2022年高中数学第三章三角恒等变形..两角和与差的正切函数学案北师大版必修 .pdf

1 2.3 两角和与差的正切函数1能利用两角和( 或差 ) 的正弦、余弦公式导出两角和( 或差 ) 的正切公式 ( 重点 ) 2掌握公式T 及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题( 难点) 基础初探 教材整理两角和与差的正切公式阅读教材 P121例 4 以上部分，完成下列问题两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T( )tan( ) 错误 !，k2(kZ) 且 tan tan 1两角差的正切T( )tan( ) 错误 !，k2(kZ) 且 tan tan 1 1. 变形公式tan tan tan( )(1 tan tan ) ；tan tan tan( )(1 tan tan ) ；tan tan 1tan tan . 2公式的特例tan4 1tan 1tan ；tan4 1tan 1tan . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 判断 (正确的打“”，错误的打“”)(1)tan tan ， tan( ) ， tan tan 三者知二，可表示或求出第三个 ( ) (2)tan23能用公式 tan( ) 展开 ( ) (3) 存在 ，R，使 tan( ) tan tan 成立 ( ) (4) 公式 T() ，对任意， 都成立 ( ) 【解析】由 T( )知，(1) 对，(2) 错，(4) 错对于 (3) ，存在 6，6. 此时， tan( ) tan tan 0. 【答案】(1) (2) (3) (4) 质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_ 解惑： _ 疑问 2：_ 解惑： _ 疑问 3：_ 解惑： _ 小组合作型 两角和与差的正切公式的灵活运用求下列各式的值(1)3tan 15 13tan 15 ；(2)tan 23 tan 37 3tan 23 tan 37 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3 【精彩点拨】解决 (1) 题可考虑3tan 6 0，再逆用公式，解决(2) 题注意到233760，而tan 60 3，故联想tan(23 37) 的展开形式，并变形，即可解决【自主解答】(1) 原式tan 60 tan 15 1tan 60 tan 15 tan 75 tan(45 30)13313333339363623. (2) tan(23 37) tan 60 tan 37 tan 23 1tan 23 tan 37 3，tan 23 tan 37 3(1 tan 23 tan 37 ) ，原式3(1 tan 23 tan 37 ) 3tan 23 tan 37 3. 1若化简的式子里出现了“tan tan ”及“ ta n tan ”两个整体，常考虑tan( ) 的变形公式2解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1) 把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值(2) 在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的正切公式的结构形式，然后逆用公式求值 再练一题 1(1)tan 15 tan 30 tan 15 tan 30 ；(2)(3 tan 30tan 40tan 40tan 50tan 50tan60) tan 10.【解】(1)tan 15 tan 30 tan(15 30)(1 tan 15 tan 30 )tan 45 (1tan 15 tan 30 )1tan 15 tan 30 ，所以原式 1tan 15 tan 30 tan 15 tan 30 1. (2) 原式 (1 tan 30tan 40 1tan 40tan 50 1tan 50tan 60) tan 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 4 10，因为 tan 10 tan(40 30) tan 40 tan 30 1tan 40 tan 30 ，所以 1tan 40 tan 30 tan 40 tan 30 tan 10 . 同理， 1tan 40 tan 50 tan 50 tan 40 tan 10 ，1tan 50 tan 60 tan 60 tan 50 tan 10 . 所以原式tan 40 tan 30 tan 10tan 50 tan 40 tan 10 tan 60 tan 50 tan 10 tan 10 tan 40 tan 30 tan 50 tan 40 tan 60 tan 50 tan 30 tan 60 333233. 给值求角已知 0，4，(0，) ，且 tan( ) 12，tan 17.求(2 ) 的值 . 【导学号： 66470070】【精彩点拨】先由 ( ) ，求出 tan ，再由 2( ) 求出 tan(2 ) ，然后根据， 的范围，求出2 的值【自主解答】tan( ) 12，tan 17. tan tan () tan 112171171213. tan(2 ) tan( ) tan 11213112131. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 04，又 01. 34， 34， 2， 24，234. 1本题中隐含着角， 的范围，需通过tan ，tan 的值缩小其范围2已知某三角函数值求角问题，通常分两步：(1) 先求角的某个三角函数值( 由题中已知名称和范围确定)；(2) 根据角的范围确定角，必要时可利用值缩小角的范围 再练一题 2已知 tan ，tan 是方程x23 3x40 的两根，22，22，求 的值【解】tan tan 3 30，tan 0，tan 0. 22，22，20，20， 0. tan( )tan tan 1tan tan 3 3143，23. 探究共研型 正切公式的综合应用探究 1 与 怎样建立联系？【提示】( ) 探究 2 若 ，则 tan 与 tan 存在怎样关系？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 【提示】tan tan( ) tan . 探究 3 在ABC中，A，B，C三个角有什么关系？【提示】ABC 或A2B22C2. 在ABC中， tan Btan C3tan Btan C3，且3tan A3tan B1tan Atan B，判断ABC的形状【精彩点拨】可先求出tan(BC) 和 tan(AB) 的值再由诱导公式分别求tan A和tan C的值，从而可得A，B，C可判断三角形形状【自主解答】tan Atan (BC) tan(BC) tan Btan Ctan Btan C133tan Btan Ctan Btan C13，又 0A180，A120，而 tan Ctan (AB) tan Atan Btan Atan B1tan Atan B3tan A3tan B33. 又 0C180，C30，B30.ABC是顶角为 120的等腰三角形1等式中同时出现tan Atan B与 tan Atan B时，一般是构造tan(AB) ，利用两角和与差的正切公式求解2在三角形中要注意应用ABC 这一隐含条件 再练一题 3在ABC中，C120， tan Atan B233.求 tan AtanB【解】因为ABC180，C120，所以 tan(AB)tan 60 3. 又 tan(AB) tan Atan B1tan Atan B，所以2331 tan tan 3，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7 解得 tan Atan B13. 1若 tan 12，tan 13，则 tan( ) ( ) A12B1 C.22D2 【解析】tan( ) tan tan 1tan tan 1213112131. 【答案】B 2已知 2， ，sin 35，则 tan 4等于 ( ) A17B7 C17D 7 【解析】由 2， ，sin 35，得 cos 1sin245，所以 tan 34，所以 tan 4tan tan 41tan tan4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 8 34 113417. 【答案】A 3已知 tan42，则 tan 等于 _【解析】tan4tan 11tan 2，解得 tan 3. 【答案】3 4已知 tan tan 2，tan( ) 4，则 tan tan _. 【导学号： 66470071】【解析】tan( ) tan tan 1tan tan 21tan tan 4，所以 tan tan 12. 【答案】125已知 tan 13，cos 55. 若 0 90 180，求 的值【解】cos 55，90 180，sin 1cos2255，tan sin cos 2，又 tan 13，tan( )tan tan 1tan tan 1. 0 90 180，90 270，135.我还有这些不足：(1)_ (2)_ 我的课下提升方案：(1)_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 9 (2)_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -