2022年高三数学分段函数 .pdf

211 分段函数与绝对值函数随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题 ,以明析强化之一、明确复习目标了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法二建构知识网络1. 分段函数 : 定义域中各段的x 与 y 的对应法则不同, 函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。2. 绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数. 3. 分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值, 讨论奇偶性单调性等。4. 分段函数的处理方法: 分段函数分段研究. 三、双基题目练练手1. 设函数 f（x）=, 114, 1)1(2xxxx则使得 f（x） 1 的 x 的取值范围为( ) A.（， 2 0，10B.（， 2 0，1C.（， 2 1，10D. 2，0 1，102(2006 安徽 )函数22 ,0,0 x xyxx的反函数是（）A,02,0 xxyx x B 2 ,0,0 x xyx xC,02,0 xxyx x D2 ,0,0 x xyx x3(2007 启东质检 )已知21 1,0)( )10,1xxf xxx，则下列函数图象错误的是 ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4.（2006 全国）函数191( )nf xxn的最小值为( ) （A）190 （B）171 （C）90 （D）45 5. （2005 北京市西城模拟）已知函数f（x）=),2(2),2(2xxx则 f（lg30lg3）=_；不等式 xf（x1） 10 的解集是 _. 6. （2006 浙江）对Rba,记则babbaaba,max则函数Rxxxxf2,1max的最小值是. 7. 已知函数132(0)( )3(01)log(1)xxf xxxx,当 a0 时,fff(a)= 8. 函数221 (0)( )(0)xxfxxx的值域。简答:1-4.ACDC; 4.x=10 时, 取最小值 90.f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-19| =|x-1|+|x-10|+|11-x|+|19-x| |x-1+x-2+x-9+11-x+ 19-x|+|x-10| |90|+0=90, 当 x=10 时取等号 . 一般地 : 5. f（ lg30lg3）=f（lg10）=f（1）=2，f（x1）=.32, 33xxx当 x3 时， x（x3） 102x5，故 3x5. 当 x3 时， 2x10 x5，故 5x3.解集 x|5x5 6. 由21212122xxxxx，112122xxfxxx如右图min1322fxf7.12;8. 当 x0 时， x2+11；当 x0 时， x20 时， x0, f( x)= (x)2(x+1)=x2(x1)=f(x) ；当 x=0 时， f(0)=f(0)=0 ；当 x0，不合题意，所以,a b不存在当(0,1)(1,)ab或时，由（ 2）知 0 在值域内，值域不可能是,ma mb，所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - ,a b不存在故只有,1,a b|11|)(xxf在（1， ）上是增函数，( ),( ).f amaf bmb，即11,11.maambb,a b是方程210mxx有两个根即关于 x 的方程210mxx有两个大于1 的实根设这两个根为12,x x则121211,xxxxmm12120,(1)(1)0,(1)(1)0.xxxx即140,120.mm解得104m综上 m 的取值范围是104m【例 4】设 a 为实数，设函数xxxaxf111)(2的最大值为g(a)。（）设txx11，求 t 的取值范围，并把f(x)表示为 t 的函数 m(t)；（）求g(a)；解： （I ） t=x1+x1, 要使 t 有意义，必须1+x0 且 1-x 0，即 -1x1. t2=2+221x2,4,t0, t 的取值范围是 2,2. 由得21x=21t2-1, m(t)=a(21t2-1)+t=21at2+t-a,t2,2. ( ) 由题意知g(a) 即为函数 m （t ）=21at2+t-a, t2,2 的最大值 . 注意到直线t=-a1是抛物线 m(t)= 21at2+t-a 的对称轴，分以下几种情况讨论. (1) 当 a0 时，函数 y=m(t), t2,2 的图像是开口向上的抛物线的一段，由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - t=-a10 知 m(t) 在2,2 上单调递增 , g(a)=m(2)=a+2. (2) 当 a=0 时， m(t)=t,t2,2, g(a)=2. (3) 当 a0 时，函数 y=m(t), t2,2 的图像是开口向下的抛物线的一段. 若 t=-a1(0,2 ，即 a-22，则 g(a)=m(2)=2. 若 t=-a1(2,2 ，即 a(-22,-21则 g(a)=m(-a1)=-a-a21. 若 t=-a1(2,+ ) ，即 a(-21,0),则 g(a)=m(2)=a+2. 综上有 g(a)=12,2121,22222,.2aaaaaa核心步骤: (1) m(t)=a(21t2-1)+t=21at2+t-a,t2,2. (2)求 g(a)=m(t)max,按对称轴相对于区间2,2 的位置 , 对 a 分类分类讨论.【研讨 .欣赏】 (2000 全国) 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示( ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=tf；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=tg；( ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - (注：市场售价和种植成本的单位：元/210kg，时间单位：天) 解：()由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=;300200,3002,2000300tttt，由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=2001(t150)2100，0t300()设 t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)g(t) 即 h(t)=300200210252720012000217521200122tttttt，当 0t 200 时，配方整理得h(t)=2001(t50)2100，所以，当t=50 时， h(t)取得区间 0，200上的最大值100；当 20087.5 可知，h(t) 在区间 0,300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50 天时，上市的西红柿纯收益最大思路点拨:题() 分段写出收益与时间的函数关系h(t), 是分段函数 ,再分段求最值 . 五提炼总结以为师1. 分段函数、绝对值函数问题类型2. 分段函数的处理方法: 分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式。同步练习211分段函数与绝对值函数【选择题】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1.(2006 山东 )设12322( )log (1) 2xexf xxx，则不等式( )2f x的解集为( ) A.(1,2)(3,)UB.( 10,)C.(1,2)( 10,)UD.(1,2)2已知函数(21)72(1)( ) (1)xaxaxf xax在（ ， ）上单调递减，则实数a的取值范围是( ) A （0,1）B （0,21）C3,18D3 1,8 23.已知函数21)(, 12)(xxgxfx构造函数 F(x)，定义 F如下：当)(|)(|xgxf时，| )(|)(xfxF，当)(|)(|xgxf时，)()(xgxF，那么)(xF( ）A有最小值1，无最大值B有最小值0，无最大值C有最大值1，无最小值D无最小值，也无最大值【填空题】4. 已知 f（x）=, 0, 0, 0, 1xx则不等式xf（x）+x2 的解集是 _. 5. （2005 北京东城模拟）定义“符号函数”f（x）=sgnx=,01,00,01xxx则不等式x+2（x2）sgnx的解集是 _. 6. 已知函数f(x)=|x22x3|的图象与直线y=a 有且仅有 3 个交点，则a= 。简答提示:1-3. C DA; 4.分段解取并集 x|x1; 5. （5，+） ;6. 由图象易知a=4。【解答题】7. 求函数21 (0)( )1(0)xxf xxx的反函数。解： f(x)在 R 上是单调减函数， f(x)在 R 上有反函数。 y=x2+1(x0)的反函数是1yx(x1), y=1x(x0)的反函数是y=1x(x1), 函数 f(x)的反函数是11 (0)( )1(0)xxfxxx注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8. 设 A= x| x|= kx+1, 若 AR+=, AR-, 求实数 k 的取值范围 . 解法 1: 方程 | x|= kx+1的解是函数y=| x| 和 y=kx+1 交点的横坐标 , 结合图形知 , 当直线y=kx+1 在范围内时 , 方程有负根 , 且没有正根 , 故 k1. 解法 2: 由题意须01xxkx有解 , 01xxkx无解 . 中 k=-1 时无解 ,11 ,011kxkk时得; 中 k=1 时无解 ,k 0 时, 若101,1xkk即则有解 , 所以 , k 1. 9. (2005 浙江)已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x( )求函数 g(x)的解析式；( )解不等式 g(x)f(x)|x1|；( )若 h(x)g(x)f(x)1 在1，1上是增函数，求实数的取值范围解： （I）设函数( )yf x的图象上任一点00(,)Q xy关于原点的对称点为( , )P x y, 则000202xxyy即00 xxyy. 点00(,)Q xy在函数( )yf x的图象上 . 22 ,yxx即22 ,yxx故 g(x)22xx. (II) 由( )( )|1|g xfxx可得：22|1|0 xx当x1 时，221|0 xx此时不等式无解。当1x时，2210 xx112x因此，原不等式的解集为-1, 12. (III) 2( )(1)2(1)1.h xxx当1时，( )h x41x在-1,1上是增函数，1当1时，对称轴的方程为11xy= |x+1|y=|x|y-11ox名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - (i) 当1时，111，解得1。(ii)当1时，111 时，解得10综上 ,010. 某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：),(32),1(961NxcxNxcxxP（其中 c 为小于 96 的正常数）注：次品率生产量次品数P，如0.1P表示每生产10 件产品，约有1 件为次品其余为合格品已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量（ 1）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；（ 2）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解（1）当xc时，23P，所以，每天的盈利额120332ATxAx;当1xc时，196Px，所以，每日生产的合格仪器约有1196xx件，次品约有196xx件故，每天的盈利额1131969622 96AxTxAxxAxxx. 综上，日盈利额T（元）与日产量x（件）的函数关系为：3, 12 960,xxAxcTxxc（2）由（ 1）知，当xc时，每天的盈利额为0当1xc时，32 96xTxAx令96xt，则09695ct故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 9611449697221144147972022tTtAtAtttAAt当且仅当144tt，即1288tx即时，等号成立 所以（ i）当88c时，max1472TA（等号当且仅当88x时成立）（ii） 当188c时，由1xc得129695ct，易证函数144g ttt在(12,)t上单调递增（证明过程略）所以，( )96g tgc所以，211441144144 1892979796022961922ccTtAcAAtcc即2max144 18921922ccTAc （等号当且仅当xc时取得）综上，若8896c，则当日产量为88 件时，可获得最大利润；若188c，则当日产量为c时，可获得最大利润点评：分段函数是历年高考的热门话题，常考常新，值得我们在复课时认真对待【探索题】 (2006 福建 ) 已知函数2( )8 ,( )6ln.f xxx g xxm（I）求( )f x在区间,1t t上的最大值( );h t（II）是否存在实数,m使得( )yf x的图象与( )yg x的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。解： （I）22( )8(4)16.fxxxx当14,t即3t时，( )f x在,1t t上单调递增，22( )(1)(1)8(1)67;h tf ttttt当41,tt即34t时，( )(4)16;h tf当4t时，( )f x在,1t t上单调递减，2( )( )8 .h tf ttt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 综上，2267,3,( )16,34,8 ,4ttth ttttt（II）函数( )yfx的图象与( )yg x的图象有且只有三个不同的交点，即函数( )( )( )xg xf x的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。22( )86ln,62862(1)(3)( )28(0),xxxxmxxxxxxxxxxQ当(0,1)x时，( )0, ( )xx是增函数；当(1,3)x时，( )0, ( )xx是减函数；当(3,)x时，( )0, ( )xx是增函数；当1,x或3x时，( )0.x( )(1)7, ( )(3)6ln 315.xmxm最大值最小值Q当x充分接近 0 时，( )0,x当x充分大时，( )0.x要使( )x的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须( )70,( )6ln 3 150,xmxm最大值最小值即7156ln3.m所以存在实数m，使得函数 y =f(x)与 y=g (x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为 (7,15-ln3) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -