2022年高考数学一轮复习函数及其表示理北师大版 .pdf

学习好资料欢迎下载第一节函数及其表示【考纲下载 】1了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法( 如图象法、列表法、解析式法) 表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用1函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系f：AB按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x) 与之对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应名称f：AB为从集合A到集合B的一个函数对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x) ，xA 对应f：AB是一个映射2. 函数的构成要素函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，对函数yf(x) ，xA，其中，(1) 定义域：自变量x的取值的集合A. (2) 值域：函数值的集合f(x)|xA3函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法4分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数1函数概念中的“集合A、B”与映射概念中的“集合A、B”有什么区别？提示：函数概念中的A、B是两个非空数集，而映射中的集合A、B是两个非空的集合即可2函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？提示：不一定3已知函数f(x) 与g(x) (1) 若它们的定义域和值域分别相同，则f(x) g(x) 成立吗？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(2) 若它们的定义域和对应关系分别相同，则f(x) g(x) 成立吗？提示： (1) 不成立； (2) 成立1下列各图形中是函数图象的是( ) 解析：选D 由函数的定义可知选项D正确2下列各组函数中，表示同一函数的是( ) Af(x) |x| ，g(x) x2Bf(x) x2，g(x) (x)2Cf(x) x21x1，g(x) x1 Df(x) x1x1，g(x) x21 解析：选 A 对于 A，g(x) x2|x| ，且定义域相同，所以A项表示同一函数；对于B、C、D，函数定义域都不相同3(2013江西高考 ) 函数yx ln(1x) 的定义域为 ( ) A(0,1) B 0,1) C(0,1 D0,1 解析：选B 要使函数yxln(1 x)有意义，需x0，1x0，即 0 x1，则f1f的值为 _解析：由题易知，f(2) 4，1f14，故f1ff1411421516. 答案：15165( 教材习题改编 )Ax|x是锐角 ，B(0,1)，从A到B的映射是“求余弦”，与A中元素 60相对应的B中的元素是 _；与B中元素32相对应的A中的元素是 _解析：当x60时，ycos 60 12；当x(0，90) ， cos x32时，x30.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载答案：1230考点一函数的定义域 例 1 (1)(2014 南昌模拟 ) 函数f(x) 2x12x2x1的定义域是 ( ) A. 12x x B. 12x xC. 112x xx且 D. 112x xx且 (2) 已知函数f(x21) 的定义域为 0,3，则函数yf(x) 的定义域为 _ 自主解答 (1) 由题意得2x10，2x2x10，解得x12且x1.(2) 因为函数f(x21)的定义域为 0,3，所以 1x218，故函数yf(x) 的定义域为 1,8 答案 (1)D (2) 1,8 【互动探究 】本例(2) 改为：f(x) 的定义域为 0,3，求yf(x21) 的定义域解： 因为f(x) 的定义域为 0,3， 所以 0 x213，即 1x24， 解得 1x2或2x1，故函数yf(x21) 的定义域为 2， 1 1,2【方法规律 】1简单函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可2抽象函数的定义域(1) 若已知函数f(x) 的定义域为 a，b ， 则复合函数f(g(x) 的定义域由不等式ag(x) b求出(2) 若已知函数f(g(x) 的定义域为 a，b ，则f(x) 的定义域为g(x) 在xa，b 时的值域1(2014咸阳模拟 ) 如果函数f(x) ln( 2xa) 的定义域为 ( ， 1)，则实数a的值为( ) A 2 B 1 C1 D2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解析：选D 2xa0，x1，则f(f(10) ( ) Alg 101 B 2 C1 D0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(2)(2014 上饶模拟) 设函数f(x) 21x，x1，1log2x，x1，则满足f(x) 2的x的取值范围是( ) A 1,2 B0,2 C1 ，) D 0 ，)(3) 已知实数a0，函数f(x) 2xa，x1，x2a，x1，若f(1a) f(1a) ，则a的值为_ 自主解答 (1)f(10) lg 10 1，f(f(10) f(1) 1212. (2) 当x1 时， 21x2，解得x0，又因为x1，所以0 x1；当x1 时， 1log2x2，解得x12，又因为x1，所以x1. 故x的取值范围是 0 ，) (3) 当 1a1，即a0 时，1a1，由f(1 a) f(1 a) ，得 2(1 a)a (1a) 2a，解得a32( 舍去) ；当 1a1，即a0 时， 1a1，由f(1 a) f(1 a) ，得 2(1 a) a (1a) 2a，解得a34，符合题意综上所述，a34. 答案 (1)B (2)D (3) 34分段函数问题的常见类型及解题策略(1) 求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算(2) 求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小(3) 解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提(4) 求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程(5) 奇偶性利用奇函数( 偶函数 ) 的定义判断1(2014南平模拟 ) 定义abab，ab0，ab，ab0.设函数f(x) ln xx，则f(2)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载f12( ) A4ln 2 B 4ln 2 C2 D0 解析：选 D 由题意可得f(x) xln x，x1，ln xx，0 x1，所以f(2) f122ln 22ln120. 2(2014永州模拟 ) 设 Q为有理数集，函数f(x)1，xQ，1，x?RQ，g(x)ex1ex1，则函数h(x) f(x) g(x)( ) A是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数解析：选 A 当xQ时，xQ ，f( x) f(x) 1；当x?RQ时，x?RQ，f( x) f(x) 1. 综上，对 ?xR，都有f( x) f(x) ，故函数f(x) 为偶函数g( x) ex1ex11ex1exex11exg(x) ，函数g(x)为奇函数，h( x) f( x) g( x) f(x) ( g(x) f(x)g(x) h(x) ，函数h(x)f(x) g(x) 是奇函数又因为h(1) f(1) g(1) e1e1，h( 1) f(1)g( 1) 1e11e111e1e，h( 1)h(1) ，函数h(x)不是偶函数综上可知，h(x) 是奇函数但不是偶函数3 (2014日照模拟 ) 已知函数f(x) 2x12x，且g(x) fx，x0，fx，x0，则函数g(x)的最小值是 _解析：因为g(x) 2x12x，x0，2x12x，x0 两种情况讨论 解析 当x0 时，f(x) x2bxc，因为f( 2) f(0) ，f( 1) 3，则22bcc，2bc 3，解得b2，c2，故f(x)x22xx，x当x0 时，由f(x) x，得x22x2x，解得x 2 或x1(10 ，舍去 ) 当x0 时，由f(x) x，得x2. 所以方程f(x) x的解集为 2,2 答案 2,2 题后悟道 解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解完之后应注意检验自变量取值范围的应用总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决设函数f(x)x，x0，x，x0，若f(a) f(1) 2，则a( ) A 3 B 3 C1 D 1解析：选 D 因为f( 1) 1，所以f(a) 1，当a0时，a1，所以a1；当a0 B x|x1 C x|x1 或x0 D x|00，解得x1.2设函数f(x) 2x3，g(x2) f(x) ，则g(x) 的解析式是( ) A2x1 B2x1 C2x3 D2x7 解析：选B 因为g(x2) f(x) 2x32(x2) 1，所以g(x) 2x1. 3下列各组函数表示相同函数的是( ) Af(x) x2，g(x) (x)2 Bf(x) 1，g(x) x2Cf(x) x，x0，x，x0，g(t) |t| Df(x) x1，g(x)x21x1解析：选C g(t) |t| t，t0，t，t0.4已知函数f(x) 2x1，x1，x2ax，x1，若f(f(0) 4a，则实数a等于 ( ) A.12 B.45 C2 D9 解析：选C f(0) 2012，f(f(0) f(2) 42a，所以 42a4a，即a2. 5(2014南昌模拟 ) 具有性质：f1xf(x) 的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数下列函数：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载yx1x；yx1x；yx，0 x1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A B C D解析：选 B 对于，f(x) x1x，f1x1xxf(x) ，满足题意；对于，f1x1x11xf(x) f(x) ， 不 满 足 题 意 ； 对 于 ，f1x1x，01x1，即f1x1x，x1，0，x1，x，0 x0，则f(3) 的值为 ( ) A1 B2 C 2 D 3 解析：选D f(3) f(2) f(1) f(1) f(0) f(1) f(0) log28 3. 7函数yf(x) 的定义域为 2,4 ，则函数g(x) f(x) f( x)的定义域为 _解析：由题意知2x4，2x4，解得2x2.答案： 2,2 8设f(x) 1，x0，0，x0，1，x0，则不等式f(x)0 的解集为 _解析：画出此分段函数的图象，可知当函数图象处在x轴下方时f(x)0，此时x的取值范围是x|x1且x 1 答案： x|x0，2x，x0 时，g(x) x1，故f(g(x) (x1)21x22x；当x0，x24x3，x1 或x0 ，故g(f(x) f(x) 1x22；当1x1 时，f(x)1或x1，3x2，1x1.12已知函数f(x) cxx281. 解：(1) 0c1， 0c2c，由f(c2) 98，得c3198，解得c12. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(2) 由(1) 得f(x) 12x1 0 x12，24x112x281，知当 0 x281，解得24x12；当12x281，解得12x281 的解集为x24x58. 冲击名校 1设S，T是 R 的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x) 满足： ( )Tf(x)|xS ；( ) 对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2) ，那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是( ) AAN*，BNBAx| 1x3，Bx|x 8 或 0 x10CAx|0 x1 ，BRDAZ，BQ解析：选 D 对选项 A，取f(x) x1，xN*，所以AN*，BN是“保序同构”的，应排除 A；对选项 B ，取f(x) 8，x 1，x1，1x0，x21，0 x3，所以Ax| 1x3，Bx|x 8或 0 x10是“保序同构”的，应排除B；对选项 C，取f(x) tanx2(0 x1) ，所以Ax|0 x1 ，BR是“保序同构”的，应排除C. 2规定 t 为不超过t的最大整数，例如12.612， 3.5 4. 对任意实数x，令f1(x) 4x ，g(x)4x4x ，进一步令f2(x) f1g(x) (1) 若x716，则f1(x) _，f2(x) _；(2) 若f1(x) 1，f2(x) 3 同时满足，则x的取值范围为_解析： (1) x716时， 4x74，f1(x) 741. g(x) 747434，f2(x) f1g(x) f1343 3. (2) f1(x) 4x 1，g(x) 4x1，f2(x) f1(4x1) 16x4 3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载14x2，316x44，716x12. 答案： (1)1 3 (2)716，12名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -