2022年高一数学人教新课标专题 .pdf

高一数学人教新课标专题3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2 高一数学人教（新课标）专题三简易逻辑一、知识概述逻辑联结词、四种命题及充分条件与必要条件理解逻辑联结词“ 或” 、“ 且” 、“ 非”的含义， 理解并掌握四种命题及其相互关系，掌握充分条件与必要条件，关键是要掌握关于充要条件的判断掌握反证法。二、重难点知识的归纳与剖析1“ 或” 、“ 且” 、“ 非” 这些词叫做逻辑联结词不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题或、且、非是三种最基本的逻辑联结词课本给出了三种简单的复合命题“p 且 q” ，“p 或 q” 和“ 非 p” 的真值表2四种命题的形式是原命题：若p 则 q，逆命题：若q 则 p 否命题：若则，逆否命题：若则四种命题之间的相互关系3一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下三条关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 3 例如，原命题 “ 若 a=0，则 ab=0” 是真命题，它的逆命题“ 若 ab=0，则 a=0” 是假命题（2）原命题为真，它的否命题不一定为真例如，原命题 “ 若 a=0，则 ab=0” 是真命题，它的否命题“ 若 a0 ，则 ab0” 是假命题（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真例如，原命题 “ 若 a=0，则 ab=0”是真命题，它的逆否命题“ 若 ab0 ，则 a0” 是真命题4从逻辑推理关系上看（1）若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充分而不必要条件；（2）若 qp 且 pq，则 p 是 q 的必要而不充分条件；（3）若 pq 且 qp（或 pq 且pq）则 p 是 q 的充要条件；（4）若 pq 且 qp，则 p 既不是 q 的充分条件也不是q 的必要条件。从集合与集合之间关系上看（1）若 AB，则 A 是 B 的充分条件；（2）若 AB，则 A 是 B 的必要条件；（3）A=B ，则 A 是 B 的充要条件；（4）若 AB 且 BA，则 A 既不是 B 的充分条件，也不是B 的必要条件。三、难点知识剖析1对反证法的理解反证法的理论根据是：原命题为真，则它的逆否命题也为真.在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立. 用反证法证明命题的一般步骤是第一步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 一般地来说，在什么条件下(或问题中 )想到用反证法来证明，下面提供几种情形作为参考 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 4 第一，问题共计有n 种情况， 现要证明其中一种情况成立时，可想到用反证法证明把其他的n-1 种情况都排除，从而确定这种情况成立. 如要证明两条直线相交，可用反证法证明这两条直线平行不成立，因为在同一平面内，两条直线的位置关系是平行或相交，平行不成立，那么间接的证明两条直线相交；第二，命题用否定形式叙述的，如证明 2 不是方程 2x+1=0 的根，可用反证法证明，假设 2 是方程 2x+1=0 的根，则 2 2+1 应等于 0，而 2 2+1=5，产生矛盾，从而确定2不是方程 2x+1=0 的根成立；第三，命题用 “ 至少” 的字样叙述时，可用反证法证明，如证明ab，bc 至少有一个成立，那我们可用反证法证明如下：假设ab，bc 都不成立，即a=b 且 b=c，从这一条件出发推得矛盾，故a=b，且 b=c 不成立，因此， ab ，bc 至少有一个成立；第四，当命题成立非常明显，而要直接证明，所用的理论不少，且不容易说明白，而它的逆命题易证，如（1）中的举例，证明两条直线相交的依据几乎没有，而平行线有很多性质， 易于推理， 因此，用反证法把证明两条直线相交问题转化到平行线的性质2.否命题与命题的否定是两个不同的概念若 p 表示命题， “ 非 p” 叫做命题的否定.如果原命题是 “ 若 p 则 q” ，那么这个原命题的否定是 “p 则非 q” ，即只否定结论 . 原命题的否定命题是“ 若非 p，则非 q” ，即否定条件又否定结论，例如 “ 菱形的四条边都相等 ” 的否定为 “ 菱形的四条边不都相等” ；把 “ 菱形的四条边都相等” 作为原命题，则它的否命题是“ 若四边形不是菱形，则它的四条边不都相等. ”3三个逻辑联结词与集合的交、并、补运算的关系。(1) 对“ 或” 的理解可联想到集合中“ 并集” 的概念，或中的“ 或” ，它是指 “xA” 或“xB” 中至少有一个是成立。(2) 对“ 且” 的理解，可联想到集合中“ 交集” 的概念，或中的“ 且” 是指 “xA”或“xB”这两个条件都要满足。(3) 对“ 非” 的理解，可联想到集合中的“ 补集 ” 概念，若命题中对应于集合P，则命题非 P 就应对应着集合P 在全集 U 中的补集 CuP。4用集合观点来理解“ 充分条件 ” 、“ 必要条件 ” 、“ 充要条件 ”(1) 若 pq，则 p 是 q 的充分条件； 若 pq，则 p 是 q 的必要条件。 设 A=x|p ，B=x|q ，如果 AB，就是 xA 则 xB，则 A 是 B 的充分条件，即pq。如图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 5 (2) 若 A=B 则 A 是 B 的充要条件，即pq. 5结合转化思想、数形结合思想等用集合观点来解决简易逻辑中一些问题。例 1、写出若 a、b0 则 a0 的否命题分析：“若p 则 q”的否命题“若p 则q”，它涉及了逻辑联结词的否定，对此我们从集合角度来看，a0 可表示为一个点集A，用图形表示。如图，不满足“a0”的点 （a,b ），在阴影的另一部分，即。它可以看作是轴及以下部分(b0)和轴及右侧部分（ a0）部分合起来构成，即两块区域的并集， a 、b 满足“a0或 b0”。因而，否命题为若a、b0则 a0 或 b0 。说明： “p 且 q” 的否定为 “ 非 p 或非 q” ，用集合的观点来解释，并结合图形，同学更容易接受并理解。例 2、对实数 x、y、“|x|+|y|1”是“|x| 1，|y| 1”的什么条件 ? 分析：从集合的角度判断，考虑集合A=(x,y)| |x|+|y|1与 B=(x,y)| |x|1，|y| 1的包含关系。如图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 6 可以知道， AB，所以|x|+|y|1是|x| 1，|y| 1 的充分而不必要条件。说明：充分条件、 必要条件充要条件是重要的数学概念，在判断时应确定条件是什么、结论是什么；尝试从条件推导结论，从结论推导条件；确定条件是结论的什么条件。而前面我们已经用集合的观点来概括“ 充分” 、“ 必要 ” 、“ 充要 ” 条件，因此解决这类问题时，有时可以借助集合的运算及包含关系来解决。四、例题讲解例 1、判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题，同时，也判断这些命题的真假 . 若 ab，则 ac2bc2若 ab，则若一个式子是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍是等式若圆心到直线的距离等于半径，则该直线是圆的切线若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形若在二次函数yax2+bx+c 中，b2-4ac0，则该二次函数图像与x 轴有公共点分析：要判断命题的真假性，关键是看条件是否能推出结论，如果能，则是真命题，如果不能， 则是假命题 写出其它的几个命题时，关键是分清条件和结论以及条件和结论的否定解：当 c0时， ac2bc2，该命题为假命题逆命题：若ac2bc2，则 ab.为真否命题：若ab ，则 ac2bc2.为真逆否命题：若ac2bc2，则 ab. 为假该命题为假命题：当 a0，b0 时; 逆命题：若0，设命题甲为：两个实数a、b 满足 |ab|2h；命题乙为：两个实数a、b满足 |a1|h，|b1|0 与 a2x2b2xc20 的解集相同； 命题 q：，则命题 q 是命题 p 的（）A充要条件B充分但不必要条件C必要但不充分条件D既非充分也非必要条件5、已知 A 和 B 是两个命题， 如果 A 是 B 的充分但不必要条件， 那么 A 是 B 的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6条件 p:|x|=x, 条件 q:则 p 是 q 的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7若，则使 |a|+|b|1 成立的充分必要条件是（）A.B. C.D.8命题 “ 对顶角相等 ” 与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是（）A上述四个命题B原命题与逆命题D逆命题与否命题C原命题与逆否命题9若命题 p 的逆命题是 q，命题 p 的否命题是r，则 q 是 r 的（）A逆命题B否命题C逆否命题D以上答案都不正确10用反证法证明“则 ab 能被 5 整除 ” 时，假设的内容是（）Aa、b 都能被 5 整除Ba、b 都不能被 5 整除Ca、b 不都能被 5 整除Da 不能被 5 整除名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 12 二、填空题11、已知条件p：|x1|2，条件 q：5x6x2，则p 是q 的_条件 . 12、已知 p：2 ，q：x22x1m20 （m0），若p 是q 的充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是 _ 13 “” 是“ 方程的一个根大于1， 另一个根小于1”的_条件三、解答题 14 写出命题 “ 若 a2b2，则 ab” 的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这四种命题的真假 . 15、 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a 0)中的 a、b、c 均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证： f(x)=0 无整数根 . 16、若甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件， 丙是丁的必要条件， 丁是乙的必要条件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？答案及提示：1-10 CABDB ADDCB 1、原命题与其逆否命题真. 2、p 为真， q 为假，“ p 或 q”为真 . 3、 |a b|=|(a 1) (b 1)| |a 1| |b 1|0 与 x23x20 的解集不同；又如 x2x10 与 x2x30 解集相同 . 5、6、由|x|=x得，由得或，所以若p 成立则 q 成立，而q 成立而 p 不一定成立，故p 是 q 的充分不必要条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 13 7、对于前 3 个选项，当为等式时，都有可能使|a|+|b|=1，即前 3 者都不是成立的充分条件，故选D8、原命题显然正确，否命题为“不是对顶角就不相等”，是真命题9、一个命题的逆命题与其否命题是互为逆否的10、至少有一个的反面是一个也没有，故选B11、答案：充分但不必要条件提示： p：x1，q：2x3，则 qp，故12、答案： 0m3 提示：13、答案：充分但不必要条件提示：设，则14、解：原命题：若a2b2，则 ab，逆命题：若ab，则 a2b2，否命题：若a2b2，则 ab，逆否命题：若ab，则 a2b2. 因为 (-1)202，但 -1 0，所以原命题为假. 又因为 -2 -3，但 (-2)2(-3)2，所以逆命题为假. 根据原命题与逆否命题，逆命题与否命题等价的性质，这四种命题全为假. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 14 15、证明：(1)设方程 f(x)=0 有一个整数根k，则 ak2+bk=-c 又因 f(0)=c，f(1)=a+b+c 均为奇数，所以有a+b 为偶数 . 当 k 为偶数时，显然与式矛盾，当 k 为奇数时，设k=2n+1(n Z)，则 ak2+bk=(2n+1)(2na+a+b) 为偶数，也与式矛盾. 所以方程 f(x)=0 无整数根 . 用反证法证明数学问题，首先要反设，即假设结论反面成立，反设为：假设方程有整数根。一般地，如果结论中含有“ 无” 、“ 至少” 、“ 至多” 、“ 都” 、“ 不都” 等字样，则往往要考虑反证法 . 16、解：由题意，分析如下图所示根据图示得：甲是丙的充分条件，乙是丁的充要条件高考解析逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力在高考中对这一部分内容主要是考查“ 充要条件 ” 、命题真伪的试题， 主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解试题以填空题、选择题为主，难度不大，主要是对数学概念有准确的记忆和深层次的理解例 1、（全国高考试题）设命题甲为 “” ，命题乙为 “” ，那么（）A甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -