2022年高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程..抛物线的几何性质对点训练理 .pdf

1 2017 高考数学一轮复习第十章 圆锥曲线与方程 10.3.2 抛物线的几何性质对点训练理1如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是 ( ) A.|BF| 1|AF| 1B.|BF|21|AF|21C.|BF| 1|AF| 1D.|BF|21|AF|21答案A 解析由题可知抛物线的准线方程为x 1. 如图所示， 过A作AA2y轴于点A2，过B作BB2y轴于点B2，则SBCFSACF|BC|AC|BB2|AA2|BF| 1|AF| 1. 2. 已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点若FP4FQ，则|QF| ( ) A.72B3 C.52D2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 答案B 解析如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p|FM| 4. 过Q作QHl于H，则 |QH| |QF|. 由题意，得PHQPMF，则有|HQ|MF|PQ|PF|34， |HQ| 3. |QF| 3. 3已知点A( 2,3) 在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为 ( ) A43B 1 C34D12答案C 解析由点A( 2,3) 在抛物线C：y22px的准线上，得焦点F(2,0) ，kAF32234，故选 C. 4设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、 |FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 ( ) A(0,2) B0,2 C(2，) D2 ，)答案C 解析设圆的半径为r，因为F(0,2) 是圆心，抛物线C的准线方程为y 2，由圆与准线相交知44，所以y02. 故选 C. 5平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B. 若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 答案32解析由题意， 双曲线的渐近线方程为ybax，抛物线的焦点坐标为F0，p2.不妨设点A在第一象限，由ybaxx22py，解得x2pbay2pb2a2或x0y0，故A2pba，2pb2a2. 所以kAF2pb2a2p22pba4b2a24ab. 由已知F为OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF2ba 1，即4b2a24ab3ba 1，整理得b254a2，所以c2a2b294a2，故c32a，即eca32. 6若抛物线y22px的焦点与椭圆x29y251 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_答案x 2 解析c2954，c2. 椭圆x29y251 的右焦点为 (2,0) ，p22，抛物线的准线方程为x2. 7已知A是抛物线y24x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B( 点B在x轴上方 )，若 |AB| 2|AF| ，则点A的坐标为 _答案(3 ， 23) 或13，233解析依题意，若点A位于x轴上方，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足记为A1，则有 |AB| 2|AF| 2|AA1| ，BAA160，直线AF的倾斜角为120. 又点F(1,0) ，因此直线AF：y3(x1) 由y3x1y24xy0得x13y233，此时点A的坐标是13，233. 若点A位于x轴下方，则此时点F(1,0) 是线段AB的中点，又点B的横坐标是1，故点A的横坐标是 231 ( 1) 3，相应的纵坐标是y43323，点A的坐标是 (3， 23) 综上所述，点A的坐标是 (3 ， 23) 或13，233. 8已知ABP的三个顶点都在抛物线C：x24y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF3FM. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 (1) 若|PF| 3，求点M的坐标；(2) 求ABP面积的最大值解(1) 由题意知焦点F(0,1) ，准线方程为y 1. 设P(x0，y0) ，由抛物线定义知|PF| y01，得到y02，所以P(22，2) 或P( 22，2)由PF3FM，分别得M223，23或M223，23. (2) 设直线AB的方程为ykxm，点A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，P(x0，y0) 由ykxm，x24y得x24kx4m0. 于是 16k216m0，x1x24k，x1x24m，所以AB中点M的坐标为 (2k,2k2m) 由PF3FM，得 ( x0,1y0) 3(2k,2k2m1) ，所以x0 6k，y046k23m.由x204y0得k215m415. 由 0，k20，得13m43. 又因为 |AB| 41k22k2m，点F(0,1) 到直线AB的距离为d|m1|1k2. 所以SABP4SABF8|m1|k2m16153m35m2m1. 记f(m) 3m35m2m1 13f43. 所以，当m19时，f(m) 取到最大值256243，此时k5515. 所以，ABP面积的最大值为2565135. 9设点P(x，y)(y0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点( 其中O为坐标原点 ) ，点P到定点M0，12的距离比点P到x轴的距离大12. (1) 求点P的轨迹方程；(2) 若直线l：ykx1 与点P的轨迹相交于A、B两点，且 |AB| 26，求k的值；(3) 设点P的轨迹是曲线C，点Q(1，y0) 是曲线C上的一点，求以Q为切点的曲线C的切线方程解(1) 过P作x轴的垂线且垂足为N，则 |PN| y，由题意可知|PM| |PN| 12，x2y122y12，化简得x22y(y0)，即为所求(2) 设A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，联立ykx1，x22y化简得x22kx20，x1x22k，x1x22，|AB| 1k2x1x224x1x21k24k2826，k43k240，又k20，k21，k1.(3) 因为Q(1 ，y0) 是曲线C上一点， 122y0，y012，切点为1，12，由y12x2，求导得yx，当x1 时，k1. 则切线方程为y12x1，即 2x2y10. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -