2022年高中数学复数讲义.教师版 .pdf

高中数学 .复数Page 1 of 16一、复数的概念1 虚数单位 i: （1）它的平方等于1，即21i；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立（3）i 与 1 的关系 : i 就是1的一个平方根，即方程21x的一个根，方程21x的另一个根是-i（4）i 的周期性：41nii ，421ni，43nii ，41ni2 数系的扩充：复数(0)ii(0)i(0)i(0)a babb aab bab a实数纯虚数虚数非纯虚数3 复数的定义：形如i()ab abR，的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示4 复数的代数形式: 通常用字母z表示，即()zabi a bR，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式5 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()abi a bR，当且仅当0b时，复数()abi a bR，是实数a；当0b时，复数zabi 叫做虚数；当0a且0b时， zbi 叫做纯虚数；当且仅当0ab时，z就是实数 0知识内容复数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 2 of 166 复数集与其它数集之间的关系：NZQRC苘苘7 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，a b d，c， dR ，那么iiabcdac， bd二、复数的几何意义1 复平面、实轴、虚轴：复数i()zab a bR，与有序实数对a b， 是一一对应关系建立一一对应的关系点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数i()zab a bR，可用点 Z a b，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数2 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 0，它所确定的复数是00i0z表示是实数除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数3复数zabi一一对应复平面内的点()Z a b，这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法三、复数的四则运算1 复数1z与2z的和的定义：12zziiabcdiacbd2 复数1z与2z的差的定义：12zziiabcdiacbd3 复数的加法运算满足交换律:1221zzzz4 复数的加法运算满足结合律:123123()()zzzzzz5 乘法运算规则：设1izab ，2izcd (a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积12iiiz zabcdacbdbcad其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数6 乘法运算律：（1）123123zz zz zz（2）123123()()zzzzzz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 3 of 16（3）1231213zzzz zz z7 复数除法定义：满足iiicdxyab的复数xyi(x、yR)叫复数 abi 除以复数 cdi 的商，记为：()abicdi 或者abicdi8 除法运算规则：设复数iab(a、 bR )，除以icd(c，dR)，其商为ixy （x、 yR )，即 (i)iiabcdxy xyicdicxdydxcy iiicxdydxcyab由复数相等定义可知cxdyadxcyb，解这个方程组，得2222acbdxcdbcadycd，于是有 : (i)iabcd2222acbdbcadicdcd利用22iicdcdcd 于是将iiabcd的分母有理化得：原式22i(i)(i)i (i)()ii(i)(i)ababcdacbdbcadcdcdcdcd222222()()iiacbdbcadacbdbcadcdcdcd(i)iabcd2222iacbdbcadcdcd点评 : 是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数icd与复数icd，相当于我们初中学习的32 的对偶式32 ，它们之积为1是有理数，而22cdicdicd 是正实数所以可以分母实数化把这种方法叫做分母实数化法9 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 4 of 161 复数的概念【例 1】 已知2(1aibi ii为虚数单位），那么实数a，b 的值分别为（）A2， 5 B-3，1 C-11 D2，32【答案】 D 【例 2】 计算：0!1!2!100!i+ i+ i+ iL（i表示虚数单位）【答案】952i【解析】 4i1，而 4 |!k （4k） ，故0!1!2!100!i+i+i+ iii( 1)( 1)1 97952iL【例 3】 设22(253)(22)iztttt，tR，则下列命题中一定正确的是（）A z 的对应点Z在第一象限B z 的对应点Z在第四象限C z 不是纯虚数D z 是虚数【答案】 D 【解析】2222(1)10ttt【例 4】 在下列命题中，正确命题的个数为（）两个复数不能比较大小；若22(1)(32)ixxx是纯虚数，则实数1x； z 是虚数的一个充要条件是zzR ；若 ab， 是两个相等的实数，则()()iabab是纯虚数；zR的一个充要条件是zz 1z的充要条件是1zzA1 B2 C3 D4 【答案】 B 【解析】 复数为实数时， 可以比较大小， 错；1x时，22(1)(32)0 xxxi，错； z 为实数时，也有 zzR ，错；0ab时，()()0abab i，错； 正确2 复数的几何意义【例 5】 复数2i12imz（mR，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）例题精讲名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 5 of 16A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】 A 【解析】 由已知2(2 )(12 )1(4)2(1) 12(12 )(12 )5mimiizmmiiii在复平面对应点如果在第一象限，则4010mm，而此不等式组无解即在复平面上对应的点不可能位于第一象限【例 6】 若3544，复数 (cossin)(sincos )i 在复平面内所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】 B 【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当3544，时， cossin0sincos0，【例 7】 如果复数 z满足ii2zz，那么i1z的最小值是（）A1 B2C2 D5【答案】 A 【解析】 设复数 z在复平面的对应点为Z，因为ii2zz，所以点Z的集合是y轴上以1(01)Z， 、2(01)Z，为端点的线段i1z表示线段12Z Z 上的点到点 ( 11)，的距离此距离的最小值为点2(01)Z，到点 ( 11)，的距离，其距离为1【例 8】 满足1z及1322zz的复数 z 的集合是（）A1313ii2222，B1111ii2222，C2222ii2222，D1313ii2222，【答案】 D 【解析】 复数 z 表示的点在单位圆与直线12x上（1322zz表示 z 到点102，与点302，的距离相等，故轨迹为直线12x） ，故选 D【例 9】 已知复数 (2)i()xy xyR，的模为3 ，则yx的最大值为 _COyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 6 of 16【答案】3【解析】2i3xy，22(2)3xy，故 ()xy，在以(20)C，为圆心，3 为半径的圆上，yx表示圆上的点()xy，与原点连线的斜率如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3 【例 10】复数 z 满足条件：21izz，那么 z 对应的点的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】 A 【解析】 A；设izxy ，则有 (21)2 i(1)ixyxy，2222(21)(2 )(1)xyxy，化简得：22215339xy，故为圆【点评】 0zz 的几何意义为点z到点0z 的距离；0(0)zzr r中 z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点【例 11】复数1z ，2z 满足120z z，1212zzzz ，证明：21220zz【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212zzzz 知，以1OZuu uu r，2OZuuuu r为邻边的平行四边形为矩形，12OZOZuuu u ruuuu r，故可设12(0)zki kkzR，所以22 22122i0zkkz也可设12iizabzcd，则由向量()ab，与向量 ()cd，垂直知0acbd，122222i()()ii0izabacbdbcadbcadzcdcdcd，故22112220zzzz【例 12】已知复数1z ，2z 满足171z，271z，且124zz，求12zz与12zz的值【答案】47i3；4【解析】 设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由于222( 71)( 71)4 ，故2221212zzzz，故以1OZuuuu r，2OZuuuu r为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZOZuu u u ruuuu r，则127147ii371zz；12124zzzz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 7 of 16【例 13】已知12zz，C，121zz，123zz，求12zz 【解析】 设复数12zz， ，12zz 在复平面上对应的点为123ZZZ，由121zz知，以1OZuuu u r，2OZuuu u r为邻边的平行四边形是菱形，记O所对应的顶点为P，由123zz知，1120PZ O（可由余弦定理得到） ，故1260Z OZ，从而121zz【例 14】已知复数 z满足(23i)(23i)4zz，求 dz 的最大值与最小值【答案】max2213d，min1d【解析】设izxy ，则 ()xy，满足方程22(2)14yx2222282841(2) 333dxyxxx，又13x，故当10 xy，时，min1d；当82 533xy，时，有max2 213d3 复数的四则运算【例 15】已知mR，若6(i)64imm，则 m 等于（）A2B2C2D4 【答案】 B【解析】66366(i)(2i)8i64i82mmmmmm【例 16】计算：121009100(22 )( 2 3)( 13 )(12 3 )iiii【答案】511【解析】 原式1212100126910010099992(1i)(i2 3)2 (2i)121511( i)13 i(i2 3)132 (i)2 (i)2222【例 17】已知复数1cosiz，2siniz，则12zz 的最大值为（）A32B2C62D3 【答案】 A【解析】12(cosi)(sini)(cos sin1)(cossin)izz22(cos sin1)(cossin )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 8 of 162221cossin2sin 224，故当sin21时，12zz有最大值13242【例 18】对任意一个非零复数z ，定义集合|nzMw wznN，（）设 z是方程10 xx的一个根，试用列举法表示集合zM 若在zM 中任取两个数，求其和为零的概率P；（2）若集合zM中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由【答案】（1）13； （2）13i22z【解析】 （1） z 是方程210 x的根，iz或iz，不论iz或iz，234iiii i1i1 zM， ， ， ，于是2421C3P（2）取13i22z，则213i22z及31z于是23zMzzz，或取13i22z （说明：只需写出一个正确答案）【例 19】解关于x的方程256(2)i0 xxx【答案】123i2xx，【解析】 错解：由复数相等的定义得2235602220 xxxxxxx或分析： “iiabcdac，且bd成立” 的前提条件是abcdR， ， ，但本题并未告诉x 是否为实数法一：原方程变形为2(5i)62i0 xx，22(5i)4(62i)2i(1i)由一元二次方程求根公式得1(5i)(1i)3i2x，2(5i)(1i)22x原方程的解为13ix，22x法二：设i()xab abR，则有2(i)5(i)6(2)i0abababi，22(56)(252)i0abababba225602520abababba，由得：5221bab，代入 中解得：31ab或20ab，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 9 of 16故方程的根为123i2xx，【例 20】已知2211zxix，22()izxa，对于任意xR，均有12zz成立，试求实数a 的取值范围【答案】112a，【解析】12zz，42221()xxxa，22(12 )(1)0a xa对xR恒成立当120a，即12a时，不等式恒成立；当120a时，21201124(12 )(1)0aaaa综上，112a，【例 21】关于 x 的方程2(2)i10 xai xa有实根，求实数a的取值范围【答案】1a【解析】 误：方程有实根，22(2)4(1)450aiaia解得52a或52a析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程20(0)axbxca根的情况，而该方程中2ia与1i a并非实数正：设0 x 是其实根，代入原方程变形为200021()i0 xaxax，由复数相等的定义，得20002100 xaxxa，解得1a【例 22】设方程220 xxk的根分别为，且2 2 ，求实数k的值【答案】1k或3k【解析】 若，为实数，则440k且2222()()444(22)k，解得1k若，为虚数，则440k且，共轭，2222()()444(22)k，解得3k综上，1k或3k【例 23】用数学归纳法证明：(cosisin)cos()isin()nnnnN，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 10 of 16并证明1(cosisin)cosisin，从而 (cosisin)cos()isin()nnn【解析】1n时，结论显然成立；若对nk时，有结论成立，即(cosisin)cos()isin()kkk，则对1nk，1(cosisin)(cosisin)(cosisin)kk由归纳假设知，上式(cosisin)cos()isin()kk(coscossinsin)icossin()sincoskkkkcos(1) isin(1) kk，从而知对1nk，命题成立综上知，对任意nN ，有 (cosisin)cos()isin()nnnnN，易直接推导知：(cosisin)(cosisin)(cos()isin()(cosisin)cos0isin01故有1(cosisin)cosisin(cosisin)(cosisin)(cos()isin()nnncos()isin()cos()isin()nnnn【例 24】若cosisin是方程121210nnnnnxa xa xaxaL（12naaaRL， ，）的解，求证：12sinsin 2sin0naaanL【解析】 将解代入原方程得：11(cosisin)(cosisin)0nnnaaL，将此式两边同除以(cosisin)n，则有：12121(cosisin)(cosisin)(cosisin)0nnaaaL，即121(cosisin)(cos2isin 2 )(cosisin)0naaannL，1212(1coscos2cos)i(sinsin2sin)0nnaaanaaanLL，由复数相等的定义得12sinsin2sin0naaanL【例 25】设x、y为实数，且511213xyiii，则xy=_【答案】 4【解析】 由511213xyiii知，5(1)(12 )(13 )2510 xyiii ，即 (525)(5415)0 xyxyi，故525054150 xyxy，解得15xy，故4xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 11 of 16【例 26】已知1zz是纯虚数，求z在复平面内对应点的轨迹【答案】以102，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)， 和点 (1 0)，【解析】 法一：设izxy （ xyR，） ，则222i(1)i11i(1)zxyx xyyzxyxy是纯虚数，故220(0)xyxy，即 z的对应点的轨迹是以102，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点 (1 0)，法二：1zz是纯虚数， 011zzzz（0z且1z）011zzzz，(1)(1)0z zz z，得到22 zzz，设 zxyi （ xyR，） ，则22xyx （0y） z的对应点的轨迹以102，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点 (1 0)，【例 27】设复数 z满足2z，求24zz的最值【解析】 由题意，24zz z，则224(1)zzzzzzz zz设i(2222)zabab，则242i1i2 21zzababa当12a时，2min40zz，此时115i22z；当2a时，2min410zz，此时2z【例 28】若( )23if zzz，()63if zi，试求()fz 【答案】64i【解析】 ( )23if zzz，(i)2(i)(i)3i22ii3if zzzzz22i.zz又知(i)63if z，22i63izz设izab（ abR，） ，则izab ，2(i)(i)6iabab，即3i6iab，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 12 of 16由复数相等定义得361ab，解得21ab，2iz故()( 2i)2( 2i)( 2i)3i64ifzf【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：设izxy （ xyR，）的共轭复数为z ，则2zzx；2 izzy ； z 为实数2220zzzzz； z 为纯虚数200(0)zzzz；对任意复数有zz ；1212zzzz ；1212z zzz ，特别地有22( )zz；1122zzzz；2zz z zz ，22zzzz 1212zzzz，1122zzzz，121222zzzzzz以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明【例 29】已知虚数为1的一个立方根，即满足31，且对应的点在第二象限，证明2，并求23111与211的值【答案】 0；13i22【解析】 法一：321(1)(1)0 xxxx，解得：1x或13i22x由题意知13i22，证明与计算略；法二：由题意知31，故有22(1)(1)010又实系数方程虚根成对出现，故210 xx的两根为， 由韦达定理有132122233111110 2221113i1221【点评】利用13i22的性质：3313221()nnnnZ，210 可以快速计算一些相关的复数的幂的问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 13 of 16【例 30】若232012320nnaaaaaL（012213i22nnaaaaNRL， ， ，） ，求证：036147258aaaaaaaaaLLL【解析】23201232nnaaaaaL3647258036147258()()()aaaaaaaaaLLL2036147258()()()0aaaaaaaaaLLL设036147258AaaaBaaaCaaaLLL，则有20ABC，即1313ii02222ABC，2023()02ABCBC，解得ABC，即036147258aaaaaaaaaLLL 【例 31】设 z 是虚数，1wzz是实数，且12w（1）求 z 的值及 z的实部的取值范围；（2）设11zuz，求证： u 为纯虚数；（3）求2wu 的最小值【答案】（1）1z； z 的实部的取值范围是112，； （3）1【解析】 （1）设izab， abR，0b则22221iiiabwababababab，因为 w 是实数，0b，所以221ab，即1z于是2wa，122wa，112a，所以 z的实部的取值范围是112，（2）222211i12 ii11i(1)1zababbbuzababa因为112a， ，0b，所以 u 为纯虚数（3）2222211222221(1)(1)11baawuaaaaaaaa12 (1)31aa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 14 of 16因为112a， ，所以10a，故212 2 (1)34311wuaa当111aa，即0a时，2wu 取得最小值1【例 32】对任意一个非零复数z ，定义集合21|nzMw wznN，（1）设是方程12xx的一个根，试用列举法表示集合M；（2）设复数zM ，求证：zMM 【答案】（1）2222(1i)(1i)(1i)(1i)2222M，； （2）略【解析】 （1）是方程12xx的根，12(1i)2或22(1 i)2，当12(1i)2时， 21i ，2211111()innn11111i1i1M，2222(1i)(1i)(1i)(1i)2222，当22(1i)2时， 22i ，22222(1i)(1i)(1i)(1i)2222M，2222(1i)(1i)(1i)(1i)2222M，；（2）zM，存在mN，使得21mz于是对任意nN，21(21)(21)nmnz由于 (21)(21)mn是正奇数，21nzM ，zMM【例 33】已知复数01i(0)zm m，izxy 和iwxy，其中 xyxy， ， ， 均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z ，有0wzz ，2wz （1）试求 m 的值，并分别写出x和 y 用xy，表示的关系式；（2）将 ()xy，作为点P的坐标， ()xy，作为点 Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q 当点P在直线1yx上移动时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 15 of 16试求点P经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由【答案】（1）33xxyyxy； （2）(23)2 32yx；（3）这样的直线存在，其方程为33yx或3yx【解析】 （1）由题设，002wzzzzz ，02z，于是由214m，且0m，得3m，因此由(13i) (i)3( 3)ixyixyxyxy，得关系式33xxyyxy（2）设点()P xy，在直线1yx上，则其经变换后的点()Q xy，满足(13)3( 31)1xxyx，消去 x，得(23)2 32yx，故点 Q 的轨迹方程为(23)2 32yx（3）假设存在这样的直线，平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为(0)ykxb k该直线上的任一点()P xy，其经变换后得到的点(33)Q xyxy，仍在该直线上，3(3 )xyk xyb ，即(31)(3)kykxb ，当0b时，方程组(31)13kkk无解，故这样的直线不存在当0b，由(31)31kkk，得23230kk，解得33k或3k故这样的直线存在，其方程为33yx 或3yx 【习题 1】 已知02a，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 z 的取值范围是（）A 15，B 13，C 15，D 13，【答案】 C 课后检测名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 高中数学 .复数Page 16 of 16【解析】21za，而02a，15z【习题 2】 设 AB， 为锐角三角形的两个内角，则复数(cottan)(tancot)zBABA i 对应的点位于复平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】 B 【解析】sinsincoscoscos()tancot0sincossincosABABABBAABAB，cos()cottan0sincosABBABA【习题 3】 复数45(22i)(13i)等于（）A 13iB13iC13iD13i【解析】原式42522516(1i)1(2i)2213i21313( 2)ii2222，选 B【习题 4】 已知复数12zz，满足121zz，且122zz，求证：122zz【解析】 设复数12zz，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知121222zzzz ，以1OZuuu u r，2OZuu uu r为邻边的平行四边形为正方形，而12zz 在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以122zz【习题 5】 设复数1z ，2z 满足12120zzA zA z，其中5A，求12zAzA 的值【答案】 5【解析】121212zAzAzAzAzAzA121212()()zAzAzzA zA zA A ，把12120zzA zA z代入上式，得2125zAzAA AA名师资料总结 - 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