2022年高考数学专题讲义解析几何专题圆锥曲线中的最值和范围问题 .pdf

学习好资料欢迎下载第二十一讲圆锥曲线中的最值和范围问题（一） 高考在考什么【考题回放】1已知双曲线12222byax(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.2,)D.(2,+ )2 P是双曲线221916xy的右支上一点，M 、N分别是圆 (x5)2y24 和(x5)2y21上的点，则|PM|PN| 的最大值为（ D ）A. 6 B.7 C.8 D.9 3抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0 距离的最小值是( A ) A43 B75 C85 D34已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且 |PF1|=4|PF2|, 则此双曲线的离心率e的最大值为：（B）(A)43(B)53(C)2 (D)735已知抛物线y2=4x, 过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 . 6对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足 |PQ| |a| ，则a的取值范围是 ( B ) （A）（， 0）（B）（， 2（C） 0，2（D）（ 0，2） 高考要考什么【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： 通过参数 简明地表示曲线上点的坐标； 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式0。 突破重难点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【例 1】已知点M(-2 ，0) ，N(2,0) ，动点P满足条件|2 2PMPN. 记动点P的轨迹为W. （）求W的方程；（）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA OB的最小值 . 解： （）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22xy122（x0）（）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xx0，此时A（x0，20 x2），B（x0，20 x2），OA OB2 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxb，代入双曲线方程22xy122中，得： (1 k2)x22kbxb220 依题意可知方程1 有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2) ，则2222122212244(1)(2)0201201k bkbkbxxkbx xk解得|k|1，又OA OBx1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（ 1k2）x1x2kb（x1x2）b22222k242k1k1 2 综上可知OA OB的最小值为2 【例2】给定点A(-2,2)，已知B是椭圆2212516xy上的动点，F是右焦点，当53ABBF取得最小值时，试求B点的坐标。解：因为椭圆的35e，所以513ABBFABBFe，而1BFe为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义|35|BFeBFBNeBNBF于是5| |3ABBFABBNANAM为定值其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为5 3(,2)2所以，当53ABBF取得最小值时，B点坐标为5 3(,2)2【例 3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆2219xy上移动 , 试求|PQ|的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ| 的最大值，只要求 |O1Q| 的最大值 . 设Q(x，y)，则 |O1Q|2= x2+(y-4)2因Q在椭圆上 ,则x2=9(1-y2) 将代入得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2218272y因为Q在椭圆上移动，所以- 1y1，故当12y时，1max3 3OQ此时max3 31PQ【点睛 】1. 与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2. 函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。【例 4】已知椭圆的一个焦点为F1(0, - 22) ，对应的准线方程为9 24y，且离心率e满足：24, ,33e成等差数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线12x平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。（1）解： 依题意 e 223，29 222 244acca3，c22，b1，又 F1(0 ， 22) ，对应的准线方程为9 24y椭圆中心在原点，所求方程为22119xy (2) 假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被12x平分直线l的斜率存在。设直线l：ykxm 由2219ykxmyx消去y，整理得 (k29)x22kmxm290l与椭圆交于不同的两点M、N，4k2m24(k29)(m29) 0 即m2k290 设 M(x1,y1),N(x2,y2) 1221292xxkmk292kmk把代入式中得2222(9)(9)04kkk，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载k3或k3直线l倾斜角2()()3223，第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题（二）【例 5】长度为 a （0a）的线段AB的两个端点A、B分别在 x 轴和y轴上滑动，点P在线段AB上，且APPB（为常数且0）（ 1）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹类型；（ 2）当=2时，已知直线1l与原点 O的距离为2a，且直线1l与轨迹C有公共点，求直线1l的斜率k的取值范围答案 ：(1) 设(,)P xy、0(, 0)A x、0(0,)By，则0000(1)1()xxxxxAPPByyyyy，由此及22200|ABaxya，得2221(1)xya，即22221yax（*）当10时，方程（* ）的轨迹是焦点为)0,11(a，长轴长为a12的椭圆当1时，方程（ *）的轨迹是焦点为)11,0(a，长轴长为a12的椭圆当1时，方程（ *）的轨迹是焦点为以O点为圆心，2a为半径的圆名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）设直线1l的方程：hkxy，据题意有212akh，即212kah由222499ayxhkxy得04929)41(92222ahkhxxk因为直线1l与椭圆222499ayx有公共点，所以,081)4(9222hak又把212kah代入上式得：535535,572kk【例 6】椭圆 E 的中心在原点O ，焦点在x轴上，其离心率32e, 过点 C（ 1,0 ）的直线l与椭圆 E相交于 A、B两点，且满足点C分向量BA的比为 2. （1）用直线l的斜率 k ( k 0 ) 表示 OAB的面积；（ 2）当 OAB的面积最大时，求椭圆 E的方程。解：（ 1）设椭圆E的方程为12222byax( ab0 ) ，由e =32aca2=3b2故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2设A(x1,y1)、B(x2,y2), 由于点C（1，0）分向量AB的比为 2，0321322121yyxx即21212) 1(21yyxx由) 1(33222xkybyx消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k23b2=0 由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2) 两点得：13331360222212221kbkxxkkxxABC的内分点）是恒成立（点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载y O 1A2B2A1B. . . M 1F0F2Fx . 而SOAB|1|23|)1(|23|23|2|21|212222221xkxkyyyyy由得 :x2+1=1322k，代入得：SOAB = )0(13|32kkk（2）因SOAB=23323|1|3313|32kkkk, 当且仅当,33kS OAB取得最大值此时x1 + x2 =1, 又3221xx = 1 x1=1,x2 =2 将x1,x2及k2 = 31代入得 3b2 = 5 椭圆方程x2 + 3y2 = 5 【例 7】设直线l过点P（0，3），和椭圆xy22941顺次交于A、B两点，若APPB试求的取值范围 . 解：当直线l垂直于x轴时，可求得15; 当l与x轴不垂直时，设)(,2211yxByxA，直线l的方程为：3kxy，代入椭圆方程，消去y得045544922kxxk解之得.4959627222, 1kkkx因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑0k的情形 . 当0k时，4959627221kkkx，4959627222kkkx，所以12xx5929592922kkkk59291812kkk25929181k. 由049180)54(22kk， 解得952k，所以51592918112k，综上115. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【例 8】我们把由半椭圆12222byax(0)x与半椭圆12222cxby(0)x合成的曲线称作“果圆”，其中222cba，0a，0cb如图，设点0F，1F，2F是相应椭圆的焦点，1A，2A和1B，2B是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段21AA的中点（1）若012F F F是边长为 1 的等边三角形，求该“果圆”的方程；（2）设P是“果圆”的半椭圆12222cxby(0)x上任意一点求证：当PM取得最小值时，P在点12BB，或1A处；（3）若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标解：（ 1）2222012(0)00FcFbcFbc， ，222220212121F FbccbF Fbc，于是22223744cabc，所求“果圆”方程为2241(0)7xyx，2241(0)3yxx（2）设()P x y，则2222|ycaxPM22222()1()04bacxac xbcxc，0122cb，2|PM的最小值只能在0 x或cx处取到即当PM取得最小值时，P在点12BB，或1A处（3）|21MAMA，且1B和2B同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)xyxab和半椭圆22221(0)yxxbc上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆22221(0)xyxab上的情形即可2222|ycaxPM22222222224)(4)(2)(ccaacabccaaxac当22()2aacxac，即2ac时，2|PM的最小值在222)(ccaax时取到，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载此时P的横坐标是222)(ccaa当accaax222)(，即ca2时，由于2|PM在ax时是递减的，2|PM的最小值在ax时取到，此时P的横坐标是a综上所述，若2ac，当|PM取得最小值时，点P的横坐标是222)(ccaa；若ca2，当|PM取得最小值时，点P的横坐标是a或c名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -