2022年高中数学第三章三角恒等变形章末分层突破学案北师大版必修 .pdf

1 【课堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学第三章 三角恒等变形章末分层突破学案北师大版必修 4 自我校对 sin2cos21 sin cos tan CS2T2_ _ _ _ _ 三角函数式的求值问题三角函数式的求值主要有三种类型：一是给角求值；二是给值求值；三是给值求角1给角求值：这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用2给值求值：这类题目的解法较上类题目灵活、多变，主要解答方法是利用三角恒等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 变形中的拆角变形及同角三角函数的基本关系式，和、差、倍、半角公式的综合应用由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个热点3给值求角：这类问题的解法规律是根据已知条件，求出该角的某种三角函数值，并根据条件判断出所求角的范围，然后确定角的大小，其难点在于有时不但要看角的三角函数值的符号，还要看其大小，以缩小角的范围已知 04，04，且 3sin sin(2 ) ，4tan 21tan22，求 的值【精彩点拨】因为 2( ) ，( ) ，由已知条件3sin sin(2 ) ，即可求得tan( ) 【规范解答】3sin sin(2 ) ，3sin() sin() ，即 2sin( )cos 4cos( )sin . tan( )2tan . 又 4tan 21tan22，tan 2tan 21tan2212，tan( )2tan 1. 又 04，04，4. 再练一题 1已知2x0，sin xcos x15. (1) 求 sin 2x和 cos xsin x的值；(2) 求sin 2x2sin2x1tan x的值【解】(1) 由 sin xcos x15，平方得 1sin 2x125，所以 sin 2x2425. 因为2xsin x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 所以 cos xsin x12sin xcos x75. (2)sin 2x2sin2x1tan x2sin xcos x2sin2x1sin xcos x2sin xcos xsin xcos xsin xcos xsin 2xcos xsin xcos xsin x24251724175. 三角函数式的化简三角函数式的化简，主要有以下几类：对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式； 对三角的分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或较简式子；对二次根式， 则需要运用倍角公式的变形形式在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”、“复角化复角”等具体手段以实现三角函数式的化简化简：(1)2sin 130 sin 100 13tan 370 1cos 10 ；(2)cos4xsin4xcos4xsin4x. 【精彩点拨】(1) 把“切化弦”然后逆用和差公式及二倍角公式求解(2) 利用同角三角函数关系及两角和与差的正切公式化简【规范解答】(1) 原式2sin 50 sin 80 132cos 5 2sin 50 sin 80 cos 10 3sin 10 cos 10 2cos 5 2sin 50 2sin 40 2cos 5 22cos 5 22sin2cos 5 2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 (2) 原式1tan4x1tan 4xtan4tan4x1tan 4tan4xtan44x tan x. 再练一题 2化简 sin2sin2 cos2cos212cos 2 cos 2 . 【解】原式 sin2sin2cos2cos212(2cos21) (2cos21) sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21) sin2sin2cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2(1 cos2) cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2(sin2cos2) cos212sin2cos21211212. 三角恒等式的证明三角恒等式的证明，就是运用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几个方面：角的差异；三角函数名称的差异；三角函数式结构形式上的差异针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化证明三角恒等式的常用方法有：左右互推、左右归一、恒等变形、分析法、综合法三角恒等式的证明可分为两类：不附条件的三角恒等式的证明和附条件的三角恒等式的证明 不附条件的三角恒等式的证明多用综合法、分析法、恒等变形等附条件的三角恒等式的证明关键在于恰当、合理地运用条件， 或通过变形观察所给条件与要证等式之间的联系，找到问题的突破口，常用代入法或消元法证明求证：sin 4x1cos 4xcos 2x1cos 2xcos x1cos xtan x2. 【精彩点拨】等式两边涉及到的角有4x,2x，x，x2等角，故可将左边4x,2x，x化为x2的形式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 【规范解答】左边2sin 2xcos 2x2cos22xcos 2x2cos2xcos x1cos x2sin 2xcos22xcos x2cos22x2cos2x2cos2x2sin 2x2cos x2cos2x22sin xcos x2cos x2cos2x22sin x2cos x22cos2x2sin x2cos x2tan x2右边等式成立 再练一题 3求证：1sin 4 cos 4 2tan 1sin 4 cos 4 1tan2. 【证明】原式等价于1sin 4 cos 4 1sin 4 cos 4 2tan 1tan2，即1sin 4 cos 4 1sin 4 cos 4 tan 2 ，而上式左边12sin 2 cos 2 2sin2212sin 2 cos2 2212sin 2 cos 2 2sin222sin 2 cos 2 2cos222sin 2 sin 2 2cos 2 cos 2 tan 2 右边，所以原式得证. 三角函数与平面向量的综合应用三角函数与平面向量相结合是近几年来高考的亮点，它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面此类题目所涉及向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三角函数的图像与性质，以及三角函数的化简、求值已知向量a cos 3x2，sin 3x2，b cos x2， sin x2，且x3，4. (1) 求ab及|ab| ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 (2) 若f(x) ab|ab| ，求f(x) 的最大值和最小值【精彩点拨】本题主要考查向量的数量积的坐标运算、向量的模及两角和与差的三角函数 (1) 按向量数量积与向量加法运算结合三角函数知识求解、化简；(2) 化简f(x)，并参照x 3，4，求出最大值和最小值【规范解答】(1)abcos 3x2cos x2sin 3x2sin x2cos 2x，|ab| cos 3x2cos x22 sin 3x2sin x2222cos 2x2|cos x|. x 3，4，cos x0，即|ab| 2cos x. (2) f(x) cos 2x2cos x2cos2x2cos x1 2 cos x12232，且x 3，4，12cos x1.当 cos x12时，f(x) 取得最小值32；当 cos x1 时，f(x) 取得最大值为1. 再练一题 4已知向量m(sin x,1) ，n3Acos x，A2cos 2x(A0)，函数f(x) mn的最大值为 6. (1) 求A；(2) 将函数yf(x) 的图像向左平移12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数yg(x) 的图像，求g(x) 在 0，524上的值域【解】(1)f(x) mn3Asin xcos xA2cos 2x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 A32sin 2x12cos 2xAsin2x6. 因为A0，由题意知A6. (2) 由(1)f(x) 6sin2x6. 将 函 数yf(x) 的 图 像 向 左 平 移12个 单 位 后 得 到y 6sin2x1266sin2x3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y6sin4x3的图像因此g(x) 6sin4x3. 因为x 0，524，所以 4x33，76，故g(x) 在 0，524上的值域为 3,6. 转化与化归思想三角式的恒等变形是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变形，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式转化与化归思想是三角恒等变形应用最广泛，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变形的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用已知向量a(2sin x，cos x) ，b(3cos x，2cos x) ，定义函数f(x) ab1. (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)的单调递减区间；(3) 画出函数g(x) f(x) ，x 712，512的图像，由图像写出g(x) 的对称轴和对称中心【精彩点拨】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、三角公式及三角函数图像和性质，化简函数式为f(x) Asin( x) B的形式，然后求解【规范解答】f(x) 23sin xcos x2cos2x1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 3sin 2xcos 2x2sin2x6. (1)T22. (2)2k22x62k32?k6xk23(kZ) ，函数f(x) 的单调递减区间为k6，k23(kZ) (3) 列表及图像如下：x 71231265122x6202y 02020 从图像可以看出，此函数有一个对称中心12，0 ，无对称轴 再练一题 5已知函数f(x) Acosx46，xR，且f32. (1) 求A的值；(2) 设 ， 0，2，f443 3017，f42385，求 cos( ) 的值【解】(1) 因为f32，所以Acos1436Acos422A2，所以A2. (2) 由(1) 知f(x) 2cosx46，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 f4432cos 36 2sin 3017，所以sin 1517，因为0，2，所以 cos 817. 又因为f4232cos 662cos 85，所以 cos 45，因为 0，2，所以 sin 35，所以 cos( ) cos cos sin sin 817451517351385. 1(2015重庆高考) 若 tan 13，tan( ) 12，则 tan ( ) A17B16C57D56【解析】tan tan( ) tantan 1tan12131121317. 【答案】A 2(2015浙江高考) 函数f(x) sin2xsin xcos x1 的最小正周期是_，最小值是 _【解析】f(x) sin2xsin xcos x1 1cos 2x212sin 2x13222sin2x4. 故最小正周期T22. 当 sin2x41 时，f(x) 取得最小值为3222322. 【答案】3223(2015上海高考) 函数f(x) 13sin2x的最小正周期为_【解析】因为 2sin2x1cos 2x，所以f(x) 132(1 cos 2x) 1232cos 2x，所以函数f(x) 的最小正周期为22. 【答案】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 4(2015四川高考) 已知 sin 2cos 0，则2sin cos cos2 的值是_【解析】由 sin 2cos 0，得 tan 2. 所以 2sin cos cos22sin cos cos2sin2 cos22tan 1tan214141 1. 【答案】1 5(2015四川高考 )sin 15 sin 75 _. 【解析】sin 15 sin 75 sin 15 cos 15 222sin 15 22cos 15 2(sin 15 cos 45 cos 15 sin 45 )2sin 60 23262. 【答案】62名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -