2022年MBA笔记-数学总结归纳 .pdf

精心整理2019年9 月数学笔记基础知识基本公式：(1)222)2abaabb（(2)33223)33abaa babb（(3)22()()ab abab(4)3322()()abab aabb减加(5)2222)222abcabcabacbc（6）2222222222()1()()() 2abcabacbcabcabacbcabacbc指数相关知识：naa aa(n 个 a 相乘 ) 1nnaanmnmaa若 a 0, 则a为 a 的平方根，指数基本公式：对数相关知识：对数表示为logba(a0 且 a1,b0) ，当 a=10 时，表示为lgb 为常用对数；当 a=e 时，表示为lnb 为自然对数。有关公式： Log (MN) =logM+logN logloglogmmnnloglognmbbaanm换底公式：log1logloglogbbcaaacb单调性：a1 0aP, 而2SP则题目选B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 32 页 - - - - - - - - - 精心整理2019 年9月若1SP, 而2SP则题目选 D 若1SP, 而2SP 但1212SSPCSSPE则题目选则题目选形象表示： (A) (B) 联 ( 合) 立 (C) (D) 联 ( 合) 立 (E) 特点：(1) 肯定有答案，无“自检机会”、“准确性高” (2)准确度解决方案：(1) 自下而上带入题干验证( 至少运算两次 ) (2)自上而下， ( 关于范围的考题) 法宝：特值法，注意只能证“伪”不能证“真”图像法，尤其试用于几何问题第一章实数(1) 自然数：自然数用 N表示 (0 ，1，2-) (2)0Z正整数 Z整数负整数 Z(3) 质数和合数：质数：只有1 和它本身两个约数的数叫质数，注意：1 既不是质数也不是合数最小的合数为4，最小的质数为2；10 以内质数： 2、3、5、7；10 以内合数4、6、8、9。除了最小质数2 为偶数外，其余质数都为奇数，反之则不对除了 2 以外的正偶数均为合数，反之则不对只要题目中涉及2 个以上质数，就可以设最小的是2，试试看可不可以Eg：三个质数的乘积为其和的5 倍，求这 3 个数的和。解：假设3 个质数分别为m1、m2、m3。由题意知： m1m2m3=5(m1+m2+m3) 欠定方程不妨令 m3=5，则 m1m2=m1+m2+5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . m1m2-m1-m2+1=6 (m1-1)(m2-1)=6=1 6=23 则 m1-1=2,m2-1=3 或者 m1-1=1,m2-1=6 即 m1=3,m2=4（不符合质数的条件，舍）或者m1=2,m2=7 则 m1+m2+m3=14。小技巧：考试时，用20 以内的质数稍微试一下。（4）奇数和偶数整数 Z 奇数 2n+1 偶数 2n 相邻的两个整数必有一奇一偶合数一定就是偶数。（）偶数一定就是合数。（）质数一定就是奇数。（）奇数一定就是质数。（）奇数偶数运算: 偶数偶数 =偶数; 奇数偶数=奇数 ; 奇数奇数=偶数奇数 * 奇=奇数 ; 奇*偶=偶; 偶*偶=偶合数 =质数 * 质数 * 质数 * * 质数例： 12=2*2*3=*3(5) 分数：pq, 当 pq 时为真分数， pq 时为假分数，带分数( 有整数部分的分数) (6) 小数：纯小数： 0.1 ；混小数： 1.1 ；有限小数；无限小数；(7)Zmn整数（）有理数 Q实数 R分数（）无理数有理数 Q：包括整数和分数，可以知道所有有理数均可以化为pq的形式，这是与无理数的区别，有限小数或无限循环小数均是有理数。无限循环小数化成pq的方法：如果循环节有k 位，则此小数可表示为：9k循环节数字个 Ex ：。cba.0=999abc例 1、。312 .0.=0.2131313 化为分数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 32 页 - - - - - - - - - 精心整理2019 年9月分析：。312.0.=0.2+。310 .0=0.2+0.1*。31.0=51+101*9913=例 2、。cba.0化为最简分数后分子与分母之和为137，求此分数分析：。cba.0=999abc=11126从而 abc=26*9 无理数：无限不循环小数常见无理数：、 e 带根号的数（根号下的数开不尽方），如2，3对数，如23 有理数 (Q) 有限小数实数 (R) 无限循环小数无理数：无限不循环小数有理数整数 Z 分数真分数（分子分母，如 7/5 ）考点：有理数与无理数的组合性质。A、有理数 ( ) 有理数，仍为有理数。（注意，此处要保证除法的分母有意义）B、无理数 ( ) 无理数，有可能为无理数，也有可能为有理数; 无理数非零有理数=无理数eg. 如果两个无理数相加为零，则它们一定互为相反数（）。如，222和。C、有理数 ( ) 无理数 =无理数，非零有理数( ) 无理数 =无理数(8) 连续 k 个整数之积可被k！整除 (k ！为 k 的阶乘 ) (9) 被 k(k=2,3,4-)整除的性质，其中被7 整除运用截尾法。被 7 整除的截尾法： 截去这个整数的个位数，再用剩下的部分减去个位数的2 倍，所得结果若是7 的倍数，该数就可以被7 整除同余问题被 2 整除的数，个位数是偶数被 3 整除的数。各位数之和为3 倍数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . 被 4 整除的数，末两位数是4 的倍数被 5 整除的数，个位数是0 或 5 被 6 整除的数，既能被2 整除又能被 3 整除被 8 整除的数，末三位数之和是8 的倍数被 9 整除的数，各位数之和为9 的倍数被 10 整除的数，个位数为0 被 11 整除的数，奇数位上数的和与偶数位上数的和之差（或反过来）能被11 整除被 7、11、13整除的数，这个数的末三位与末三位以前的数之差（或反过来）能被 7、11、13 整除第二章绝对值（考试重点）1、绝对值的定义：其特点是互为相反数的两个数的绝对值是相等的穿线法：用于求解高次可分解因式不等式的解集要求：（ 1）x 系数都要为正（2）奇穿偶不穿2、实数 a 的绝对值的几何意义：数轴上实数a 所对应的点到原点的距离【例】充分性判断 f(x)=1只有一根（1）f(x)=|x-1| (2) f(x)= |x-1|+1 解：由（ 1）f(x)=|x-1|=1得11 x两根由（ 2）f(x)=|x-1|+1=1得|x-1|=0,一根答案：（ B ）3、基本公式：|x|a-axaxa 或 x0|1 x0) 四、平均值1、算术平均值：2、几何平均值要求是 n 个正数，则121.nnngniixx xxx五、平均值定理1、1212.nnnxxxx xxn当且仅当12.nxxx时，两者相等2、n=2 时，2abab3、当1ab，12aa六、比较大小的方法：1、整式作减法，与0 比较大小 2 、分式作除法，与1 比较技巧方法： 1、特值法 2 、极端法（趋于0 或无穷大）【例】1 111 11:2 34a bc，且 a+b+c=27，求 a-2b-2c 由题意可知， a:b:c=2:3:4,234922abca，可得 a=6，b=9,c=12 算出 a-2b-2c=-36 第四章方程不等式一、基本定义：1、元： 方程中未知数的个数次：方程中未知数的最高次方数2、一元一次方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . Ax=b 得bxa3、一元二次方程2ax+bx+c=0(a 0) 一元二次方程2ax+bx+c=0，因为一元二次方程就意味着a0。当=2b-4ac0 时，方程有两个不等实根，为1,2X=2ba。当=2b-4ac=0 时，方程有两个相等的实根。当=2b-4ac0 时，开口向上，a0 时，有两个不等实根，=0，有两个相等实根，0, 0；恒负： a0, | 负根 | ，则再加上条件a，b 异号；如果再要求 | 正根 | 负根 | ，则再加上a，b 同号（ 4）一根比k 大，一个根比k 小 af(k)1 时( )( )loglog( )( )0fxg xaafxg x 0a0；若 n 为负奇数，则a 0。若 a 0, 则a为 a 的平方根，负数没有平方根。指数基本公式：mnmnaaanmmnm naaa其他公式查看手册题型三、韦达定理的应用不等式不等式的性质：1、 同向皆正相乘性2、 皆正倒数性3、00ababcddc4、220abab不等式解集的特色：解集端点的值代入不等式时，不等式左边等于右边。一、一元一次不等式axb若，a0 时bxa a0 时bxa a0时bxa21132xx移向通分得：213103232xxxx二、含绝对值的不等式三、一元一次不等式组230327xx求交集得233xx230327540 xxx解得32345xxx3425x临界点为 -1 ，32x-1 时，解得813x-1 x32时，解得 -1 x32x32时，32xb0, 22ab 2.ab0 时，21,xxxx20axbxc时， a0 时，12xxx解高次不等式：方法：穿针引线法( 由右上开始往下穿) 注：偶次方先穿时，不考虑，穿后考虑特殊点；奇次方不考虑全看为一次。x1 且 x-1 ，或 2xe的不等式，可以分段讨论，但计算量大，这时使用折线法，限于一次方程，步骤如下：根据 ax+b=0,cx+d=0 求出折点|a|c|0,0,0,向上折水平向下折一些图像的画法 y=|ax+b|,下翻上，把原下方图像上翻后去掉原下方 y=|ax|+b,右翻左，把右边翻到左边，去掉原来左边的 |y|=ax+b,上翻下，原来下方去掉五、超级不等式：指数、对数问题（1）对数的图像要掌握方程：( )( )loglog( )( )0fxg xaaf xg x不等式： a1 时( )( )loglog( )( )0fxg xaafxg x单调递增 0a0；若 n 为负奇数，则a 0。若 a 0, 则a为 a 的平方根，负数没有平方根。第五章应用题一、比、百分比、比例（1）知识点利润 =售价 - 进价利润=出厂价 - 成本利润率 =利润进价（成本）变化率 =变化量变前量技巧（思路）思维方法：特值法如果题目中出现必需涉及的量，并且该量不可量化，则此量一定对结果无影响。可引入一个特殊值找出普遍规律下的答案。1、 用最简洁最方便的量作为特指2、 引入特指时，不可改变题目原意3、 引入两个特值时需特别注意，防止两者间有必然联系而改变题目原意讲义 P131/例 20 一般方法：十字相交法：优秀 90 6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . 81人数比32非优优非优秀 75 9 非优 =5053=30 十字交叉法的使用法则1、 标清量2、 放好位（减得的结果与原来的变量放在同一条直线上）3、 大的减小的题型归纳1 增长率（变化率问题）2. 利润率 3. 二因素平均值 4.多比例问题5. 单量总量关系 6.比例变化 7. 比例性质二、工程问题（总量看成1）（1）知识点工量 =功效 *工时（效率可以直接相加减）工量定时，工效、工时成反比工效定时，工量、工时成正比工时定时，工量、工效成正比纵向比较法的使用范围：如果题目中出现两条以上可比较主线，则可用纵向比较法的使用法则：1、 一定要找到可比较的桥梁2、 通过差异找出关系并且利用已知信息求解工程问题题型：效率计算 ; 纵向比较法 ; 给排水问题 ; 效率变化问题三、速度问题知识点：1. S=vt S 表示路程（不是距离或位移），v 匀速， t 所用时间s 定， v、t 成反比 ;v 定，s、t 成正比 ;t定， s、v 成正比2相遇问题S为相遇时所走的路程;S 相遇=s1+s2=原来的距离 ;V 相遇=v1+v2 相遇时所用时间StV相遇相遇3. 追击问题S追击 =s1-s2 （走的快的人比走的慢的人多走的路程）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 32 页 - - - - - - - - - 精心整理2019 年9月V追击 =v1-v2 4. 顺水、逆水问题 V顺=v 船+v 水V逆=v 船-v 水（V顺-V 逆=2 v 水）例 16. 公共汽车速度为v，则有16016022803vv得 v=40；最好用中间值代入法中间值代入的适用范围：往往在速度问题中，得到分母出现未知数，并且不可以简单化解的方程，此时最有效的方法是中间值代入法，而回避解一元二次方程。使用法则：用中间值代入而非中间答案同等条件下用最简洁最方便的代入如果第一次代入后不符合题意，则一定要判断准答案的发展方向。例 17. （V卡+60）6=（48+ V卡）7 得V卡=24 （V卡+60）6=（V丙+24）8 得V丙=39 例 20第一次相遇：小明走了500，小华走了S-500；第二次相遇：小明走了S+100，小华走了S-100 第一次相遇：小明和小华走了S；第二次相遇：小明和小华走了2S 说明第二次2 个人走的都是第一次的2 倍; 对于小明来说：S+100=2500 S=900 例 21. 设船速 v，水速 x，有1208016vxvx6012016vxvx解得x2.5速度问题题型总结： 1.s=vt（中间值代入法） 2. S相遇 =s1+s2，V相遇=v1+v2 3. 顺水逆水问题四、浓度问题知识点：定义：浓度=溶质溶液溶液 =溶质 +溶剂溶质 =浓度溶液溶液 =溶质溶度例 24. 属于补水（稀释）问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . 第一次剩下纯：x20 ?（） 60%浓度：x20 x?（） 60%第二次倒出纯：x20 x?（） 60%30 剩下纯：x20 ?（） 60%-30 x20 x?（） 60%浓度为：【x20 ?（） 60%-30 x20 x?（） 60%】/x=20%x=60 通用公式：倒两次：2vavbv原浓度（）（）后浓度倒三次：3vavbv cv原浓度（）（）（ - ）后浓度v 为原来溶液的量，a 为第一次倒出的量，b 为第二次倒出的量题型归纳；浓度计算；补水问题五、画饼问题 1两饼相交总=A+B-x+y 例 25. 设只有小提琴人数为5x，则总人数 =46=22+5x+3x-3x+14 得 x=2 只会电子琴的=22-6=16 2.三饼相交总=A+B+C-x-y-z+m 例 28. 总=3 30?-5-6-8+3=74 六、不定方程 1.最优化方案选择的不定方程； 2. 带有附加条件的不定方程 3.不等式形式的不定方程步骤： 1.要勇敢的表达出方程；2. 观察方程和附加条件拉关系；3. 求解（穷举法）例 27. 设一等奖，二等奖，三等奖人数为a，b，c，则有一二三 a b c（a，b，c 为正整数）6a+3b+2c=22 9a+4b+c=22 得 a2 接着穷举法当 a=1 时， b=2，c=5 当 a=2 时，不符题意最优化方案选择题目的解决方案：1、找到制约最优的因素（稳，准，狠）；2、判定什么情况下最优；3、求解不等式形式的不定方程解决方案：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 32 页 - - - - - - - - - 精心整理2019 年9月列出不等式通过不等式组求出解得范围根据附加条件判定具体解集例 29. 东欧 2/3 欧美欧美 2/3 总数总数 3/2 欧美总数少于 21 亚太 18 七、阶梯价格问题图表型、语言描述型做题步骤： 1. 分段找临界； 2. 确定区间； 3. 设特殊部分求解例 30. 少于 1 万 1 万-1.5万 1.5万-2 万 2万-3 万 3万-4 万 0 125 150 350 400 125+150+350+x 4?%=770 x=3625 第六章数列一、等差数列1nnaa常数，则na为等差数列，公差d常数1、11naand通项公式kank d起始项不是第一项，1dnad关于 n 的函数，说明等差数列通项是关于n 的一次函数，公差为n 的系数。注：3na是等差数列，为常数列，通项就是该常数，常数列是数列题特值法的首选。2、1122nnnn aaaaSnn已知项数求 S几就是脚码乘以一个数，1313 XS二、等比数列等比数列通项是关于n 的指数函数，【补例】132nnna是等比数列，133,24qa1111111nnnaqaaSqqqq，为一定有常数项的指数函数。* 如果一个数列既是等差又是等比数列，则该数列为非零常数列数学思想1、定性排除加反向验证；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . 2、首选特值法和图像法；3、充分性判断先猜后做。【补例】211nSnn有最大值，在对称轴处取得，112n，即56SS=S最大值总结：2( )nSf nanbn对称轴：112and10,0,nadS有最大值；10,0,nadS有最小值N的取值四舍六入，例：（1）n=5，5S有最值（2）n=5.1 ，5S有最值，（3）n=5.6 ，6S有最值，（4）n=5.5 ，56SS有最值，且1160,0Sa总结：（1）na为 n 的一次函数（2）nS为 n 的无常数项的二次函数（3）若na为常数列，na退化为常数，nS退化为 n 的一次函数，如3na，3nSn【补例】,nnab前 n 项和为,nnST，则1919:3: 2ST（1）,nnab为等差数列（2）1010:3: 2ab利用 S=脚码 * 中间项，选C 【补例】等差数列中972S，求249aaa95972Sa，58a【补例】132nnna是等比数列，133,24qa1111111nnnaqaaSqqqq，为一定有常数项的指数函数。【补例】21nnS是等比数列【补例】132nnnS不是等比数列，需要配一个常数131222nnS，常数与系数相反数，131,24qa的等比数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 32 页 - - - - - - - - - 精心整理2019 年9月注：2nnS不是等比数列，但是只影响第一项，从第二项开始与21nnS所代表的等差数列的第二项开始完全相等。【补例】 09-01-11 ，1210,221nnnnSaaaS，则1nS是A、首项为2，12q的等比数列； B、首项为 2，2q的等比数列C、既非等差又非等比；D、首项为 2，12d的等差数列E、首项为2，2d的等差数列1221nnnnSSSS，万能公式2211112221120112nnnnnnnnnnSSS SSSSSSS答案选 E 总结：（1）na为 n 的指数函数（ 2）nS为 n 的有常数项的指数函数，且系数相反（3）若na为非 0 常数列时，na退化为常数，nS退化为 n 的一次函数，如1naa该常数，1nSna（4）既成等差数列又成等比数列的一定是非0 常数列【补例】等差数列，51037aa，且10a，则nS最小A、1S或8SB、12SC、13SD、15SE、以上都不对51037aa，113479adad1514ad1115113.2224and所以 n 取 13，答案选C 三个数成等差：, ,ad a ad三个数成等比：2,a aq aq，（, ,aa aqq，分式未必好处理）四个数成等差：, ,2ad a ad ad，（3 ,3ad ad ad ad，对称，但公差为2d，易错）四个数成等比：2, ,aa aq aqq，(33,aaaq aqqq, 对称，但公比为2q，易错）总结：等差数列等比数列1、定义2、通项名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . 3、通项公式技巧（na是关于 n 的一次函数）（na是关于 n 的指数函数）4、 前 n项和公式nS1q,11nnaa qSq1(1)1naqq1q,1nSna5、nS技巧关于 n 的无常数项的二次函数关于 n 的有常数项的指数函数6、角码规律7 abc、 、成等差，则bacb叫做等差中项abc、 、成等比，则2bac（奇数项同号、偶数项同号）b叫做等比差中项8 2121kkkkaSbT,21(21)kkSka第七章排列组合（解决计数问题）一、两个原理?加法原理（分类）做一件事有 n 类办法，每一类中的每一种均可单独完成此事件，如果第一类有1m种方案，第二类有2m种方案 .第 n 类有nm种方案，则此事件共有方案数12.nNmmm?乘法原理（分步） 做一件事分n 个步骤，如果第一步有1m种方案，第二个步骤有2m种方案 .第 n 步有nm种方案，则做此事件的方案数12.nNmmm模型：从甲到乙有2 种方法；从甲到丙有4 种方法；从乙到丁有3 种方法；从丙到丁有2 种方法；问从甲到丁有几种方法？解： 2*3+4*2=14 二、两个概念排列1、排列定义：从n 个不同元素中，任意取出m （mn）个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列 2 、排列数定义：从n 个不同元素中取出m （mn）个元素的所有排列的种数，称为从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 32 页 - - - - - - - - - 精心整理2019 年9月 3 、!(1).(1)()!mnnPn nnmnm!nnPnn 个不同元素对应n 个不同位置的方案总数记为n！（一一对应）常用的阶乘数：0！=1，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120 组合? 1 、组合的定义：从n 个不同元素中，任意取出m （mn）个元素并为一组，叫做从n 个不同元素中取出 m个元素的一个组合，所有可能的组合的个数称为组合数mnC常用的组合数：01nC1nCn246C3620C12333CC13444CC235510CC246615CC257721CC268828CC 2 、组合的性质：（1）、只要存在选择，使用C （2）、只要涉及到顺序，就阶乘（不同元素对应不同位置）（3）、mn mnnCC（化简用）（4）、11mmmnnnCCC（5）、01.2nnnnnCCC3、二项展开式：011().nnnrnrrnnnnnnabC aC abC abC b存在选择mnC存在对应 n ！建议：尽量画位置图尽量具体化各种题型总结：平均分组问题：注意要修正，看所分的组间是否有区别，无区别为平均分组，要再除以阶乘对元素或位置限定：思想是先特殊后一般相邻：捆绑法，解决元素相邻问题。步骤是先把相邻元素作为一个元素进行大排列，然后可能存在小排列不相邻：插空法，解决元素不相邻问题。先不管不相邻元素，把剩下的大元素进行大排列，然后选取间隔插空，可能存在小排列(6) 隔板法： n 个相同的元素分给m （mn）个人，每人至少一个名额11mnC使用隔板法要满足以下三个条件1、所要分的物品规格必须完全相同2、所要分的物品必须分完，绝不允许有剩余3、参与分物品的每个成员至少分到一个，绝不允许出现分不到物品的成员每人至多一个nmC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . 11mm nC代表无任何约束的隔板问题例：从 1， 2，.，20 这 20 个自然数中任取3 个不同的数字组成等差数列，问有（）多少个。解：等差数列123,a a a，2131,2aad aad，可知13,a a奇偶性相同。这 20 个数中有10 个奇数，每选的两个奇数选出后可构成2 个等差数列，则10 个奇数可构成等差数列的个数为210P，同理偶数也可以构成210P，总共 2210P个第八章平面几何和解析几何（为考点，为重点，为运用，为总结 ）一、平面几何部分1、平行直线（1）一条直线与一组平行线之间的关系 1 2 3 142434与是同位角，同位角相等与是内错角，内错角相等与是同旁内角，同旁内角互补 4 内错角的角平分线平行；同位角的角平分线平行；同旁内角的角平分线垂直。2、 多边形奇数条的多边形任意多边形的外角和是360三角形（1）三个内角和：A+B+C=180o四角形内角和为360n 边形内角和为（n-2 ） 180外角：三角形外角等于不相邻两内角和（2）三条边：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边例 1、已知三角形ABC,其中 A(1,3) 、B(4,6) 、C点在 x 轴上运动求（ 1）C点在何位置时，ACBC值最小；(2）C点在和位置时，ACBC值最大。解：（ 1）错误答案：,ACBCAB，ACBC最小值为 AB 分析：由于等号取不到，答案错误正确答案：作A点关于 x 轴的对称点得A(1,3)A、(1, 3)A、(4,6)B、求 C点，利用等比关系693CD,2CD当点 C在（ 2,0 ），时ACBC的最小值为3 10。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 32 页 - - - - - - - - - 精心整理2019 年9月（2）：作AB的延长线， C点是AB延长线与 x 轴的交点因此可知，当C点在（ -2,0 ）时，ACBC最大值为3 2总结 1 、当 A点、 B点在坐标轴的同侧时，求ACBC最小值，需做对称点，求ACBC值最大，直接连线即可。2、当 A点、 B点在坐标轴的两侧时，求ACBC最小值，直接连线即可，求ACBC值最大，需做对称点。（3）三角形的四心重心：三条中线的交点，将中线分成1：2 两段，坐标为（1233xxx，1233yyy）垂心：三条高的交点。内心：内切圆圆心，三条角平分线交点，角平分线到角两边的距离相等外心：外接圆圆心，三条边的中垂线交点。总结 1、内心与重心必在三角形内部。2、外心与垂心Rt在三角形内锐角三角形外心在斜边中点在边界上三角形重心在直角顶点在三角形外钝角三角形（4）周长与面积周长L=a+b+c面积 S= 12absinc= ()()()p papbpc,p 为半周长（等底等高等面积；若等高，面积比等与底边比）（5）全等和相似三角形相似的判定定理（其他皆为此二种的变形）两个三角形中有两个角对应相等两个三角形两组对边对应成比例，且其夹角相等概念：相似比R= 相似三角形边长之比一组相似形中线性比均为R，面积比为2R，体积比为3R全等： R=1 的相似即为全等全等判定： 边角边，边边边，角边角定理可判定两个三角形全等，相似时比全等多了一个角角角判定。周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方相似：周长、中线、高之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方。（6）特殊三角形1）Rt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . 角：A+B= 90o边: 勾股定理：222abc对于一个给定的三角形，如果222abc（c 为最长边），则该三角形为钝角三角形，反之为锐角三角形常用的勾股数：（3，4，5），（ 5，12 ，13 ），（ 7，24 ，25 ），（ 1，1，2），（ 1，3，2），（9，40，41）（观察够股数发现以下特点1、首数字为基数；2、其周长为2(1)nnn n。例 1、Rt, 直角边最短为17，求周长？周长为2(1)1718306nnn n等腰直角 , 角度 45 45 90 三边 1:1:2等差数列直角, 角度 30 60 90 三边 1: 3：2 30o所对的边是斜边的一半一般Rt，外接圆半径2CR，内接圆半径2abcr等腰224cha，234Sa（3）等边三角形：四心合一，当边长为a, 面积 s= 234a, 内切圆半径r= 336har, 外接圆半径R= 23233haRr射影定理3、四边形（1）平行四边形两组对边分别平行的四边形。两组对边分别相等，两组对角线互相平分面积为底乘以高（2）矩形（正方形）对角线22lab，面积Sa b?，2()cab阴影部分都为12S（3）菱形四边长均为a 的四边形。对角线互相垂直平分面积还可以表示为对角线乘积的一半名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 32 页 - - - - - - - - - 精心整理2019 年9月（推广：只要对角线相互垂直，四边形面积就可以表示为对角线乘积的一半）（4）梯形只有一组对边平行的四边形。上底为a，下底为 b，中位线 l=1/2(a+b) 则1()2Sab hlh特殊梯形：22()4bahc等腰梯形：22()hcba直角梯形：a+bSh2?1 21S2l l对角线互相垂直：4、圆（1）了解角度、弧度常用有306454603902（2）弧度，把圆弧长度和半径的比值称为对一个圆周角的弧度。（3）圆的圆心为o，半径为 r ，直径为 d，则周长2Cr，面积2Sr直径所对的圆周角是直角弧所对应的圆周角是圆心角的一半，等弧上的圆心角（圆周角）等弦切角（割线与切线所夹的角）与圆周角（切线与割线所夹的弧所对应的圆周角）相等5、扇形（1）扇形弧长：2360lrr。，其中为扇形角的弧度，为扇形角的角度，r 为扇形半径，扇形面积：221136022Srlrr。总结弧：优弧、劣弧（其中优弧大于半个圆）；弦：线段（最长的弦为直径）弓形：弧 +弦；扇形：弓形+半径；圆心角：顶点在圆心圆周角：顶点在圆周上（圆心角是圆周角的2 倍）；弦切角：切线与弦的夹角弦心距：圆心之间的距离二、解析几何部分1、平面直角坐标系（逆时针、，注意各个象限中坐标点的符号，数轴上的点不属于任何象限。）（1）点（与坐标一一对应）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 32 页 - - - - - - - - - . . 两点之间的距离P1P2=222121()()xxyy（利用直角三角形勾股定理推出）（2）线段（定比分点）了解AHHB ,H的坐标（1122,11abab） 可以由三角形相似推出（H为 AB中点时，即=1，H的坐标为（1122,22abab）用的最多的情况。）（3）直线点线段射线直线1）倾斜角、斜率倾斜角是指直线与x 轴正方向所形成的夹角，范围为0 ， 180），即0 r 直线与圆相离 d = r 直线与圆相切（有一个交点） d R+r 两圆相离4 d = R+r 两圆外切3 R-r d R+r 两圆相交2 d = R-r 两圆内切1 d 0 ）, 将三边分别延长一倍、两倍、三倍，求三角形ABC的面积。解：以等边三角形为例子，画好图，用分割法把延长后的三角形分成若干个，反复利用等高、不同底得到面积之比，最后把分割的三角形全部相加起来得结果18a。4. 求阴影部分面积（必考）常用的方法与技巧（1）割分法：SSS阴影 = 规则 -空白（2）对称性：利用倍数求出一部分面积（3）翻转：折叠问题，找全等（4）相似（平行）：面积比等于相似比的平方（5）借助同比等高（6）进行分块编号a,b,c 1,2,3 （7）辅助线：连线、中线、垂线、平行线、角平分线立体几何1、体积公式：柱体：hSV，圆柱体：hrV2。斜棱柱体积：lSV（其中，S是直截面面积，l是侧棱长）；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 31 页，共 32 页 - - - - - - - - - 精心整理2019 年9月锥体：hSV31，圆锥体：hrV231。台体：)(31SSSShV，圆台体：)(3122rrRRhV球体：334rV。3、侧面积：直棱柱侧面积：hcS，斜棱柱侧面积：lcS；正棱锥侧面积：hcS21，正棱台侧面积：hccS)(21；圆柱侧面积：rhhcS2，圆锥侧面积：rllcS21，圆台侧面积：lrRlccS)()(21，球的表面积：24 rS。5、几个基本公式：弧长公式：rl（是圆心角的弧度数，0）；扇形面积公式：rlS21；圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：2lr；圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：2lrR。经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为l，轴截面顶角是）：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 32 页，共 32 页 - - - - - - - - -