2022年高级高考数学一轮复习必备立体几何核心知识点和解题思想汇总 .pdf

立体几何高考知识点和解题思想汇总第一节平面、空间直线核心知识点1、 平面的概念和性质：（1） 、平面的基本特征：平的；无厚度；可以无限延展、无边界。（2） 、平面的基本性质：三个公理、三个推论：公理 1、已知直线a及平面，若点aBA,，且BA,则a；（作用：证明一条直线在一个平面内的依据）公理 2、若两个平面,有一个公共点P，则,有且仅有一条过P的公共直线；（作用：判定两平面相交；判断点在直线上，证明若干点共线的依据）公理 3、不共线的三点可唯一确定一个平面。其有如下三个推论：推论 1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；推论 2、经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3、经过两条平行直线有且只有一个平面；（公理 3 及推论的作用：空间中确定平面的依据；为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法）2、空间两直线的位置关系：（1） 、空间两不重合直线的位置关系：相交，平行，异面；从公共点角度：有且只有一个公共点相交；没有公共点平行或异面；从共面与否的角度：在同一个平面内相交或平行；不同在任何一个平面异面；（2） 、平行直线：公理 4、 （平行公理）平行于同一直线的两直线平行，即ba /且cb /ca /；等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；推论：如果两相交直线和另两相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等。（3） 、异面直线：定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；异面直线所成的角： 设ba,是两异面直线， 经过空间中任意一点O， 分别引直线aa /，bb /，则称 a与b所成的角（锐角或直角）叫做异面直线ba,所成的角；两异面直线所成的角90,0(，当90时称ba,互相垂直，记为ba； （说明：该角与点O的选择无关；体现由“立体”向“平面”转化的思想，是立体几何中最常用的转化思想）距离： 和两异面直线ba,都垂直且相交的直线（有且仅有一条），叫做两异面直线ba,的公垂线，两垂足间的距离叫做异面直线ba,间的距离方法总结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - （1） 、符号语言：点,A B C，线, , , ,a b c l m，面, ,；表示方法：lA，lA；A，A；l，l；Al，l；（2） 、求空间中的点、线确定平面的个数，除运用平面的性质，还要用到排列组合等知识；（3） 、证明若干点共线问题，只需证明这些点都同在两个相交的平面内即可（点就在交线上）；（4） 、证明三线共点，只需证明其中两线相交，然后证明另一条过此交点；（5） 、证明点线共面的方法：先用部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线都在此平面内；分别用部分点、线确定两个平面，再证这两个平面重合；（6） 、求异面直线所成角的方法：遵循“先作角，再求角”的原则，用平移转化法放到三角形中去求，用好正、余弦定理常用的平移方法有：直接平移法；中位线平移法（涉及中点时常用）；补形法第二节空间直线与平面核心知识点1、直线a与平面的位置关系（如图 9-2-1）（1）相交直线a与平面有且仅有一个公共点； （即aA）（2）平行直线a与平面没有公共点；（记为/a）（3）直线在平面内直线a与平面有无数个个公共点； （记为a）其中，相交或平行的情况统称为直线在平面外，记为a。2、线面平行的判定和性质（1）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。（2）线面平行的判定（用来证明直线与平面平行的方法）：（判定定理）如果平面外一直线a与平面内一直线b平行，则直线a与平面平行即：下面的这些定理或推论也是证明线面平行的常用方法：如果平面外的两条平行直线,a b中有一条和平面平行，则另一条也和平面平行即：如果两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面即：如果直线a垂直于平面，平面外的直线b与直线a垂直，则直线b平行于平面即：若平面和外的一直线a都垂直于同一个平面，则直线a平行于平面即：（3）线面平行的性质定理：(如图 9-2-2) aaAa图 9-2-1 ml图 9-2-2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 如果直线l与平面平行，过直线l的平面与面相交，则交线与直线l平行即：3、线面垂直的判定和性质：（1）定义：如果一条直线与平面内的任何一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。（2）线面垂直的判定（证明直线与平面垂直的方法）（判定定理1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。即：（判定定理2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。即：（面面平行的性质定理）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这条直线垂直于另一个平面。即：（面面垂直的性质定理）如果两个平面垂直，则在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。即：；如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则交线也垂直于第三个平面即：（3）线面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行即：4、线面角（ 1）如果平面外的直线l与平面不平行也不垂直，则称直线l为平面的斜线，设Ol，在l上任取一点P（P不与斜足O重合），过P作面的垂线，垂足为P，则垂足P与斜足O的连线OP叫做斜线l在平面上的射影，l与其射影OP的夹角叫做l与面所成的角。规定：当/l或l时，0，l时90，于是线面角的范围是90,0（2）射影长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影较长；垂线段比任何斜线段都短（3）最小角定理：平面的斜线和平面所成的角AOB是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，如图9-2-3：即AOBAOC“爪角定理”：coscoscosAOCAOBBOC5、三垂线定理(如图 9-2-4)三垂线定理：平面内的一条直线a，如果和斜线l在平面上的射影l垂直，则直线a与l垂直；其逆命题也成立，即：三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线a，如果和平面的斜线l垂直，则直线a与l在平面上的射影l垂直OACB图 9-2-3 lal图 9-2-4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 方法总结1、 下面的每一个箭头都是立体几何中的一个定理，请你思考它们都是些什么定理：2、求线面角时，要理解其定义，遵循“一作二证三求”的解题思路，将角放到三角形中去求，经常要用到余弦定理。在作角时关键是作过斜线上一点到平面的垂线，在解题时要注意挖掘题设中的两个主要信息： （1）斜线上一点到平面的垂线；（2）过斜线上一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直易得垂线。3、三垂线定理及其逆定理中所指的“三垂”即：垂线PA与平面、射线l与面内直线a、斜线l与平面的垂直关系。三垂线定理除了是证明线线垂直（进而证明线面垂直）的有力工具外，在求线面角时（找垂足）以及后面求作二面角的平面角中都起到很重要的作用。4、下面的结论对“过平面外一点作面的垂线问题”很有帮助（主要是确定垂足）：若P为ABC所在平面外一点 , O是点P在 内的射影，则：若PAPBPC，或者,PA PB PC与ABC所成角均相等 , 则O为ABC的外心；若P到ABC的三边的距离相等, 则O为ABC的内心；若,PA PB PC两两互相垂直 , 或,PABC PBAC，则O为ABC的垂心第三节 空间平面与平面核心知识点：1、 面面平行的判定和性质（1）面面平行的判定：（判定定理） 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；（线面平行面面平行）即：；垂直于同一直线的两平面平行；（线面垂直面面平行）即：；（面面平行的传递性）如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；即：（2）面面平行的性质若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面；（面面平行线面平行）即：；若两个平行平面同时与第三个平面相交，则两交线平行；（面面平行线线平行）即：若一条直线垂直于两平行平面中的一个，则该直线也和另一个平面垂直；即：；公理 4 线线垂直线面平行面面垂直线 线 平 行(2)线线平行线面平行线面垂直三垂线定理面面平行名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 夹在两平行平面间的平行线段相等；经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行2、 面面垂直的判定和性质（1）面面垂直的判定：（定义法）两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直（即求证二面角的平面角是直角）（判定定理）如果平面经过了平面的一条垂线，则； （线面垂直面面垂直）即：；（2）面面垂直的性质：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；（面面垂直线面垂直）即：；若两平面垂直，则经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内4、两个平行平面间的距离：如果直线l与两平行平面都垂直，垂足分别为BA,，则称线段AB的长为两平行平面间的距离5、二面角的定义及表示方法：（1）定义：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线发出的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；（2）表示方法：棱为AB（或l） ，面为,的二面角记为AB（或l） 6、二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，过该点分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，两射线所成的角叫做二面角的平面角（范围：180,0） 方法总结（1）熟记面面平行和垂直的判定和性质的相关定理，能快速明确题目解体思路，比如，要证面面平行，则只需去其中一个平面内找到两相交的直线与另一平面都平行即可；又如，证面面垂直，则只需在其中一个平面内去找到一条直线与另一平面垂直即可，解题过程中应注意转化的思想；（2）有关面面平行和垂直的相关的定理之间的转化关系，要结合上节的知识；（3）与面面距离相关的问题：二面角的平面角的作法及求法将在第四、五节中系统地讲解第四节空间角核心知识点：高考中立体几何题的计算常涉及“求角”、 “求距离”、 “求面积或体积”三类问题，其中“求角”问题几乎年年涉及，求角问题包括异面直线所成的角，线面角及二面角的平面角三种空间角的概念及范围（1）异面直线所成的角：过空间任一点分别引两异面直线的平行线，则此两相交直线所成的锐角（或直角）叫做两异面直线所成的角异面直线所成角的范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - （ 2）直线与平面所成的角：当/l或l时，l与所成的角为0；当l时，l与所成的角为90；当l与斜交时，l与所成的角是指l与l在面上的射影 l所成的锐角线面角的范围：（3）二面角的平面角须具有以下三个特点：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直二面角的范围：方法总结：1、求异面直线所成角的方法：主要通过平移转化法来作出异面直线所成的角，然后利用三角形的边角关系（正、余弦定理）求角的大小，要注意角的范围2、求线面角的一般过程是：（1）在斜线上找到一个合适的点P，过P作面的垂线（注意垂足/P的确定），垂足/P和斜足A的连线即为斜线PA在平面上的射影，则/PAP即为所求；（2）将/PAP放到/PAP或其它包含此角的三角形中去求说明：关于线线角和线面角，下面的结论经常用到：“爪角定理” ：如图 9-4-1，已知,AB AO分别是面的垂线和斜线，在面内过斜足O任意引一直线OC，设12,AOBBOC，AOC，则：21coscoscos； 经过一个角的顶点作这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线说明：在解题过程中，我们会发现求角问题难在作角，其中又难在过平面外一点，作平面的垂线后，垂足位置的确定复习过程中应注意对常用的找垂足的方法进行归纳总结上面的及下面的几个结论是找垂足的有力工具：（）若P为ABC所在平面外一点 , O是点P在 内的射影，则：若PAPBPC或PA、PB、PC与 所成角均相等 , 则O为ABC的外心；若P到ABC的三边的距离相等, 则O为ABCABC 的内心；若PA、PB、PC两两互相垂直 , 或,PABC PBAC则O为ABC的垂心（）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；（）三垂线定理及其逆定理3、求二面角的平面角的一般方法：如何作出（或找出）二面角的平面角是解题的关键，常用以下方法：定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面中作棱的垂线，得出平面角，用定义法时应认真观察图形的特性；OACB图 9-4-1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 三垂线法（比较常用） ：已知二面角其中一个面内一点P到另一个面的垂线（垂足为/P） ，则只需过P（或/P）作棱的垂线 （垂足为O） ，由三垂线定理或其逆定理知/POP即为所求 （关键是从题中找到适当的点P） ；垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角（由此知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直）；面积投影法：此法最大的优点在于不用作出平面角，常用于“无棱二面角” （即在图中没有画出棱）；如果上某一平面图形的面积为斜S，它在上的射影的面积为射S，则射斜SScos。解题中应表达清楚哪个图形在哪个面上的投影是什么第五节空间距离核心知识点点线距、点面距、线面距、面面距、两异面直线之间的距离是高考中常见求距离的问题常见的空间距离的求法：（1）求点到直线的距离利用三垂线定理找到垂线段，垂线段就是所求；（2）点到平面的距离的求解方法一般有两种：直接求解法：从该点向平面引垂线，确定垂足位置，这里要用到两个平面垂直的性质定理，求出点和垂足之间的距离即可“体积代换法” ：把点到平面的距离转化为以该点为顶点，平面内的一个三角形为底面的三棱锥的高，再通过变换（从方便求高的角度）三棱锥顶点用等体积法，求点到平面的距离这种方法比较常用，应掌握（3）直线到它的平行平面的距离通常转化为直线上一个特殊点到平面的距离，要找到直线和它的平行平面的公垂面，直线和公垂面的垂足就是这个特殊点，从这点向公垂面和已知平面的交线引垂线段，该垂线段就是直线到它的平行平面的距离，还可以用等体积法求特殊点到平面的距离（4）两个平行平面的距离求解时，在一个面内任取一点，作它到另一平面的垂线段，垂线段的长就是所求实质上也是点到平面的距离因此，点面距离的求解方法,对求解面到面的距离仍然适用(5)两条异面直线间的距离要注意定义中“都垂直且相交”的理解两条异面直线的距离是分别连结两条异面直线上两点的线段中最段的一条.求解方法主要是定义法:找出两异面直线的公垂线段,求出其长度(6)两点之间的球面距离求法分三步：计算两点之间的线段长；计算两点对球心的张角即球心角（须用弧度表示）；用弧长公式lR球计算大圆上两点之间的劣弧长即两点之间的劣球面距离方法总结：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 求空间距离的一般规律(1)距离的求法有两种：直接法第一步，作图即先作出表示所求距离的线段；第二步：证明即证明第一步中所作线段就是所要求的距离；第三步：计算解三角形求出这条线段转移法转化为其他易求的距离进而求解(2)高考对于立体几何中“作图证明计算”的互相渗透 ,互相结合有明确的要求，所以用直接法求空间距离的三个步骤缺一不可，而且要表述准确、清晰、简明，稍有不当，就有可能丢分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -