2022年高一数学必修函数的单调性和奇偶性 .pdf

用心爱心专心高一数学必修 1 函数的单调性和奇偶性【学习导航】学习要求 ：1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。【精典范例】一、利用函数单调性求函数最值例 1、 已知函数 y=f(x) 对任意 x,yR 均为 f(x)+f(y)=f(x+y) ， 且当 x0 时， f(x)0,f(1)= 32. (1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性；(2)求 f(x)在3，3上的最大、小值。思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。解：(1)令 x=y=0，f(0)=0，令 x=y 可得：f(x)= f(x)，在 R 上任取 x10，所以 f(x2) f(x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2x1). 因为 x10。又因为 x0 时 f(x)0，所以 f(x2x1)0，即 f(x2)f(x1). 由定义可知 f(x)在 R 上是减函数 . (2)因为 f(x)在 R 上是减函数，所以 f(x)在3,3上也是减函数 . 所以 f(3)最大， f(3)最小。所以 f(3)= f(3)=2 即 f(x)在3，3上最大值为 2，最小值为 2。二、复合函数单调性例 2、求函数 y=322xx的单调区间，并对其中一种情况证明。思维分析：要求出 y=322xx的单调区间， 首先求出定义域， 然后利用复合函数的判定方法判断 . 解：设 u=x22x3，则 y=u . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心因为 u0，所以 x22x30.所以 x3 或 x1. 因为 y=u 在 u0 时是增函数，又当x3 时，u 是增函数，所以当 x3 时，y 是 x 的增函数。又当 x1 时，u 是减函数，所以当 x1 时，y 是 x 的减函数。所以 y=322xx的单调递增区间是 3,+ )，单调递减区间是 (， 1。证明略三、利用奇偶性，讨论方程根情况例 3、已知 y=f(x) 是偶函数，且图象与x 轴四个交点，则方程f(x)=0 的所有实根之和是( ) A.4 B.2 C.0 D.不知解析式不能确定思维分析：因为 f(x)是偶函数且图象与x 轴有四个交点， 这四个交点每两个关于原点一定是对称的，故x1+x2+x3+x4=0. 答案： C 四、利用奇偶性，单调性解不等式例 4、 设 f(x)是定义在 2， 2上的偶函数，当 x0 时， f(x)单调递减，若 f(1m)f(m)成立，求 m 的取值范围。思维分析：要求 m 的取值范围，就要列关于m 的不等式，由 f(1m)0 时的情况，从而使问题简单化。解：因为函数 f(x)在2,2上是偶函数，则由f(1m)f(m)可得 f(|1m|)f(|m|). 又 x0 时，f(x)是单调减函数，所以|1|,2|,2|1|mmmm。解之得： 1m21. 追踪训练名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 用心爱心专心1、函数 f(x)=xx12的值域是 ( ) A.21，+) B.(，21 C.(0,+) D.1,+ ) 答案： A 2、下列函数中，在区间 (， 0)上为增函数的是 ( ) A.y=1+x1B.y=(x+1)2C.y=xD.y=x3 答案： D 3、 设 f(x)在 R 上是偶函数，在区间 (，0)上递增，且有 f(2a2+a+1)f(3a22a+1)，求 a的取值范围。答案： 0a3 4、已知 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，它们的定义域均为x|xR 且 x1 ，若f(x)+g(x)=11x，则 f(x)=_,g(x)=_ 答案： f(x)=112x，g(x)=12xx. 5、函数 f(x)=21xbax是定义在 (1，1)上的奇函数，且 f(21)=52. (1)确定函数 f(x)的解析式；(2)用定义证明 f(x)在(1，1)上是增函数；(3)解不等式 f(t1)+f(t)0；答案： (1)f(x)=21xx(2)证明略(3)0t21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -