2022年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式学业分层测评排序不等式新人教A版选修- .pdf

1 【课堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学第三讲 柯西不等式与排序不等式学业分层测评 11 排序不等式新人教 A版选修 4-5 ( 建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、选择题1设ab0，Pa3b3，Qa2bab2，则P与Q的大小关系是 ( ) APQBPQC P0，a2b20. 因此a3b3a2bab2( 排序不等式 ) ，则PQ. 【答案】B 2设a1a2a3an，b1b2b3bn为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( ) A反序和乱序和顺序和B反序和乱序和顺序和C反序和乱序和顺序和D反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定【答案】C 3设正实数a1，a2，a3的任一排列为a1，a2，a3，则a1a1a2a2a3a3的最小值为( ) A3 B6 C9 D.12 【解析】设a1a2a30，则1a31a21a10，由乱序和不小于反序和知，a1a1a2a2a3a3a1a1a2a2a3a33，a1a1a2a2a3a3的最小值为3，故选 A. 【答案】A 4若Ax21x22x2n，Bx1x2x2x3xn1xnxnx1，其中x1，x2，xn都是正数，则A与B的大小关系为 ( ) AABBABCABD.AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 【解析】依序列 xn 的各项都是正数，不妨设0 x1x2xn，则x2，x3，xn，x1为序列 xn 的一个排列依排序原理，得x1x1x2x2xnxnx1x2x2x3xnx1，即x21x22x2nx1x2x2x3xnx1. 故选 C. 【答案】C 5已知a，b，c为正实数， 则a2(a2bc) b2(b2ac) c2(c2ab) 的正负情况是( ) A大于零 B 大于等于零C小于零D.小于等于零【解析】设abc0，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a. 又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab，a4b4c4a2bcb2cac2ab，即a2(a2bc) b2(b2ac) c2(c2ab) 0.【答案】B 二、填空题6若a，b，cR，则bcacababc_abc. 【解析】不妨设abc0，则bccaab，1a1b1c，bcacababcaccababcbabc. 【答案】7有 4 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为_s. 【解析】等候的最短时间为： 3443527141(s) 【答案】41 8设a1，a2，a3为正数，且a1a2a31，则a1a2a3a2a3a1a3a1a2的最小值为 _. 【导学号： 32750058】【解析】不妨设a3a1a20，则1a31a11a2，所以a1a2a2a30，则a2b2c20，a3b3a2ab2ba2bb2a，a3b3ab(ab)(2) 由(1) 知，同理b3c3bc(bc) ，c3a3ac(ca) ，所以1a3b3abc1b3c3abc1c3a3abc1abababc1bcbcabc1acacabc1abc1ab1bc1ca1abccababc1abc. 故原不等式得证10已知a，b，c都是正数，求abcbcacab的最小值【解】由对称性，不妨设 0cba， 则有abacbc0， 所以 01ab1ac1bc. 由排序不等式得abcbaccabaacbabcbc，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 abcbaccabcacaabbbc. 由知 2abcbaccab3，abcbaccab32. 当且仅当abc时，abcbcacab取最小值32. 能力提升 1 锐角三角形中， 设Pabc2，Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的关系为 ( ) APQBPQCPQD.不能确定【解析】不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A) Rsin(AB)sin(BC) sin(AC) R(sin Csin Asin B) abc2P. 【答案】C 2已知abc1，a，b，c为正数，则1bc1ca1ab的最小值是 _【解析】不妨设abc，1bc1ca1ab，abcbcacabbbcccaaab，abcbcacabcbcacabab，得abcbcacab32，1bc1ca1ab92. 【答案】923在 RtABC中，C为直角，A，B所对的边分别为a，b，则aAbB与4(ab) 的大小关系为 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 【导学号： 32750059】【解析】不妨设ab0，则AB0，由排序不等式aAbBaBbAaAbBaAbB? 2(aAbB) a(AB) b(AB) 2(ab) ，aAbB4(ab) 【答案】aAbB4(ab) 4已知 012(sin 2sin 2 sin 2 ) 【证明】02，且ysin x在 0，2上为增函数，ycos x在 0，2上为减函数，0sin sin cos cos 0. 根据排序不等式得：乱序和反序和sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 12(sin 2sin 2 sin 2 ) 故原不等式得证名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -