2022年高考数学二轮复习疯狂时刻数学归纳法 .pdf

学习好资料欢迎下载2014 数学高考疯狂时刻引领状元之路：数学归纳法1. 求证 :n3+5n(n N*) 能被 6 整除 . 2. 设 nN*且 n2, 证明:(a1+a2+ +an)2=21a+22a+2na+2a1(a2+a3+ +an)+a2(a3+a4+ +an)+ +an-1an. 3. 在数列 an 中,a1=52,an+1=22(-1)nnaa(nN*), 用数学归纳法证明:an2(n N*). 4. 试比较 2n+2 与 n2 的大小 (n N*), 并用数学归纳法证明你的结论. 5. 如图 ,P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(0y1y221nn. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载( 第 8 题) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载第 3 讲数学归纳法1. (1) 当 n=1 时,n3+5n=6 能被 6 整除. (2) 假设当 n=k(k1, 且 kN*) 时,k3+5k 能被 6 整除 ; 则当 n=k+1 时 , (k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5=k3+5k+3k(k+1)+6. 由假设知k3+5k 能被 6 整除 , 而 3k(k+1),6也能被 6 整除 , 所以 (k+1)3+5(k+1)能被 6 整除 . 由(1)(2)可知 , 命题对任意nN*都成立 . 2. (1) 当 n=2 时, 有(a1+a2)2=21a+22a+2a1a2, 命题成立 . (2) 假设当 n=k(k2)时 , 命题成立 , 即(a1+a2+ +ak)2=21a+22a+2ka+2a1(a2+a3+ +ak)+a2(a3+a4+ +ak)+ +ak-1ak 成立 ; 那么,当n=k+1时 ,有(a1+a2+ak+ak+1)2=(a1+a2+ak)2+2(a1+a2+ak)ak+1+21ka=21a+22a+ +2ka+2a1(a2+a3+ak)+a2(a3+a4+ +ak)+ak-1ak+2(a1+a2+ +ak)ak+1+21ka=21a+22a+ +2ka+21ka+2a1(a2+a3+ak+ak+1)+a2(a3+a4+ +ak+ak+1)+ +akak+1, 所以当 n=k+1 时, 命题也成立 . 根据 (1) 和(2), 可知命题对任意的nN*且 n2 都成立 . 3. (1) 当 n=1 时,a1=522, 不等式成立 . (2) 假设当 n=k 时等式成立 , 即 ak2(k N*), 则 ak+1-2=22(-1)kkaa-2=2(-2)2(-1)kkaa0,所以 ak+12, 所以当 n=k+1 时, 不等式也成立 . 综合 (1)(2),不等式对所有正整数都成立. 4. 当 n=1 时,21+2=4n2=1; 当 n=2 时,22+2=6n2=4; 当 n=3 时,23+2=10n2=9; 当 n=4 时,24+2=18n2=16. 由此可以猜想,2n+2n2(n N*) 成立 . 下面用数学归纳法证明: (1) 当 n=1 时 , 左边 =21+2=4, 右边 =1, 左边 右边, 所以原不等式成立; 当 n=2 时, 左边 =22+2=6, 右边 =22=4, 左边 右边 ; 当 n=3 时, 左边 =23+2=10, 右边 =32=9, 左边 右边. (2) 假设 n=k(k3 且 kN*) 时, 不等式成立 , 即 2k+2k2. 那么当 n=k+1 时, 2k+1+2=2 2k+2=2(2k+2)-22k2 -2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载又因为 2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1) 0,即 2k2- 2(k+1)2, 故 2k+1+2(k+1)2 成立 . 根据 (1) 和(2), 可知原不等式对于任何nN*都成立 . 5. (1) a1=2,a2=6,a3=12. (2) 依题意 , 得 xn=-12nnaa,yn=3-1-2nna a, 而2ny=3xn, 所以2-1-3?2nna a=32(an+-1na), 即(an-1na)2=2(-1na+an). 由(1) 可猜想 :an=n(n+1)(nN+). 下面用数学归纳法予以证明: 当 n=1 时, 命题显然成立 . 假设当n=k(k N+)时, 命题成立 ,即有 ak=k(k+1), 则当 n=k+1 时 , 由归纳假设及 (1ka-ak)2=2(ak+1ka), 即21ka-2(k2+k+1)1ka+k(k-1) (k+1)(k+2)=0,解得1ka=(k+1)(k+2)或 ak+1=k(k-1).因为1ka=k(k-1)0, 所以 a1=1. a2-21a=-111aa=-(1+1)=-2,即22a+2a2+1=2. 所以 a2=2-1,a3-31a=-221aa=-12-12-1=-22, 即23a+22a3+2=3, 所以 a3=3-2, 可推测 an=n-1n. (2) 由(1) 知 a1=1, 满足 a1=1-1-1=1, 故当 n=1 时,an=n-1n成立 . 假设 n=k 时 ,ak=k-1k成立 . 当 n=k+1 时,1ka-11ka=-1kkaa=-2k, 即21ka+21kka+k=k+1, 所以1ka=1k-k, 即当 n=k+1 时,an=n-1n. 由知数列an 的通项公式为an=n-1n,n N*. 8. (1) p1=23,p2=2323+1321-3=59. (2) 因为移了n 次后棋子落在上底面顶点的概率为pn, 故落在下底面顶点的概率为1-pn. 于是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载移了 (n+1) 次后棋子落在上底面顶点的概率为1np=23pn+13(1-pn)=13pn+13. 从而1np-12=11-32np. 所以数列1-2np是等比数列 , 其首项为16, 公比为13. 所以 pn-12=16-113n, 即 pn=12+1213n. 用数学归纳法证明: 当 n=1 时, 左式=124-13=35, 右式 =12, 因为3512, 所以不等式成立. 当 n=2 时, 左式 =124-13+154-19=7855, 右式 =43, 因为785543, 所以不等式成立. 假设 n=k(k2)时 , 不等式成立 , 即114-1kiip21kk. 则 n=k+1 时, 左式=114-1kiip+114-1kp21kk+111114-1223k=21kk+11332kk. 要证21kk+11332kk2(1)2kk, 只要证11332kk2(1)2kk-21kk, 只要证11332kk223k13k2kk, 只要证123k213k1k, 只要证 3k+12k2+6k+2.因为 k2,所以 3k+1=3(1+2)k 3(1+2k+42Ck)=6k2+3=2k2+6k+2+2k(2k-3)+12k2+6k+2, 所以21kk+11332kk2(1)2kk. 即 n=k+1 时, 不等式也成立 . 由可知 , 不等式114-1niip21nn对任意的 nN*都成立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -