小学六年级数学校本教材 .pdf

学习必备欢迎下载六年级上册思维训练第一讲分数的巧算例题 1：计算：421+561+721+901+1101分析：观察该式的特征，发现421=761=61-71；561=871=71-81；因此可以把原式中的各数拆分成两个分数的差，使计算简便。解：421+561+721+901+1101=61-71+71-81+81-91+91-101+101-111=61-111=665例题 2：计算：27583+277125+245274分析：观察该式的特征发现，只要把后两个积的因数分子、分母互换，使每个积中都有275这个因数，再按乘法分配律进行计算。解：27583+277125+245274=27583+275127+275244=275（83+127+244）=2752427=245方法技巧：通过以上各题的解答， 我们不难发现， 在做较复杂的计算题时要认真观察式中的运算结构和数字特点，进行适当拆分、 结合，正确地运用学过的运算定律和性质进行适当变形，使计算过程变得简单、易于口算。练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页学习必备欢迎下载1、901+1101+1321+1561+18212、12101+14121+16141+181613、181+541+1081+1801+27014、501+1501+3001+5001+7501+105015、114157+117158+1131576、76253+732511+782537、1115379+3713119+118379精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页学习必备欢迎下载8、17121133-1761312+1331712第二讲盈亏问题例题 1：植树小组种树，如果每人种5 棵树，还剩下 5 棵树苗；如果每人种6 棵树，就缺少 4棵树苗。这个植树小组有多少人？这批树苗一共有多少棵？分析解答 ： 已知每人种 5 棵， 还剩下 5 棵树苗，也就是说树苗多出来了 （盈） ；如果每人种 6 棵， 就缺少 4 棵树苗， 树苗不够了（亏） 。 一“盈”一“亏”相差（5+4）棵，即如果按照第二种方法，可以比第一种办法多栽9 棵。这是由于每人多种（6-5）棵树苗。根据这两个差数的对应关系就可以求得植树小组的人数，然后再求得树苗的棵数。（5+4）（ 6-5）=9（人）59+5=50（棵）答：这个植树小组有 9 人，这批树苗一共有50 棵。例题 2：给住校生安排宿舍，每个房间住5 人，则缺 27 个床位；若每个房间住 7 人，则空出 9 个房间。求住校生人数与房间数。分析解答：题中条件有两层意思， 即两种安排方法。 解题的关键是先求出两种安排相差的人数和每个房间多住的人数。根据题意，每个房间住 7 人， 则空出 9 个房间，若都住满，还需增加 79=63（人） ，两种安排相差 27+63=90 （人） ，这是因为每个房间多住7-5=2（人） 。根据这两个差数的对应关系就可以求出房间数，然后再求出住校生人数（27+79）（ 7-5）=45（人）545+27=252 （人）或 7（45-9）=252（人）答：住校生有 252 人，房间有 45 个。练习：1、幼儿园给小朋友分苹果，如果每人分3 个，多 8 个苹果；如果每人分5个，那么就差 52 个苹果。小朋友有几人？苹果有多少个？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 40 页学习必备欢迎下载2、学校给住校的新生安排宿舍，每个房间住3 人，则多出 64 人；每个房间住 5 人，恰好安排好。房间有多少个？住校的新生有多少人？3、学校买来羽毛球若干个，平均分给各班。如果每班分6 个，还差 24 个；如果每班 4 个，刚好分完。学校买来羽毛球多少个？有多少个班？4、少先队员去植树，如果每人植5 棵，还剩 16棵；如果每人植 7 棵，还剩4 棵。参加植树的少先队员有多少人？共有树多少棵？5、猴子分桃子。每只小猴分5 个还多 46 个；每只小猴分 9 个，还多 6 个。这堆桃子有多少个？小猴有多少只？6、育新小学买来一批铅笔，奖给三好学生。如果每人奖5 枝，则差 2 枝；如果每人奖 7 枝，则差 98 枝。三好学生有多少人？学校共买铅笔多少枝？7、学校买来一批新书。如果每人借5 本，则少 125 本；如果每人借 3 本，则少 35 本。借书的学生有多少人？买来的新书有多少本？8、同学们去划船，如果每只船坐4 人，则少 3 只船；如果每只船坐6 人，还有 2 人留在岸上。问有多少个同学去划船？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 40 页学习必备欢迎下载第三讲循环小数例题 1：563可以化成循环小数，请问这个循环小数的小数点后第2008 位小数上的数字是几？分析：因为 56=2 2 2 7，所以563可以化成循环小数为0.053571428. 前 3位小数不循环，从第4 位小数开循环，其循环长度为6，循环节内序号与数字的对应关系为（ 1） 5， （2） 7， （3） 1， （4）4， （5）2， （6）8。解：563=0.053571428 （2008-3）6=3341 序号（ 1）所对应的数字是 5。答：第 2008 位上的数字是 5。例题 2： （1）试分别将分数71，72，73，74，75，76写成循环小数的形式。（2）观察分析这些循环小数的循环节，归纳出它们有哪些特点？解（1）71=0.142857 72=0.285714 73=0.428571 74=0.571428 75=0.714285 76=0.857142 （2）主要特点可归纳如下三条：六个循环节中数字相同，仅仅是位置的推移。把每个循环节看成六位数，都能被9 整除。每一个循环节的六个数字， 由前三位数字组成的三位数加上后面的三位数，和都是 999，即 142+857=285+714=428+571= =999 练习：1、写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立；0.6+0.06+0.006+ =20062、请在小数 1.1001203 的某位数上加一个循环点，使新产生的循环小数尽可能小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 40 页学习必备欢迎下载3、有 8 个数； 0.51，32，95，0.51，4724，2513是其中的 6 个。如果按从小到大的顺序排列，第4 个数是 0.51，如果按从大到小的顺序排列，第4 个数是。4、把71化成小数。（1）小数点后第 27 位是。 （2）小数点后第 1001位四舍五入，那么第 1000 位是。5、把811化成小数后，小数点后面1001位各位上的数字和是多少？6、把149化成小数后，小数点后第100位上的数字是。7、真分数7a化成小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是 2000，那么 a的取值是多少？8、真分数7a化成小数后，如果从小数点后第一位数字开始连续若干个数字之和是 2019，那么 a=。第四讲抓不变量解题例题 1：有两筐梨，乙筐是甲筐的53，从甲筐取出 5 千克梨放入乙筐后，乙精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 40 页学习必备欢迎下载筐的梨是甲筐的97。甲、乙两筐梨共重多少千克？分析：由于题中两筐梨的总重量没有变，我们把两筐梨的总重量看做“1”，则原来甲筐梨占总重量的355，后来甲筐梨占总重量的799。所以， 5 千克梨相当于总重量的（355-799） 。即 5（355-799）=80（千克）答：甲、乙两筐梨共重 80 千克。例题 2：有两段布，一段布长40 米，另一段布长 30 米，把两段布都用去同样长的一部分后。 发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的53，每段布用去多少米？分析： 题中两段布长度的差没有变。两段布用去前与用去后的长度差都是40-30=10 （米） 。10 米相当于长的一段布所剩米数的1-53=52，所以长的一段布所剩的米数是 1052=25（米） 。用去 40-25=15 米。40-（40-30）（1-53）=15（米）答：每段布用去 15 米。练习：1、学校一年级原来有少先队员是非少先队员的31，后来又有 39 名同学加入了少先队组织。这样， 少先队员的人数是非少先队员的87。 一年级有学生多少人？2、王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的191，后来从合格产品中又发现 2 个不合格产品，这时算出产品合格率是94% 。合格产品共有多少个？3、六（1）班参加数学兴趣小组的人数是没有参加数学兴趣小组的21，后来又有 6 人加入了数学兴趣小组， 这样参加的人数是未参加人数的54。这个班共有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 40 页学习必备欢迎下载多少人？4、学校红墨水的瓶数占红、黑墨水总数的94。后来又买进 60 瓶红墨水，这时红墨水的瓶数占红、黑墨水总数的116。这个学校现有红、黑墨水的总数是多少瓶？5、阅览室看书的同学中，女同学占53，从阅览室走出4 位女同学后，看书的同学中，女同学占95，原来阅览室里一共有多少名同学在看书？6、有两根绳子，一根长80 米，另一根长 40 米。如果从两根绳上各剪去同样长的一段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的72，两根绳各剪去多少米？7、 今年父亲 40 岁， 儿子 12岁，当儿子的年龄是父亲的125时，儿子多少岁？8、仓库里原来存的大米和面粉袋数相等，运出 800袋大米和 500 袋面粉后，仓库里所剩下的大米袋数是面粉的43，仓库里原有大米和面粉各多少袋？第五讲倒推法解题例题 1：筑路队修一条路，第一天修了全长的51又 100 米，第二天修了余下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 40 页学习必备欢迎下载的72，还剩 500 米，这段路全长多少米？分析： 从“还剩500 米”入手倒着往前推，它占余下的 1-72=75，第一天修后余下 50075=700 米，如果第一天正好修全长的51，还余下 700+100=800 米，这 800 米占全长的 1-51=54，这段路全长是 80054=1000 米。列式：500 （1-72）+100（1-51）=1000（米）答：这段路全长 1000 米。例题 2：有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出31给乙桶后，又从乙桶中倒出51给甲桶，这时两桶油各有24 千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？分析： 从最后结果出发倒推，甲、乙两桶油共有24 2=48 千克，当乙桶没有倒出51给甲桶时， 乙桶内有油 24 （1-51）=30 千克。这时甲桶只有 48-30=18千克，而甲桶已倒出了31给乙桶，可见甲桶原有的油为18（ 1-31）=27 千克，乙桶原有的油为 48-27=21 千克甲：24 2-24（1-51） （1-31）=27（千克）乙：242-27=21（千克）答：甲桶原有油 27 千克，乙桶原有油 21 千克。练习：1、修一条路，第一天修了全长的52又 16 米，第二天修了余下的43，还剩41 米，公路全长多少米？2、一堆煤，上午运走72，下午运的比余下的31还多 6 吨，最后剩下 14 吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？3、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的31又 2 公顷，第二天耕的比余下的21多 3 公顷，还剩下 35 公顷，这块地共有多少公顷？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 40 页学习必备欢迎下载4。 、一批水泥，第一天用去了21多 1 吨，第二天用去了余下的31少 2 吨，还剩下 16 吨，原来这批水泥有多少吨？5、小华拿出自己邮票的51给小刚，小刚再从自己现有的画片中拿出41给小华，这时两人各有画片12 张。原来两人各有画片多少张？6、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出51给乙后，乙又拿出41给甲。这时他们各有 90 元，他们原来各有多少元？7、有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出41给乙桶后，又从乙桶中倒出41给甲桶，这时两桶油各有 90 千克，原来甲、乙两桶各有多少千克油？8、有一筐桔子，小明和弟弟第一天吃了31，第二天吃了余下的31，第三天又吃了余下的31，筐里还有 8 个，原来筐里有多少个桔子？第六讲圆的面积例题 1：求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 。思路导航： 如图所示的特点，阴影部分的面积可以拼成一个1/4 圆的面积，如图示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 40 页学习必备欢迎下载623.14 41=28.26（平方厘米）答：阴影部分的面积是 28.26 平方厘米。例题 2：求图 1 中阴影部分的面积（单位：厘米） 。（1）（2）思路导航： 阴影部分通过翻折移动位置后，构成了一个新的图形（如图2所示） ，从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一半。3144241-4 422=8.56( 平方厘米 ) 答：阴影部分的面积是 8.56 平方厘米。练习：1、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）3、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 40 页学习必备欢迎下载4、求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。5、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。6、如图所示，直径BC=8厘米， AB=AC,D 为 AC的中点，求阴影部分的面积。7、如图所示， AB=BC=8 厘米，求阴影部分的面积。8、如图所示，圆的周长为12.56 厘米， AC两点把圆周分成相等的两段弧，阴影部分（ 1）与阴影部分（ 2）的面积相等，求平行四边形ABCD 的面积。第七讲浓度问题例题 1：有含糖量为 7% 的糖水 600 克，要使其含糖量加大到10% ，需要再加入多少克糖？思路导航： 根据题意，在 7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 40 页学习必备欢迎下载原来糖水中的水的质量： 600（ 1-7%）=558（克）现在糖水的质量： 558（ 1-10%）=620（克）加入糖的质量： 620-600=20 （克）答：需要再加入 20 克糖。例题 2：一种 35% 的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为 35% 的农药加多少千克水，才能配成1.75%的农药 800 千克？思路导航： 把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中，溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。800 千克 1.75% 的农药中含纯农药的质量为800 1.75%=14 （千克）含 14 千克纯农药的 35%的农药质量为14 35%=40 （千克）由 40 千克农药稀释为800 千克农药应加水的质量为800-40=760 （千克）答：用 40 千克浓度为 35%的农药添加 760 千克的水，才能配成浓度为1.75% 的农药 800 千克。练习：1、现在有浓度为 20% 的糖水 300 克，要把它变成浓度为40% 的糖水，需要加糖多少克？2、有含盐 15% 的盐水 20 千克，要使盐水的浓度为20% ，需加盐多少千克？3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200 毫升清水，乙瓶里装了200 毫升的纯酒精。第一次把 20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶， 第二次把甲瓶中20毫升的溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 40 页学习必备欢迎下载4、在 20% 的盐水中加入 10 千克水，浓度为15% 。再加入多少千克盐，浓度为 25% ？5、用含氨 0.15%的氨水进行油菜追肥。现有含氨16% 的氨水 30 千克，配制时需加水多少千克？6、仓库运来含水量为90% 的一种水果 100 千克。一星期后再测，发现含水量降低到 80% 。现在这批水果的质量是多少千克？7、一容器内装有 10 升纯酒精，倒出 2.5 升后，用水加满；再倒出5 升，再用水加满。这时容器内溶液的浓度是多少？8、在 100 千克浓度为 50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液就可以配制成25%的硫酸溶液？第八讲鸡兔同笼问题例题 1：现有 5 元、2 元、1 元的三种人民币500张，共计 1400元。已知 5元和 1 元的张数相同。问这三种人民币各有多少张？分析解答 ：因为 5 元和 1 元的张数相同，看成一种（5+1）元的。假设 500张都是 2 元的，共有 2 500=1000 （元），比实际 1400 元少 400 元。这是因为把 5 元和 1 元的都当做 2 元计算了。拿 2 张 2 元换成 5 元和 1 元各 1 张，每换2 张多 5+1-2 2=2（元），因此 5 元和 1 元的各有 400 2=200 （张）。 2 元人民币有 500-200 2=100（张）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 40 页学习必备欢迎下载综合算式 ：（1400-2500）（ 5+1-22）=200（张）（ 5 元和 1 元各有的张数）500-2002=100（张）（ 2 元张数）答：5 元和 1元人民币各有 200张，2 元人民币有 100 张。例题 2：小明计算 20 道数学竞赛题， 做对一道题得 5 分，做错一道题倒扣3分，结果小明得了60 分。问他做对了几道题？分析解答 ：做对一道竞赛题可得5 分，如果小明 20 道竞赛题全对，可得5 20=100 （分），实际他只得了60 分，少得了 100-60=40 （分），这说明小明做错了一部分题。做错一题不仅得不到5 分，反而要倒扣 3 分，也就是做错一题少得 5+3=8（分），由此可求出小明做错的题目数是40 8=5（道），做对了20-5=15 （道）。综合算式 ：20-（520-60）（ 5+3）=15（道）答：小明做对了 15 道题。练习：1鸡兔同笼，共有 30 个头， 88 只脚。求笼中鸡兔各有多少只？2鸡兔同笼，共有头48 个，脚 132 只，求鸡和兔各有多少只？3一个饲养组一共养鸡、兔78 只，共有 200 只脚，求饲养组养鸡和兔各多少只？4鸡兔同笼不知数， 三十六头笼中露。 数清脚共五十双， 各有多少鸡和兔？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 40 页学习必备欢迎下载5小明用 10 元钱正好买了 20 分和 50 分的邮票共 35 张，求这两种邮票名买了多少张？6小红用 13 元 6 角正好买了 50 分和 80 分邮票共计 20 张，求两种邮票各买了多少张？7小刚的储蓄罐里共2 分和 5 分硬币 70 枚，小刚数了一下，一共有194分，求两种硬币各有多少枚？8三年一班 30 人共向北京奥运会捐款205 元，同学每人了捐了5 元或 10元，你知道捐 5 元和 10 元的同学各有多少人吗？综合练卷（一）1、531+751+971+999712、41+281+701+1301+2081精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 40 页学习必备欢迎下载3、小红三天看完一本书，第一天看了全书的41，第二天看了余下的52，第二天比第一天多看了 15 页，这本书共有多少页？4、某工厂有三个车间，第一车间的人数占三个车间总人数的25% ，第二车间的人数是第三车间的43。已知第一车间比第二车间少40 人，三个车间一共有多少人？5、学校六年级三个班植树，一班植树的棵数占三个班总棵数的51，二班与三班植树棵数的比是 3：5，二班比三班少植树40棵，这三个班各植树多少棵？6、牛的头数比羊的头数多25% ，羊的头数比牛的头数少百分之几？7、小红的彩笔枝数是小刚的21，两人各买 5 枝后，小红的彩笔枝数是小刚的32，两人原来各有彩笔多少枝？8、6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数？9、一杯糖水，其中糖占25% ，再放入 15 克水后，糖占 20% ，这杯糖水中糖有多少克？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 40 页学习必备欢迎下载10、三（1）班上学期男生占137，这学期转进 6 名女生后，男生就只占21了，这个班现有女生多少人？11、甲、乙、丙、丁四个筑路工人共筑1200 米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的21，乙队筑的路是其他三个队的31，丙队筑的路是其他三个队的41，丁队筑了多少米？12、求阴影部分的面积（单位：厘米）13、两个圆的周长和是94.2 厘米，已知大圆的半径是小圆半径的4 倍，求这两个圆的面积各是多少平方厘米？14、一桶油，第一次用去它的51，第二次比第一次多用去20kg，还剩 16kg，这桶油有多少千克？15、一张桌子 32 元，一把椅子 13 元。现买桌子和椅子共40 件，付款 786 元。问买桌子多少张？椅子多少把？16、鸡和兔共有脚 44 只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。问：鸡、兔各有多少只？4 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 40 页学习必备欢迎下载17、有鸡、兔共 100 只，鸡脚比兔脚多80 只，问鸡、兔各有多少只？18、用 25 根长度分别为 8 米和 5 米的两种规格的管子铺一段170 米的管道，两种管子各用多少根最合理？19、有浓度是 10% 的盐水 500 克，放了一天，水份蒸发掉50 克，这时盐水的浓度是多少？20、用含氨 0.15%的氨水进行油菜追肥， 现有含氨 20% 的氨水 30 千克，配制时需要加水多少千克？六年级下册思维训练第一讲最大最小问题例题 1：a 和 b 是小于 100 的两个不同的自然数，求baba的最大值。思路导航： 根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能的小。所以b=1；由 b=1 可知，分母比分子大 2，也就是说， 所求的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99。baba的最大值是199199=10098=5049答：baba的最大值是5049精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 40 页学习必备欢迎下载例题 2：有甲、乙两个两位数，甲数的72等于乙数的32。这两个两位数的差最多是多少？思路导航： 甲数乙数 =3272=7 3，甲数是 7 份，乙数是 3 份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4 份，所以，甲、乙两数的差是 14（ 7-3）=56。答：这两个两位数的差最多是56。练习：1、设 x 和 y 是选自前 100 个自然数的两个不同的数，求yxyx的最大值。2、a 和 b是小于 50的两个不同的自然数，且ab，求baba的最小值。3、x 和 y 是选自前 200 个自然数的两个不同的数，且xy，求yxyx的最大值；求yxyx的最小值。4、有甲、乙两个两位数，甲数的103等于乙数的54。这两个两位数的差最多是多少？5、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的65恰好等于乙数的41，那么甲、乙两数的和最小是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 40 页学习必备欢迎下载6、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做 48 个、32 个、28 个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？7、连续 7 个偶数的和是 196，这七个数中最小的一个偶数是多少？8、长方体的所有棱长之和为48 厘米，当长方体的长、 宽、高分别为多少时，体积最大？第二讲行程问题例题 1：一辆汽车从甲地开往乙地，行驶252小时后，离乙地还有96 千米，已知它 4 小时可行完全程，两地的距离是多少？分析解答 ：由题意可知，行96 千米需 4-252=153（小时） 。因为速度一定，时间的比即为路程的比， 由此求出剩下的路程为全程的153 4=52， 再用 9652即可求解解：96 （4-252）4 =96 1534 =96 52 =240 （千米）答：两地的距离是 240 千米。想一想 ：96（4-252）4 正确吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 40 页学习必备欢迎下载例题 2：甲、乙两车从相距470 千米的两城相向而行，甲车每小时行38 千米，乙车每小时行40 千米，乙车先出发2 小时，甲车才出发，甲车开出几小时后与乙车相遇？分析解答： 先从 470 千米里去掉乙车单独行2 小时的路程，然后按“相遇时间=相遇路程速度和”求解。解： （470-402）（ 38+40）=39078 =5（小时）答：甲车开出 5 小时后与乙车相遇。练习：1、龟兔赛跑，全程 2000 米，龟每分爬 25 米，兔每分跑 325 米；兔自以为能得第一，途中睡了一觉，结果龟到在终点时，兔离终点还有700米，兔睡了几分？2、客货两车从甲、乙两地同时相向而行，客车行全程要3 小时，货车每小时行 60 千米，行了 72 千米遇上客车，求甲、乙两地距离？3、美羊羊开车去看音乐会，以每小时12千米的速度， 2 小时可以到达。车行了 15 分后，发现忘带入场劵，以原速返回家，这时，它以每小时多少千米的速度才能按时到达？4、一辆汽车从甲地开往乙地，每分行525 米，预计 40 分钟到达，但行到一半路程时，汽车发生故障，用5 分钟修理完毕。如果仍需在预定时间到达，行驶余下的路程每分需比原来快多少？5、甲、乙两人同时从A、B两地相对而行，甲每小时行12 千米，乙每小时行 10 千米，两人在距中点3 千米处相遇。 A、B两地相距多少千米？6、一辆轿车和一辆时速比它慢20千米的卡车， 分别从甲、 乙两地同时相对开出，行驶 2 小时后，两车还相距全程的61，轿车这时已到中点，求两地距离。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页学习必备欢迎下载7、两列火车，甲车长60 米，每秒行 10 米，乙车长 40 米，每秒行 15 米，两车从相遇到离开需要几秒？8、甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站，甲车每小时比乙车多行12 千米，甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距西站31.5千米的地方与乙车相遇，甲车每小时行多少千米？第三讲工程问题实际生活中，经常遇到这样一类问题： “某一件工作中，甲单独完成需要若干天，乙单独完成需要若干天，问甲、乙合做这件工作，需要多少天完成。”这一类问题，我们称之为工程问题。工程问题中有三个基本量，一个是工作量，另外两个分别是工作效率和工作时间。工作量 =工作效率时间。这一关系式是工程问题的基本关系式。例题 1：有一项工作，单独做甲需要6 天完成，乙需要 30 天完成。 （1）甲、乙合做需要几天完成？（2）如果甲先做了3 天，乙才参加，乙参加进来后几天完成这项工作？（ 3）如果甲、乙合做这项工作，但是中途甲休息了一天，完成这项工作用了几天时间？解： （1）因甲单独做 6 天完成这项工作，所以甲的工作效率为61，同样乙的工作效率为301甲、乙两人合做的工作效率就应为61+301=51。所以甲、乙合做需要的天数为151=5（天）（2）甲先做 3 天，完成的工作量为613，剩余工作量为 1-613。甲、乙合做完成剩余工作所用的时间应为 （1-613） （61+301） =2151=221（天）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 40 页学习必备欢迎下载（3）甲、乙共同工作，但甲中途休息了一天。可以这样考虑：假设甲不休息，那么甲、乙两人完成的总的工作量为1+61=67，因此完成这件工作所花费的时间应为（1+61）（61+301）=635=565（天） 。例题 2：甲、乙两台不同的拖拉机合耕一块地共需要10 小时。在共同工作了 4 小时后，甲拖拉机发生故障，由乙单独又耕了18 小时才完成。甲、乙两台拖拉机单独耕这块地各需要多少小时？分析：题目要求甲、 乙两台拖拉机单独耕这块地所需要的时间，实际上是要求甲、 乙两台拖拉机工作效率。 由已知条件知甲、乙两台拖拉机工作效率和为101，因此只需先求出乙的工作效率。为此，我们将工作时间分为两阶段考虑，第一阶段为甲、乙合耕，第二阶段为乙单独耕，设法利用已知条件求出乙的工作效率。解：因甲、乙合耕 10 小时可完成，所以甲、乙两台拖拉机工作效率的和为110=101。甲、乙合耕了 4 小时，完成的工作量为1014=104=52，剩下工作量为 1-52=53。剩下工作由乙 18 小时完成，所以乙的工作效率为538=301。甲的工作效率为101-301=151。因此乙单独耕这块地需要1301=30（天）甲单独耕这块地需要1151=15（天）练习：1、有一桶水，小明一人可饮14 天，若和小丽同饮可饮用10 天。若小丽独自一人可饮用几天？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页学习必备欢迎下载2、甲、乙两队挖河，甲队单独挖8 天可完成，乙队单独挖12 天可完成。现在两队同时挖几天后乙队调走，余下的甲队3 天完成。乙队挖了多少天？3、有一条公路，甲队修 10 天可完成，乙队修 12 天可完成，丙队修 15 天可完成。现在三队合修， 但中途甲队调到另外的工地，结果共花了 6 天才把公路修完。甲队调走后，乙、丙两队又合修了多少天？4、某工程由甲单独做40 天，再由乙单独接着做15 天可以完成。如果甲、乙两人合做需要 30 天完成。现在甲先单独做20 天，然后再由乙单独接着做， 还需要多少天才能完成？5、一项工程，甲队单独做要20 天完成，乙队单独做要12 天完成。已知这项工程先由甲队做了若干天， 然后由乙队继续完成， 从开始到完成共用了14 天。那么甲队先做了几天？6、有甲、乙两件工作，小张单独完成甲工作需10 天，单独完成乙工作要15 天。小王单独完成甲工作要3 天，单独完成乙工作要20 天。如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？7、加工一批零件，甲、乙两人合做1 小时，完成了这批零件的6611，乙、丙两人接着加工 1 小时，又完成了203，甲、丙又合做了2 小时，完成了31。剩下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 40 页学习必备欢迎下载的任务，甲，乙，丙三人合做还要多少小时？8、 一个水池有两根进水管和一根出水管。 进水管甲 12小时可将水池注满水，进水管乙 20 小时可将水池注满水， 出水管 15 小时可将小池的水放完。 三管同时打开，多少小时可以将水池注满水？第四讲圆柱与圆锥例题 1：有一个圆柱体的零件，高12 厘米，底面直径是 8 厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图所示。圆孔的直径是6 厘米，孔深 7 厘米。如果将这个零件按触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？分析：这个零件接触空气部分， 我们既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面， 同时还要注意零件的底面是圆环。由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面要涂上油漆，这一点不能忽略。 但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，这就成了原圆柱体的底面。解：涂漆面积为：3.14 （28）2+3.14812+3.1467 =3.14（32+96+42 ）=3.14170 =533.8（平方厘米）答：涂油漆面积是 533.8 平方厘米。例题 2：在一只底面直径是40 厘米的圆柱形水缸里，有一个直径是10 厘米的圆锥形铸件完全浸于水中， 取出铸件后，缸里的水下降 0.5 厘米。求铸件的高。分析：这道题关键是要理解下降部分水的体积，就是铸件的体积。解： （1）下降部分水的体积：3.14 （240）20.5=628（立方厘米）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 40 页学习必备欢迎下载（2）铸件的高：62833.14 （210）2=24（厘米）答：铸件的高是 24 厘米。练习：1、如图所示的一个零件，上端是一个高为8 厘米，底面半径为2 厘米的圆柱体；下端是一个高为3 厘米的圆锥体。求这个零件的体积。2、如图所示是一个棱长为40 厘米的正方体形零件， 它的上、下两个面各有一个直径为 4 厘米的圆孔，孔深为10 厘米。求这个零件的表面积。3、有两个圆柱形的油桶，形体相似（即底面半径与高的比值相同），尺寸如图所示。两个油桶都装满了油， 如果小的一个装了3 千克油，问大的一个装了几千克油？4、一个圆柱体的侧面积是8 平方厘米，底面半径是2 厘米。它的体积是多少立方厘米？5、一个底面直径为 20 厘米的圆柱形容器中装着水， 水中放置一个底面半径是 9 厘米、高为 20 厘米的铁质圆锥体。当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？6、一个圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如图所示。已知一个剖面的面积是100 平方厘米，半圆柱的体积为301.44 立方厘米。求原来钢材的侧面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 40 页学习必备欢迎下载7、用直径为 20 厘米的圆钢，锻造长 300 厘米、宽 100厘米、厚 5 厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长？（精确到0.1 厘米）8、如图所示，求这一物体的体积。 （单位：厘米）第五讲比例的应用例题 1：飞机 4 小时共飞行 1760 千米，用同样的速度从甲城飞往乙城，共飞行 7 小时，甲、乙两地相距多少千米？分析解答：因为时间路程=速度，已知飞机飞行的速度一定， 所以路程和时间成正比例。解：设甲、乙两城相距 x 千米。41760=7x4x=17607 x=3080 答：甲、乙两城相距3080 千米。例题 2：一列火车从甲城开往乙城每小时行50 千米，4.8 小时可以到达。 如果速度加快 20% ，可以提前几小时到达？分析解答：因为“速度时间 =路程（一定） ”，所以火车行驶的速度和时间成反比例。解：设可以提前 x 小时到达50 （1+20% ） （4.8-x ）=504.8 501.2 (4.8-x)=504.8 4.8-x=4 x=0.8 答：可以提前 0.8 小时到达。练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 40 页学习必备欢迎下载1、一个施工队安装一条长660 米的水管，前 6 天安装了 264 米，照这样计算，装好这条水管还要多少天？2、某车间用电锯把一根长4 米的圆钢锯成 80 厘米一段，需要40分种，如果改锯成