2022年高中数学充分条件与必要条件例题解析 .pdf

充分条件与必要条件例题解析能力素质例 1 已知 p：x1，x2是方程 x25x60 的两根， q：x1x25，则 p 是 q的 A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析利用韦达定理转换解x1，x2是方程 x25x60 的两根，x1，x2的值分别为 1，6，x1x2165因此选 A说明：判断命题为假命题可以通过举反例例 2 p 是 q 的充要条件的是 Ap：3x25，q：2x35 Bp：a2，b2，q：ab Cp：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形Dp：a0，q：关于 x 的方程 ax1有惟一解分析逐个验证命题是否等价解对 Ap：x1，q：x1，所以， p是 q 的既不充分也不必要条件；对 Bpq 但 qp，p 是 q 的充分非必要条件；对 Cpq 且 qp，p 是 q 的必要非充分条件；对且，即， 是 的充要条件选DpqqppqpqD说明：当 a0 时，ax0 有无数个解例 3 若 A是 B成立的充分条件，D是 C成立的必要条件，C是 B成立的充要条件，则 D是 A成立的 A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析通过 B、C作为桥梁联系 A、D 解A 是 B的充分条件， ABD是 C成立的必要条件， CD 是 成立的充要条件，CBCB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 由得 AC由得 ADD是 A 成立的必要条件选B说明：要注意利用推出符号的传递性例 4 设命题甲为： 0 x5，命题乙为 |x 2| 3，那么甲是乙的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析先解不等式再判定解解不等式 |x 2| 3 得1x50 x51x5，但 1x50 x5 甲是乙的充分不必要条件，选A说明：一般情况下，如果条件甲为xA，条件乙为 xB当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件；ABAB当且仅当 AB时，甲为乙的充要条件例 5 设 A、B、C三个集合，为使 A(BC)，条件 AB是 A充分条件B必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析可以结合图形分析请同学们自己画图A(BC)但是，当 BN，CR，AZ时，显然 A(BC)，但 AB不成立，综上所述： “AB”“A(BC)” ，而“A(BC)”“AB” 即“AB”是“ A(BC)”的充分条件 ( 不必要 )选 A说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况例 6 给出下列各组条件：(1)p ：ab0，q：a2b20；(2)p ：xy0，q：|x| |y| |x y| ；(3)p ：m 0，q：方程 x2xm 0 有实根；(4)p ：|x 1| 2，q：x1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 其中 p是 q 的充要条件的有 A1 组B2 组C3 组D4 组分析使用方程理论和不等式性质解 (1)p是 q 的必要条件(2)p 是 q 充要条件(3)p 是 q 的充分条件(4)p 是 q 的必要条件选 A说明：ab0 指其中至少有一个为零，而a2b20 指两个都为零例是的条件7x3x3xx x12112x269分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系解 且 且 ，但当取， 时，成立，而不成立 与 矛盾 ，所以填“充分不必要” x3x3xx6x x9x10 x2(x2x3)1212121222xxx xxx1212126933说明： x3x3x30 x301212(x3)(x3)0(x3)(x3)0 xx6x x3(xx )901212121212 这一等价变形方法有时会用得上点击思维例 8 已知真命题“ abcd”和“ abef ” ，则“ cd”是“ ef ”的_条件分析abcd(原命题 ) ，cdab(逆否命题 )而 abef ，cdef 即 cd 是 ef 的充分条件答填写“充分”说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法例 9 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是 A0a1 Ba1 Ca1 D0a1 或 a0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分析此题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之当 a1 时，方程有负根x1，当 a0 时，x故排除、选12ABDC解 常规方法：当 时，a0 x12当 a0 时1a0ax2x1002 1a0a12 ，则 至少有一个负实根 24422aa2a0ax2x10022 1a21a1a02 ，则 至少有一个负实根 2442aa综上所述 a1即 ax22x10 至少有一个负实根的充要条件是a1说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法例 10 已知 p、q 都是 r 的必要条件， s 是 r 的充分条件， q是 s 的充分条件，那么 s，r，p分别是 q 的什么条件？分析画出关系图 121，观察求解解 s是 q 的充要条件； (srq，qs) r 是 q 的充要条件； (rq，qsr) p 是 q 的必要条件； (qsrp) 说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系例 11 关于 x 的不等式|x|x3(a1)x2(3a1)0ABAB1a3a12与 的解集依次为与 ，问“”是“ 或 ”的充要条件吗？()()aa121222分析化简 A和 B，结合数轴，构造不等式 ( 组) ，求出 a解 A x|2a xa21 ，Bx|(x 2)x (3a1) 0 当 即 时，23a1a13Bx|2 x3a1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - AB2a2a +13a+11a323a1a2 当 即 时，13Bx|3a 1x2 AB2a3a +1a +12a1ABa11a3AB1a3a12 综上所述： 或 “”是“ 或 ”的充要条件说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关在解题时要理清思路，表达准确，推理无误学科渗透例 ，是的必要条件还是充分条件，还是充12 xyxy011xy要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相联系解当时，可得 即 1001111xyxyyxxy则 或 ，即或 ，yx0 xy0yx0 xy0 xyxy0 x0yxy故不能推得 且有可能得到，即 且并非的必要条件11011xyxyxyxyxyxy0()xyxy02xyxy0 xyx0y0 xyx0y0 xyxy0当 且 则分成两种情况讨论：或不论哪一种情况均可化为 且 是的充分条件1111xyxy说明：分类讨论要做到不重不漏例 13 设，是方程 x2axb0 的两个实根，试分析a2 且 b1 是两根名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - ，均大于 1 的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需要搞清楚条件与结论 分别指什么然后再验证是还是还是pqpqqppq解 据韦达定理得：， ，判定的条件是：结论是：还要注意条件中， ， 需要满足大前提abpq(paba4b0)2ab2111(1)1a2b1由得 ， ，1qp上述讨论可知： a2，b1 是1，1 的必要但不充分条件说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用高考巡礼例 14 (1991年全国高考题 ) 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C丙是甲的充要条件D丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析 1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件分析 2：画图观察之答：选 A说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -