2022年高中下数学必修基础知识点 .pdf

1 / 11 高中数学必修 2 知识点一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义： x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0 180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1) 当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90；(2)k与P1、P2的顺序无关； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜率 k，且过点11,yx注意： 当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22, yx截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴的 截距 分别为,a b 。一般式：0CByAx（A，B 不全为 0）注意： 1各式的适用范围2特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：by（b 为常数）；平行于 y 轴的直线：ax（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0 的常数）的直线系：000CyBxA（C 为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为k的直线系：00 xxkyy，直线过定点00, yx；（）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2 / 11 （7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21/ ll；方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式：设1122(,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121|()()ABxxyy（9）点到直线距离公式： 一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为r；（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时，方程表示圆，此时圆心为2,2ED，半径为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到l的距离为22BACBbAad，则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有相离与Cl0；相切与Cl0；相交与Cl0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200ryyxx去解直线与圆相切的问题，其中00, yx表示切点坐标，r 表示半径。(3)过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为200ryyxx(课本命题 )圆 (x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2(课本命题的推广)4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3 / 11 当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示 ：用各顶点字母，如五棱柱EDCBAABCDE或用对角线的端点字母，如五棱柱AD几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示 ：用各顶点字母，如五棱锥EDCBAP几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示 ：用各顶点字母，如五棱台EDCBAP几何特征 ：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征： 上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征： 球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右） 、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。3、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4 / 11 （2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长， h为高，h为斜高， l 为母线）chS直棱柱侧面积rhS2圆柱侧21chS正棱锥侧面积rlS圆锥侧面积)(2121hccS正棱台侧面积lRrS)(圆台侧面积lrrS2圆柱表lrrS圆 锥 表22RRlrlrS圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式VSh柱2VShrh圆柱13VSh锥hrV231圆锥1()3VSS SS h台2211()()33VSSSS hrrRRh圆台（4）球体的表面积和体积公式：V球=343R； S球面=24 R4、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的； 平面的表示： 通常用希腊字母、表示，如平面 （通常写在一个锐角内） ；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。 点与平面的关系：点 A 在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点 A 的直线 l 上，记作： Al；点 A 在直线 l 外，记作Al；直线与平面的关系：直线 l 在平面 内，记作 l；直线 l 不在平面 内，记作 l。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用： 检验桌面是否平；判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,Al Bl ABl（3）公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论： 一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理 2 及其推论作用：它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据（4）公理 3： 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号： 平面和相交，交线是a，记作 a。符号语言：,PABABl Pl公理 3 的作用：它是判定两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 5 / 11 （5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质 ：既不平行，又不相交。 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a a，bb，则把直线a 和 b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明 ： （1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O 是任取的，而和点O 的位置无关。求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内 有无数个公共点三种位置关系的符号表示：aaA a（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；相交有一条公共直线。b 5、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。线线平行线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行面面平行） ，（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。线面垂直： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角 （从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 6 / 11 面面垂直的判定定理和性质定理判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。9、空间角问题（1）直线与直线所成的角两平行直线所成的角：规定为0 。两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b 平行的直线ba ,，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。（2）直线和平面所成的角平面的平行线与平面所成的角：规定为0。平面的垂线与平面所成的角：规定为90。平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算” 。在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线； （2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个 面内分别作 垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角求二面角的方法定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角7、空间直角坐标系（1）定义 ：如图，,OBCDD A B C是单位正方体 . 以 A为原点，分别以 OD,O,A ,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y 轴.z 轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 1）O叫做坐标原点 2 ）x 轴， y 轴，z 轴叫做坐标轴 . 3 ）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为 x 轴正方向， 食指指向为y 轴正向， 中指指向则为z 轴正向， 这样也可以决定三轴间的相位置。（3）任意点坐标表示：空间一点M 的坐标可以用有序实数组( , , )x y z来表示，有序实数组( , , )x y z叫做点 M在此空间直角坐标系中的坐标，记作( , , )M x y z（x 叫做点 M的横坐标，y 叫做点 M的纵坐标， z 叫做点 M的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式：212212212)()()(zzyyxxd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 7 / 11 高中数学必修5 知识点1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC2、正弦定理的变形公式：2sinaR，2sinbR，2sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；sinsinsinsinsinsinabcabcCC3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababC5、余弦定理的推论：222cos2bcabc，222cos2acbac，222cos2abcCab6、设a、b、c是C的角、C的对边，则：若222abc，则90C；若222abc，则90C；若222abc，则90C7、数列：按照一定顺序排列着的一列数8、数列的项：数列中的每一个数9、有穷数列：项数有限的数列10、无穷数列：项数无限的数列11、递增数列：从第2 项起，每一项都不小于它的前一项的数列12、递减数列：从第2 项起，每一项都不大于它的前一项的数列13、常数列：各项相等的数列14、摆动数列：从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列15、数列的通项公式：表示数列na的第n项与序号n之间的关系的公式16、数列的递推公式：表示任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系的公式17、如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差18、由三个数a，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为a与b的等差中项若2acb，则称b为a与c的等差中项名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 8 / 11 19、若等差数列na的首项是1a，公差是d，则11naand20、通项公式的变形：nmaan m d；11naand；11naadn；11naand；nmaadnm21、若na是等差数列，且mnpq（m、n、p、*q） ，则mnpqaaaa；若na是等差数列，且2npq（n、p、*q） ，则2npqaaa22、等差数列的前n项和的公式：12nnn aaS；112nn nSnad23、等差数列的前n项和的性质：若项数为*2n n，则21nnnSn aa，且SSnd偶奇，1nnSaSa奇偶若项数为*21nn，则2121nnSna，且nSSa奇偶，1SnSn奇偶（其中nSna奇，1nSna偶） 24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 则G称为a与b的等比中项 若2Gab，则称G为a与b的等比中项26、若等比数列na的首项是1a，公比是q，则11nnaa q27、通项公式的变形：n mnmaa q；11nnaa q；11nnaqa；nmnmaqa28、若na是等比数列，且mnpq（m、n、p、*q） ，则mnpqaaaa；若na是等比数列，且2npq（n、p、*q） ，则2npqaaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 9 / 11 29、等比数列na的前n项和的公式：11111111nnnna qSaqaa qqqq30、等比数列的前n项和的性质：若项数为*2n n，则SqS偶奇nnmnmSSqSnS，2nnSS，32nnSS成等比数列31、0abab；0abab；0abab32、不等式的性质：abba；,ab bcac；abacbc；,0ab cacbc，,0ab cacbc；,ab cdacbd；0,0abcdacbd；0,1nnababnn；0,1nnabab nn33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24bac000二次函数2yaxbxc0a的图象一元二次方程20axbxc0a的根有两个相异实数根1,22bxa12xx有两个相等实数根122bxxa没有实数根一元二次不等式的解集20axbxc0a12x xxxx或2bx xaR20axbxc12x xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 10 / 11 0a35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对, x y，所有这样的有序数对, x y构成的集合38、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC，坐标平面内的点00,xy若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的上方若0，000 xyC，则点00,xy在直线0 xyC的下方39、在平面直角坐标系中，已知直线0 xyC若0， 则0 xy C表示直线0 xyC上方的区域；0 xyC表示直线0 xyC下方的区域若0， 则0 xy C表示直线0 xyC下方的区域；0 xyC表示直线0 xyC上方的区域40、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满足线性约束条件的解, x y可行域：所有可行解组成的集合最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解41、设a、b是两个正数，则2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数42、均值不等式定理：若0a，0b，则2abab，即2abab43、常用的基本不等式：222,abab a bR；22,2ababa bR；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 11 / 11 20,02ababab；222,22ababa bR44、极值定理：设x、y都为正数，则有若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -