平面面上上以以原原点点为为圆圆心心, , R为为半半径径的的圆圆. .在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中, ,准准线线 C的的方方程程为为222Ryx, ,求求该该圆圆柱柱面面的的方方程程. . 在在圆圆柱柱面面上上任任取取一一点点),(zyxM, , 过过点点 M的的母母线线与与 xOy平平面面的的交交点点 )0 ,(0yxM一一定定在在准准线线 C上上, ,必必定定满满 足足方方程程222Ryx；反反之之, ,不不在在圆圆柱柱 面面上上的的点点, ,它它的的坐坐标标不不满满足足这这个个方方 程程, ,于于是是所所求求圆圆柱柱面面方方程程为为 222Ryx. . z O x y M 0 M 2.2.准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方程准线在坐标面上母线垂直于该坐标面的柱面方程 一般来说一般来说, ,如果柱面的准线是如果柱面的准线是 xOy面上的曲线面上的曲线 C, ,它在平面直角坐标系中的方程为它在平面直角坐标系中的方程为0),(yxf, ,那么那么, ,以以 C为准线为准线, ,母线平行于母线平行于 z轴的柱面方程就是轴的柱面方程就是0),(yxf. . 类似地类似地, ,方程方程0),(zyg表示母线表示母线平行于平行于 x轴的柱面轴的柱面. .方程方程0),(zxh表示母线平行于表示母线平行于 y轴的柱面轴的柱面. . 在空间直角坐标系在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行面方程，并且方程中缺哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴于哪一个坐标轴 . . 例例3 3 方方程程12222byax, ,12222byax, ,02,2 pyx分分别别表表示示母母线线平平行行于于 z轴轴的的椭椭圆圆柱柱面面、双双曲曲柱柱面面和和抛抛物物柱柱面面. .如如下下图图所所示示, ,由由于于这这些些方方程程都都是是二二次次的的, ,因因此此称称为为二二次次柱柱面面. . x y O z y O x z y O x z 旋旋转转曲曲面面：一一平平面面曲曲线线 C绕绕同同一一平平面面上上的的一一条条定定直直线线 L旋旋转转所所形形成成的的曲曲面面称称为为旋旋转转曲曲面面. .曲曲线线 C称称为为旋旋转转曲曲面面的的母母线线, ,直直线线L称称为为旋旋转转曲曲面面的的轴轴. . 坐坐标标面面上上曲曲线线绕绕坐坐标标轴轴旋旋转转所所成成的的旋旋转转曲曲面面方方程程 设设在在yOz平平面面上上有有一一条条已已知知曲曲线线 C, ,它它在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中的的方方程程是是0),(zyf, ,求求此此曲曲线线 C绕绕 z轴轴旋旋转转一一周周所所形形成成的的旋旋转转曲曲面面的的方方程程. . 在旋转曲面上任取一点在旋转曲面上任取一点),(zyxM, , 设这点是由母线上设这点是由母线上 点点), 0(111zyM 绕绕z轴旋转一定角度而得到轴旋转一定角度而得到. .于是于是 0),(22zyxf 反之反之，不在不在曲面曲面上上的的点点不不满足满足上上面面方程方程，此此方程方程为为旋转旋转曲面曲面方程方程. . O 1 O M ) , , 0 ( 1 1 1 z y M x y z 三、旋转曲面三、旋转曲面同同理理, , 曲曲线线 C绕绕 y轴轴旋旋转转的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 0),(22zxyf. . . 例例 4 4 求求由由yOz平平面面上上的的直直线线 )0(kkyz绕绕 z轴轴旋旋转转所所形形成成的的旋旋转转曲曲面面方方程程. . 解解 在在方方程程中中, ,把把y换换成成22yx 得得所所求求方方程程为为 22yxkz, , 即即 )(2222yxkz. . 此此曲曲面面为为顶顶点点在在原原点点, ,对对称称 轴轴为为z轴轴的的圆圆锥锥面面( (如如右右图图) ). . z x y O 1 1. .椭椭球球面面 方方程程 1222222czbyax )0, 0, 0(cba, , 所所表表示示的的曲曲面面称称为为椭椭球球面面, , cba,称称为为椭椭球球面面的的半半轴轴. . 二二次次曲曲面面：在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中, ,若若0),(zyxF是是二二次次方方程程, , 则则它它的的图图形形称称为为二二次次曲曲面面. . 截截痕痕法法：用用一一系系列列平平行行于于坐坐标标面面的的平平面面去去截截曲曲面面, ,求求得得一一系系列列的的交交线线, ,对对这这些些交交线线进进行行分分析析, ,从从而而把把握握曲曲面面的的轮轮廓廓特特征征, ,这这种种方方法法称称为为截截痕痕法法. . z x y O 四、二次曲面四、二次曲面当当ba 时时原原方方程程化化为为122222czayx，它它是是一一个个椭椭圆圆绕绕z轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转椭椭球球面面. .当当cba时时, ,原原方方程程化化为为 2222azyx ，它它是是一一个个球球心心在在坐坐标标原原点点, ,球球半半径径为为 a的的球球面面. . 2 2. .椭椭圆圆抛抛物物面面 方方程程22(0,0)22xyzpqpq所所表表示示的的曲曲面面称称为为椭椭圆圆抛抛物物面面. . 由由方方程程zqypx2222知知, ,z 0, , 故故曲曲面面在在xOy平平面面的的下下方方无无图图形形. . z x y O 方程方程1222222czbyax )0, 0, 0(cba所表示的曲面所表示的曲面称为单叶双曲面称为单叶双曲面. .方程方程1222222czbyax)0, 0, 0(cba所所表示的曲面称为双叶双曲面表示的曲面称为双叶双曲面. . O y x z z O x y 设曲面设曲面1的方程是的方程是0),(1zyxF, ,曲面曲面2的方程是的方程是0),(2zyxF, ,则交线则交线 C上的点必定同时满足上的点必定同时满足1, ,2的的方程方程. .不在不在C上的点一定不能同时满足这两个方程上的点一定不能同时满足这两个方程. .因此因此, ,联立方程组联立方程组 12( , , )0,( , , )0,F x y zF x y z 即为空间曲线即为空间曲线C的方程的方程, ,它称为空间曲线的一般式方程它称为空间曲线的一般式方程. . 空空间间曲曲线线的的参参数数方方程程 ( ),( ),( ),x