2022年小学数学奥数基础教程 .pdf

小学数学奥数基础教程 (五年级 )本教程共30 讲分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序， 那么这个表示形式是唯一的。 把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。例如， 60=2235， 1998=23337。例 1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？分析与解 ：正方体的体积是“棱长棱长棱长”，现在已知正方体的体积是 13824厘米3，若能把 13824 写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数：把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（233）（233）（ 233），于是，得到棱长是 233=24 （厘米）。所求表面积是 24246=3456（厘米2）。例 2 学区举行团体操表演，有1430 名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100 至 200 之间，共有几种分法？分析与解 ：按题意，每队人数队数=1430，每队人数在 100 至 200之间，所以问题相当于求1430 有多少个在 100至 200之间的约数。为此，先把 1430 分解质因数，得 1430251113。从这四个质数中选若干个， 使其乘积在 100到 200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。2511=110， 13；2513=130， 11；1113=143，25=10。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页所以共有三种分法，即分成13 队，每队 110 人；分成 11 队，每队130 人；分成 10 队，每队 143 人。例 3 12340 能否被 90909 整除？分析与解 ：首先将 90909分解质因数，得 90909=3371337。因为 33（=27），7，13，37 都在 140中，所以 12340能被 90909 整除。例 4 求 72 有多少个不同的约数。分析与解 ：将 72 分解质因数得到 72=2332。根据 72的约数含有 2和 3 的个数，可将 72 的约数列表如下：上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3 和 32， 第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和 23。对比 72=2332，72 的任何一个约数至多有两个不同质因数：2 和 3。因为 72 有 3 个质因数 2，所以在某一个约数的质因数中，2 可能不出现或出现1 次、出现 2次、出现 3 次，这就有 4 种情况；同理，因为 72 有两个质因数 3，所以 3可能不出现或出现1 次、出现 2 次，共有 3 种情况。根据乘法原理， 72 的不同约数共有 43=12（个）。从例 4 可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法： 一个大于 1 的自然数 N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加 1 的连乘积。例如， 2352=24372，因为 2352的质因数分解式中有4个 2，1 个3，2 个 7，所以 2352 的不同约数有（4+1）（ 1+1）（ 2+1）=30（个）；又如， 9450=233527，所以 9450的不同的约数有（1+1）（ 3+1）（ 2+1）（ 1+1）=48（个）。例 5 试求不大于 50的所有约数个数为6 的自然数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页分析与解 ：这是求一个数的约数个数的逆问题，因此解题方法正好与例 4 相反。因为这个数有六个约数， 6=5+1= （2+1）（1+1），所以，当这个数只有一个质因数 a 时，这个数是 a5；当这个数有两个质因数a 和 b 时，这个数是 a2b。因为这个数不大于50，所以对于 a5，只有 a=2，即 25=32；对于 a2b，经试算得到， 223=12，225=20，227=28，2211=44，322=18，325=45，522=50。所以满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，50。练习 11 1. 一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209 分米2，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方分米？2. 爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4 年前他们的年龄都是质数。爷孙两人今年的年龄各是多少岁？3. 某车间有 216 个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5 至 20之间，那么有多少种分法？4. 小英参加小学数学竞赛， 她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得的名次乘起来是 3916，满分是 100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？5. 举例回答下面各问题：（1）两个质数的和仍是质数吗？（2）两个质数的积能是质数吗？（3）两个合数的和仍是合数吗？（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？6. 求不大于 100 的约数最多的自然数。7. 同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是不超过 10 的自然数。甲、乙两同学各射5 箭，每人得到的总环数之积刚好都是 1764，但是甲的总环数比乙少4 环。求甲、乙各自的总环数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页练习 111.374 分米3提示：长方体正面和上面的面积和是：长高 +长宽=长（高 +宽）=209=1119=11（2+7），所求体积为 11217=374（分米3）。2.9 岁，77 岁。提示：693=32711，因为爷孙的岁数都大于4 岁，693 分解成两个大于 4 的约数的乘积，有693=799=977=1163=2133，相乘的两个约数减4 都是质数的有 977 和 2133，但爷孙的年龄不可能是 21 岁和 33 岁，所以是 9 岁和 77 岁。3.5 种。提示：216=2333，216的介于 5 与 20 之间的约数有 6，8，9，12 和18 五个。4.11 岁，87 分，第四名。提示： 3916=221189，小英的年龄应在712 岁。5. （1）不一定；（ 2）不能；（ 3）不一定；（4）不一定；（ 5）不一定。6.72 ，60，84，90。提示：只有一个质因数时，约数最多的是26=64，有 7 个约数；有两个质因数时，约数最多的是2332=72，有 12 个约数；有三个质因数时，约数最多的是 2235=60，2237=84，2325=90，各有 12 个约数。7.甲 24环，乙 28 环。解：因为环数之积都是 1764，说明他们的环数中没有0 环和 10 环，环数都是 1764 的大于 0 小于 10 的约数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页1764=223377。五箭的环数可能的情况有：（1）1，22，33，7，7 即 1，4，9，7，7 环，和是 28；（2）1，23，23，7，7 即 1，6，6，7，7 环，和是 27；（3）2，2，33，7，7 即 2，2，9，9，7 环，和是 27；（4）2，3，23，7，7 即 2，3，6，7，7 环，和是 25；（5）22，3，3，7，7 即 4，3，3，7，7 环，和是 24。已知甲比乙的总环数少4 环，所以甲总环数是24，乙总环数是 28。五年级数学教学计划一、指导思想义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。二、班级学生情况分析全班共有学生9 人，大部分学生对数学有上进心，但接受能力还有待提高，学习态度还需不断端正。有部分学生自觉性不够，不能及时完成作业等，对于学习数学有一定困难。所以在新的学期里，在端正学生学习态度的同时，应加强培养他们的各种学习数学的能力，以提高成绩。三、教材分析本册教材包括下面一些内容：图形的变换，因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计，数学广角和综合应用等。因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计等是本册的重点教学内容。1 “简单的统计” ：通过学生比较熟悉的具体事例，介绍一些简单的收集和整理数据的方法，认识和制作一些简单的统计表和统计图，初步知道统计工作的意义和作用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页2长方体和正方体：长方体和正方体是最基本的立体几何图形的基础。另外，长方体和正方体体积的计算， 也是学生形成体积的概念，掌握体积的计量单位和计算各种几何形体体积的基础。3因数和倍数：由于目前在实际教学中奎逊耐彩条的运用并不是很广泛，根据教学反馈的情况来看， 用图解的方式也完全可以使学生理解分解质因数的原理，奎逊耐彩条在此的作用并不十分显著。 因此，此次修订把利用奎逊耐彩条来分解质因数的有关内容删去了。但是在讲因数、倍数、 最大公因数等内容时，仍保留奎逊耐彩条的形式，帮助学生借助直观进行理解。四、教学目标1、能从现实生活中发现并提出简单的数学问题。2、能探索出解决问题的有效方法、并试图寻找其他方法。3、能借助计算器解决问题。4、在解决问题的活动中，初步学会与他人合作。5、能表达解决问题的过程，并尝试解释所得的结果。6、具有回顾与分析解决问题过程的意识。四、教学措施教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者。教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材， 设计适合学生发展的教学过程。要关注学生的个体差异，使每一个学生都有成功的学习体验，得到相应的发展；要因地制宜、 合理有效地使用现代化教学手段，提高教学效益。（一）让学生在现实情境中体验和理解数学（二）鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合作交流数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性与挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。（三）加强估算，鼓励解决问题策略的多样化估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用，培养学生的估算意识，发展学生的估算能力，让学生拥有良好的数感，具有重要的价值。（四）重视培养学生应用数学的意识和能力本学段学生的知识、能力、 情感和态度与第一学段的学生相比都有了进一步的发展，教师应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。综合应用是培养学生主动探索与合作学习的重要途径，教师精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页可以通过下面案例的教学过程，培养学生应用数学的意识和综合运用所学知识解决问题的能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页