2022年高等代数期末试卷 .pdf
第 1 页共页高 等 代 数 课程期末试卷命题人：审题人：姓名数 学 系班 学号：题 号一二三四五总 分得 分一、是非题（每小题2 分，共 10分）1f(x)=ax+b (a0) 在任意数域上不可约。（）2行列式 D=0 ，则行列式定有两行成比例。（）3. 两个n元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。（）4. 若对于方阵A，存在0021，满足2211AA，则21、线性无关 . ( ) 5. 设 是 n 维欧氏空间 V的一个正交变换，则 关于 V的任一基的矩阵都为正交矩阵 . ( ) 二、选择题（每小题 3 分，共 18 分）1. 设 f(x)Rx, 若对任意的首项系数为1 的 g(x) Rx, 都有（ f(x),g(x)）=g(x), 则 f(x) 必为( ) A.零次多项式 B.零多项式 C.f(x)1 D.不存在得 分得 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 2 页共页2. 记 D= bacacbcba ,A=a+b+c, B=a2+b2+c2, C=ab+bc+ca ,如果D=0,那么必有（）A. A=0 B. B-C=0 C. A=0或 B-C=0 D. A,B,C不确定3. 若21,WW都是n维线性空间 V 的子空间，那么（）A.维1W+维21WW=维2W+维21WW；B.维21WW=维1W+维2W；C.维1W+维21WW=维2W+维21WW；D.维1W-维21WW =维21WW- 维2W。4. 同一个线性变换在不同基下的矩阵是（）A.合同的； B.相似的； C.相等的； D.正交的。5. 设V 是n维欧氏空间，那么 V 中的元素具有如下性质（）A若,； B若；C若11,； D若,0。6、设 u 是正交矩阵，则（）A u 的行列式等于 1 B u 的行列式等于 -1 C u 的行列式等于 1 D u 的行列式等于 0 三、填空题（每小空3 分，共 21分）1. 2i是 多 项 式f(x)=x7+x5+2x4-8x3+8x2-12x+8的 二 重 根 ， f(x) 的 其 他 根是。得 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 3 页共页2. 四阶行列式44411411.aaaa中带正号，且含a23的项是。3.g(x)Cx, 若 g2(x)+x2=0, 则 g(x)= . 4. 如果把 n 阶实对称矩阵按如下方法分类： 两个实对称矩阵， 属于同一类当且仅当它们合同，则共分为（ (n+1)(n+2)/2 ）类；用同样的方法所有的 n 阶复对称矩阵可分为（ n+1 ）类. 5. 若线性变换关于基21,的矩阵为dcba，那么关于基12,3的矩阵为。6. 两个欧氏空间同构的充要条件是它们有。四、计算题（每小题9 分，共 27分）1、求 k 为何值时， f(x)= 2x+(k+2)x+2k-3 与g(x)= 2x+(k+4)x+3k-5 的最大公因式是一次的。得 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 4 页共页2设矩阵522472009A，（1）求A的特征值与特征向量；（2）A是否可以对角化？若可以对角化，求可逆矩阵T，使ATT1为对角阵3求正交线性替换，把下列实二次型化为标准形323121232221321448633),(xxxxxxxxxxxxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 5 页共页五、证明题（每小题12 分，共 24 分）1. 设 p 是一个大于 1 的整数且具有以下性质： 对于任意整数 a,b, 如果 p|ab 则 p|a 或 p|b 。证明是一个素数。得 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 6 页共页2线性空间nnP中的变换为：对任意n nAP,()APAQ，其中QP,是nnP中固定矩阵证明：是nnP的线性变换的充分必要条件是0Q高等代数标准答案及评分标准一、是非题（每小题2 分，共 10 分）1. ； 2. ； 3. ；4. ； 5. 二、选择题（每小题3 分，共 18 分）1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.C 三、填空题（每小空3 分，共 21 分）1. 1 ，271i; 2. 44312312aaaa，41322314aaaa，42342311aaaa； 3.ix4.(n+1)(n+2)/2 n+1 5.badc33； 6.相同的维数。四、计算题（每小题 9 分，共 27 分）122)()(kxxfxg2414621)22()(kkkxkxxf令0412kk，0k，4k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 7 页共页2：(1) ) 3()9(522472009|2AE所以，A的特征值为91（二重） ，32当91，解相应的齐次线性方程组0) 5(2204) 7(20)9(3213211xxxxxxx ,04220422003213211xxxxxxx02321xxx得基础解系：)1,0, 2(, )0, 1, 1(21因此，属于特征值为91的线性无关的特征向量为)1,0,2(,)0, 1, 1(21属于特征值为91的全部特征向量为2211kk当31，解相应的齐次线性方程组，得基础解系：)1, 1, 0(3因此，属于特征值为31的线性无关的特征向量为)1, 1,0(3属于特征值为31的全部特征向量为0,333kk(2) 因为A有三个线性无关的特征向量 , 所以A可以对角化令110101021T，则3000900091ATT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 8 页共页3. 这个二次型矩阵为622234243A，A的特征多项式)2()7(6222342432AE则 A特征值为7,221（二重） 21，解10,EAX得基础解系为)1,2,2(1，单位化：)31,32,32(172，解0)(2XAE，得基础解系为)2, 0,1 (,)0, 1, 1(32，正交化：)221,21(),(),(222233322，单位化：)184,181,181(),0,21,21(32，令18403118121321812132T，则TYX为正交线性替换二次型标准形为232221772yyyf四、证明题（每小题 12 分，共 24 分）1.Zba,，由abp |，可得ap | or bp |。不妨设ba,均为素数，且abp |， 则无论ap | or bp |， 只能ap or bp，p 是素数必 要 性设是nnP的 线 性 变 换 ， 则 对nnPBA,， 有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 9 页共页)()()(BABA，即)()()(QPBQPAQBAP，由此有0Q充分性设0Q，即PAAPAnn)(,则对nnPBA,，有)()()()(BAPBPABAPBA对PkPAnn,，有)()()()(AkPAkkAPkA因此，是nnP的线性变换2. 证明： （1） 设是 T 的特征值，是相应的特征向量即T022TT TTT又2，200或1（2）1VT，0V0TV ，TT，则 T1V，T0VV1V+0V12VV，即 T， T0. 0120VV, 01VVV名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 10 页共页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -
