2022年2022年离散课后习题答案 .pdf

运关运关nn第十章部分课后习题参考答案4判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1） 整数集合 Z 和普通的减法运算。封闭 ,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2） 非零整数集合普通的除法运算。 不封闭（3） 全体nn 实矩阵集合（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n 2。封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；（4）全体 nn 实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。不封闭（5）正实数集合和算，其中运算定义为：不封闭因为 1 11 1 1 11R（6）n于普通的加法和乘法运算。封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是 0，无零元；乘法无单位元（1），零元 是0；1单位元是 1n（7）A = a1, a2, , a n 算定义如下：封闭 不满足交换律，满足结合律，（8）S = 于普通的加法和乘法运算。封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S = 0,1,S 是关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S = ,S 关于普通的加法和乘法运算。加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。见上题1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 分7设 * 为Z 上的二元运算, x yZ，X * Y = min ( x，y ), 即x和y之中较小的数 . (1) 求4 *6，7 *3。4,3(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3) 求*运算的单位元，零元及Z 中所有可逆元素的逆元。单位元无，零元 1, 所有元素无逆元8SQQ为有理数集， *为S上的二元运算，a,b, S 有Q* = （1）*运算在 S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换： *= *可结合： (*)*=*=*(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？如果有请指出，并求 S中所有可逆元素的逆元 。设是单位元，S ，*= *=则=，解的 =，即为单位。设 是零元，S ，*= *=则=，无解。即无零元。S，设 是它的逆元 *= *=a=1/x,b=-y/x所以当 x0 时，, x1y1 ,y xx10令S=a，b，S 上有四个运算： *，别有表 10.8 确定。2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 为y y ( ( 11(a) (b) (c) (d) (1) 这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满足，零元为 a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元aa, bb(c)满足交换律 ,不满足幂等律 ,不满足结合律ab b) a ab, ab b) (a b) b(a b) ba ba没有单位元 , 没有零元(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元 , 没有零元(2) 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上16设V= N，+ ， ， 其 中+ ， 分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成 V的子代数，为什么？（1）S1=是（2）S2=不是 加法不封闭（3）S3 = -1 ，0，1 不是，加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8. 设S=0，1，2，3，模4乘法，即 x,y S, xy=(xy)mod 4 问S，是否构成群？为什么？解：(1) x,y S, x =(xy)mod 4S, 是S上的代数运算。(2) x,y,z S,设xy=4k+r 0 r3 (x)z =(xy)mod 4)z=rz=(rz)mod 4=(4kz+rz)mod 4=(4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - ( y ( x 1 (3) 同理xyz) =(xyz)mod 4 所以， (x)z = xyz) ，结合律成立。xS, (x 1)=(1 )=x, ，所以 1是单位元。(4) 111, 313, 0和2没有逆元所 以， S，不构成群9. 设Z为整数集合，在 Z上定义二元运算。如下： x,y Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群？为什么？解：(1) x,y Z, xoy= x+y-2Z ,o 是Z上的代数运算。(2) x,y,z Z, (xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。(3) 设e 是单位元，xZ, xo e= ox=x, 即x+ - 2=ee+x-2=x, e=2e(4) xZ , 设x的逆元是 y, xoy= yox= e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，1xy4 x所以Z，o构成群10 10 10 10 11. 设G = , , , ，证明 G 关于矩阵乘法构成一个群00101 01解：(1)x,y G, 易知xyG,乘法是 Z上的代数运算。(2) 矩阵乘法满足结合律(3) 设100 是单位元，1 (4) 每个矩阵的逆元都是自己。所以G 关于矩阵乘法构成一个群14. 设G 为群，且存在 aG,使得 G=akkZ 证明：G 是交换群。4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - eaaabceaae2 2 证明: x,y G ，设xak,yal，则xyakalk laal kalakyx所以， G 是交换群17. 设G 为群，证明 e为G 中唯一的幂等元。证明: 设 e0G也是幂等元，则2e0，即2，由消去律知e0e0e0ee0e18. 设G 为群，a,b,c G,证明abc=bca=cab证明： 先证设 ( abc) ke( bca) ke设(abc) k, 则(abc)(abc)(abc) (abc) e，即( )( ( 1a bca bca) bca)(bca)ae左边同乘1 ，右边同乘得aa( )( )(bcbcbc ) ( a) (bac) k1a eae反过来，设(bac)k, 则(abc) k. 由元素阶的定义知， abc=bca，同理 bca=cab19. 证明：偶数阶群 G 必含2阶元。证明： 设群G不含2阶元，aG ，当e 时，a 是一阶元，当 ae 时，a 至少是 3阶元, 因为群 G 时有限阶的， 所以 是有限阶的， 设 是k阶的, 则aa1 也是k阶的，所以a高于3阶的元成对出现的， G 不含2阶元，G 含唯一的 1阶元 , 这与群 G 是偶数阶的矛e盾。所以，偶数阶群 G 必含2阶元20. 设G 为非Abel 群，证明 G 中存在非单位元 a和b,a b, 且ab=ba. 证明：先证明 G 含至少含 3阶元。若G 只含1阶元, 则G =e,G 为Abel 群矛盾；若G 除了1阶元e外, 其余元均为2阶元，则2aa，1eaa, , 1, 1, () 1, 所以111，a bGaa bbabababab(ba) ba与G 为Abel 群矛盾；所以，G 含至少含一个 3阶元，设为 a ，则a ，且2a aaa。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - , a,b, eabceeabcaaecbbbceaccbaeeNa122bx令2的证。ba21. 设G 是Mn(R) 上的加法群， n2，判断下述子集是否构成子群。（1）全体对称矩阵是子群（2）全体对角矩阵是子群（3）全体行列式大于等于 0的矩阵. 不是子群（4）全体上（下）三角矩阵。是子群22. 设G 为群，a 是G 中给定元素，a 的正规化子 N （a）表示G 中与a可交换的元素构成的集合，即N（a）=xxG xa=ax证明N （a）构成 G 的子群。证明： ea=ae, N(a) , ( ), 则,xyNaaxxaayyaa( xy) ( ax) y( xa) yx(ay) x( ya) ( xy)a, 所以( )xy由 axxa ，得11xaxx1xxax1, 1xaeeax1，即11，所以xa axxN(a) 所以N（a）构成 G 的子群31. 设1 是群G1 到G2 的同态，2 是G2 到G3 的同态，证明1 2 是G1 到G3 的同态。证明：有已知1 是G1 到G2 的函数，2是G2 到G3 的函数，则12 是G1 到G3 的函数。( 12)(ab) 2(1(ab) 2(1(a)1( )( (1(a)( ( 1(b) ( 12)(a)( 12)( ) 所以: 12 是G1 到G3 的同态。33. 证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。证明： 设G是循环群 , 令G =, ,x yG , 令ak, yal, 那么xyakalk lalkaalakyx,G 是阿贝尔群克莱因四元群 , Gec是交换群 , 但不是循环群 , 因为e 是一阶元， a,b,c 是二阶元。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 5 36. 设,是5元置换，且12 3 4 5123 4 5 2 1，4 5 3 3 4 5 1 2(1) 计算, 1,1, 1；(2) 将,1, 1表成不交的轮换之积。(3) 将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。解：(1) 142 3 4 55 3 2 1 142 3 4 3 1 2 511542 3 4 55 1 2 31122 3 4 5 1 5 3 4 112 3 4 5 4 1 3 2 (2)(1425) 1(14253)1(143)(25)(3) (14)(12)(15) 奇置换，1(14)(12)(15)(13)1(14)(13)(25)偶置换奇置换7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -