2022年高中数学人教A版选修..《离散型随机变量的均值》教案文 .pdf

23 离散型随机变量的均值与方差231 离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望过程与方法：理解公式“ E（a+b）=aE +b” ，以及“若 B（n,p ） ，则E=np”. 能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 , 体现数学的文化功能与人文价值。教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排：1 课时教学过程：一、复习引入：1. 离散型随机变量的二项分布: 在 一 次随 机 试 验中，某 事 件 可能 发 生 也可能不 发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是knkknnqpCkP)(， （k0,1,2,， n，pq1） 于是得到随机变量 的概率分布如下：0 1 k n P nnqpC00111nnqpCknkknqpC0qpCnnn称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B(n ， p) ，其中n， p 为参数，并记knkknqpCb(k ；n，p) 二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数 的分布列如下4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0. 22 在 n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数 的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有nnP02.0)4(次得 4 环；nnP04.0)5(次得 5环；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - nnP22.0)10(次得 10 环故在 n 次射击的总环数大约为n02.04n04.05n22.01002.04(04.05n)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为02.0404.0532.822.010这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平对于任一射手，若已知其射击所得环数 的分布列，即已知各个)(iP（i=0 ，1，2， 10） ，我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数: )0(0P)1(1P)10(10P1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量 的概率分布为x1 x2 xn P p1p2pn则称E11px22pxnnpx为 的均值或数学期望，简称期望2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值 : 一般地，在有限取值离散型随机变量 的概率分布中，令1p2pnp，则有1p2pnpn1，E1(x2xnxn1)， 所以 的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质: 若ba(a、b 是常数 ) ， 是随机变量，则 也是随机变量，它们的分布列为x1 x2 xn bax1bax2baxnP p1p2pn于是E11)(pbax22)(pbaxnnpbax)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 11(pxa22pxnnpx )1( pb2pnp) baE，由此，我们得到了期望的一个性质:baEbaE)(5. 若 B（n,p ） ，则 E=np 证明如下：knkknknkknqpCppCkP)1()(，E0nnqpC00 1111nnqpC 2222nnqpC kknkknqpC n0qpCnnn又11)!1()1()!1()!1()!( !knknnCknknnknknkkC，E(np0011nnCp q2111nnqpC )1()1(111knkknqpC )0111qpCnnnnpqpnpn 1)(故若 B(n，p) ，则Enp三、讲解范例：例 1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为0.7 ，求他罚球一次得分的期望解：因为3.0)0(,7.0) 1(PP，所以7 .03 .007.01E例 2. 一次单元测验由20 个选择题构成，每个选择题有4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案， 每题选择正确答案得5分， 不作出选择或选错不得分，满分 100 分学生甲选对任一题的概率为0.9 ，学生乙则在测验中对每题都从4 个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,，则 B（20,0.9 ）,)25.0 ,20( B, 525.020,189.020EE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 由于答对每题得5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和 5所以， 他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(EEEE例 3. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望解：6 ,2, 1,6/1)(iiP，6/166/126/11E=3.5 例 4. 随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 的数学期望解：抛掷骰子所得点数 的概率分布为1 2 3 4 5 6 P 616161616161所以E161261361461 561661 (1 23456) 61 3.5 抛掷骰子所得点数 的数学期望，就是 的所有可能取值的平均值四、课堂练习：1. 口袋中有 5 只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3 球，以表示取出球的最大号码，则E（）A4；B 5；C4.5 ；D4.75 答案： C 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1 分，罚不中得 0 分已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，求他罚球1 次的得分 的数学期望；他罚球2 次的得分 的数学期望；他罚球3 次的得分 的数学期望3设有 m升水，其中含有大肠杆菌n 个今取水1 升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为 ，求 的数学期望五、小结：(1) 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2) 求离散型随机变量 的期望的基本步骤：理解 的意义，写出 可能取的全部值；求 取各个值的概率，写出分布列；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 根据分布列，由期望的定义求出E公式E（a +b）= aE+b，以及服从二项分布的随机变量的期望E =np 六、布置作业：练习册七、板书设计（略）八、教学反思： (1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2) 求离散型随机变量 的期望的基本步骤：理解 的意义，写出 可能取的全部值；求 取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由期望的定义求出E公式 E（a+b）= aE +b，以及服从二项分布的随机变量的期望E=np 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -