2022年必修4-第2章--平面向量典型例题及练习 .pdf

第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念【知识点归纳】1.平面向量的概念：2.向量的表示：常见的2 个向量3.相等向量与共线向量：【典型例题】题型一向量的基本概念例 1.给出以下命题：向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上；两个单位向量是相等向量；假设 a=b, b=c, 则 a=c；假设一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；假设 |a|=|b|,则 a=b。假设 a 与 b 共线 , b 与 c 共线 ,则 a 与 c 共线其中正确命题的个数是A1 个B 2个C3 个D4 个例 2 以下命题正确的有a 与 b 共线， b 与 c 共线，则a 与 c 也共线任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点向量 a 与不共线，则a 与都是非零向量有相同起点的两个非零向量不平行题型二向量的表示例 3.一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达 B 点 , 然后又改变方向,向西偏北45 走了 200km 到达 C 点, 最后又改变方向,向东行驶了100km 到达 D 点. (1)作出向量AB,BC,CD;(2)求AD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页QPDCBA题型三相等向量与共线向量例 4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量OA，OB，OC相等的向量，共线的向量。题型四利用向量解决多点共线的问题例 5.如图，四边形ABCD 中，ABDC，P,Q 是 AD ，BC 上的点，且BPQD,求证：APQC综合练习：1. 以下命题中，正确的选项是A. 假设 |a|=|b|，则 a=bB. 假设 a=b,则 a 与 b 是平行向量C. 假设 |a|b|,则 abD. 假设 a 与 b 不相等，则向量a 与 b是不共线向量2.以下说法中错误的选项是A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是4.已知非零向量ab,假设非零向量ca,则 c 与 b 关系是. 5.已知 a、 b 是两非零向量 ,且 a 与 b 不共线 ,假设非零向量c 与 a 共线 ,则 c 与 b 必定. 6.判定以下命题的正误：零向量是惟一没有方向的向量。平面内的单位向量只有一个。方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。向量 a 与 b 是共线向量， bC,则 a 与 c 是方向相同的向量。( ) 相等的向量一定是共线向量。( ) 7. 以下四个命题中，正确命题的个数是共线向量是在同一条直线上的向量假设两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 假设四边形ABCD 是平行四边形，则AB与CD，BC与AD分别共线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法2.2.2 向量的减法2.2.3 向量的数乘【知识点归纳】1.向量的加法：2.向量加法的平行四边形法则：3.向量的加法的运算率：4.向量的减法：5.向量减法的平行四边形法则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页6.向量数乘的概念：7.向量的数乘的性质：8.向量共线的条件：9.向量的线性运算10.向量证明三点共线：三角形的中线与重心公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页FEDCBA【典型例题】题型一向量的加减法例 1.下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是A.ABBCCAB.OAOCBOCOC.ABACBDCDD.NQQPMNMP例 2如下图， D、E、F 分别是 ABC 的边 AB、BC、CA 的中点 , 则DBAF( ) A.FDB.FCC.FED.BE题型二向量的作图例 3 已知在矩形ABCD 中，宽为2，长为2 3,ABa,BCb,ACc,试作出向量a+b+c，并求出其模的大小例 4.已知向量a、b、c、 d，求作向量a b、c d题型三用已知向量表示未知向量例 5.如下图， OADB 是以向量OA=a，OB=b为边的平行四边形，又 BM=31BC，CN=31CD试用a，b表示OM，ON，MN变式：设D、 E、F 分别为 ABC 的边 BC、 CA、 AB 的中点，且BC a，CA b，给出以下命题： AB12abBE a12bCF12a12bADBECF 0.其中正确的命题个数为A.1 B.2 C.3 D.4 O A D B C M N精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页题型四向量的加减法综合运用例 6.设两个非零向量1e、2e不是平行向量 1如果AB=1e+2e，BC=21e+82e，CD=3(21ee)，求证 A、 B、D 三点共线； 2试确定实数k的值，使k1e+2e和1e+k2e是两个平行向量例 7.已知 O 是ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点 ,假设AB=a, BC=b, OD=c,试证明 :c+a-b=OB. 综合练习：1.以下命题正确的有单位向量都相等长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量假设 a，b 满足 |a|b|且 a 与 b 同向，则 ab对于任意向量a、b,必有 |a+b| |a|+|b| 2. 以下四个命题中不正确的有假设 a 为任意非零向量，则a0| a+b|=|a|+|b|a=b， 则|a|=|b|，反之不成立任一非零向量的方向都是惟一的3.已知4| ,6|ACAB，则|BC的取值范围为4. 设AB+CD+BC+DA= a,b0,则在以下结论中，正确的有ab; a+b=a; a+b=b; a+ba+b5.化简ABBCCDDA6.如图，在四边形ABCD 中,根据图示填空 :a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页2.3 平面向量2.3.1 平面向量基本定理【知识点归纳】1.平面向量的基本定理：2.向量的夹角：【典型例题】题型一基底的判定例 1.设 e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有 a = e1+ e2( 、 R) D.假设 e1、 e2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有 a = e1+ue2( 、uR) 题型二用基底表示向量例 2. 已知a=-e1+3e2，b= 4e1+2e2，其中e1，e2不共线，向量c=-3e1+12e2，用试用a，b 作为基底来表示 c题型三向量的夹角例 3.已知两个非零向量a，b 的夹角为80，求以下向量的夹角： 1a 与-b 22a 与 3b练习：1.已知向量a = e1-2e2， b =2e1+e2，其中 e1、e2不共线，则a+b 与 c =6e1-2e2的关系A.不共线B.共线C.相等D.无法确定2.已知向量e1、e2不共线，实数x、y 满足 (3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则 x-y的值等于 ( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 3.已知 a、b 不共线，且c =1a+2b(1，2R)，假设 c 与 b 共线，则1= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量的共线的坐标表示【知识点归纳】1.平面向量的正交分解：2.平面向量的坐标表示：3.平面向量的坐标运算：4.平面向量共线的表示：5.三点共线：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页【典型例题】题型一求向量的坐标例 1.已知点 A2，2B-2，2C4，6D-5，6E-2，-2F-5，-6在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐标。题型二平面向量的坐标运算例 2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标 . 例 3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B( 1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点. 例 4 已知三个力1F(3， 4)，2F(2，5)，3F(x， y)的合力1F+2F+3F=0，求3F的坐标 . 练习：1假设 M(3 ， -2) N(-5， -1) 且21MPMN，求 P 点的坐标2假设 A(0， 1) ， B(1 ， 2) ， C(3 ， 4) ， 则AB2BC= .3、以下各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是A(0,0),(1,2)abB(1,2),(5,7)abC(3,5)(6,10)abD(2,3)(4,6)ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页4已知(3,2)a，(0,1)b，则24ab等于A)8,6(B)6,3(C)8,6(D)8,6(5已知平面向量)2, 1(a，),(nmb，且 2ba，则ba32等于A)4,2(B)6,3(C)10,5(D)8,4(6. 已知(2,3)a，( 1,2)b，假设kab与akb平行，则k等于 A. 1 B. -1 C.1 或-1 D.27.已知)2, 5(a，)2,7(a，则43ab的坐标为 _. 8 . 已知(2,4)a，( 1,3)b，(6,5)c，2pabc，则以a，b为基底，求p. 题型三向量共线的证明及判定例 5.已知 A(-1 ， -1)， B(1，3)， C(1， 5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB 与平行于直线 CD 吗？题型四向量共线求参数例 6 已知(4, 2)a，(6,)by，且/ab，求y练习：1. 假设向量a=(-1 ， x) 与b=(-x ， 2) 共线且方向相同，则x 为_. 2. 设3(,sin)2a，1(cos,)3b，(0,2)，且/ab，求角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页题型五三点共线例 2: 已知( 1, 1)A，(1,3)B，(2,5)C，求证A、B、C三点共线例 3:设点 P 是线段 P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2的中点时，求点P 的坐标；(2) 当点 P 是线段 P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标 . 练习：1.假设a=(2， 3)，b=(4，-1+y)，且ab，则 y=A.6 B.5 C.7 D.8 2.假设 A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.假设AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中 i、 j 的方向分别与x、y 轴正方向相同且为单位向量). AB与DC共线，则x、y 的值可能分别为A.1， 2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4， 2)，b=(6，y)，且ab，则 y= . 5.已知a=(1， 2)，b=(x， 1)，假设a+2b与 2a-b平行，则x 的值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义【知识点归纳】1.平面向量的数量级的概念：2.平面向量数量积的几何意义：3.向量数量积的性质：【典型例题】题型一平面向量数量积的基本概念例 1. 给出以下命题：假设|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b ；|a b|=|a|b|；ab=0a=0或 b=0；假设 ab且 bc，则 ac。其中正确命题的个数是( ) A0 B1 C2 D 3 题型二求向量的投影和数量积例 2.已知 |a|=5， |b|=4，a与b的夹角 =120o，求ab. 练习： 1. 已知 a=(1，-2) ，b=(3 ，4)，则 a 在 b 方向上的投影是_ 2.已知a，b，当ab，ab，a与b的夹角是60 时，分别求ab. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页题型三求向量的模例 3.已知 |a|=6， |b|=4，a与b的夹角为60o求(a+2b) (a-3b) 练习：1.已知 |a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为3，那么向量m=a-4b的模为A.2 B.23C.6 D.12 2.已知 |a|=1，|b|=2， (1)假设ab， 求ab； (2)假设a、b的夹角为 ， 求|a+b|； (3)假设a-b与a垂直，求a与b的夹角 . 题型四向量垂直的判定例 4.已知 |a|=3， |b|=4， 且a与b不共线， k 为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直 . 题型五求向量的夹角的余弦值例 5.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为，求向量a=2m+n与b=2n-3m 的夹角 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【知识点归纳】1.平面向量的数量积的坐标表示2.平面向量的模的坐标表示3.平面向量的夹角的坐标表示平行，垂直【典型例题】题型一向量数量积的坐标运算例 1.a=(5,-7),b=(-6,-4) ，求 a 与 b 的 数量积为 _ 例 2.已知 |a|=2 ，|b|=1 ，a与b之间的夹角为3，那么向量m=a-4b的模为A.2 B.23 C.6 D.12 题型二向量的夹角坐标运算例 3.设 a=(2,1),b=(1,3), 求 a b 及 a 与 b 的夹角例 4. 已知向量a=(-2,-1),b=(,1) 假设 a 与 b 的夹角为钝角,则取值范围是多少? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页13563654 3(,)5 54355（），433C.5554（ ，）或（-，）54 33)(,)5 554（， 或 -5题型三向量的垂直例 5. 已知 |a|=1 ，|b|=2，且 (a-b) 与a垂直，则a与b的夹角是A.60 B.30 C.135 D.例 6. 已知，(1,2),(3,2)ab，当 k 为何值时，13kabab与垂直？练习：1. 已知( 4,3),(5,6)ab则23 a4a b=A.23 B.57 C.63 D.83 2. 已知a 3,4 ,b=5,12则a b与夹角的余弦为A. B.65 C. D.133.a= 2,3 ,b=(2,4),则a+ba-b =_。4. 已知a= 2,1 ,b=3ab， 且则_。5.a=(4,7);b=(5,2)则a b=_ a =_ 2a3ba+2b =_ 6. 与a= 3,4垂直的单位向量是_ A. B. D. 7.a=(2,3),b=(-3,5)则ab在方向上的投影为_ 8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ABC为( ) A. 直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.不等边三角形9. 已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为A.正方形B.菱形C.梯形D. 矩形10. 已知点 A1，2 ，B(4,-1),问在 y 轴上找点C，使 ABC 90o假设不能，说明理由；假设能，求C坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页2.5 平面向量应用举例【知识点归纳】1向量的在几何中的运用：【典型例题】例 1证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形ABCD 求证：222222ACBDABBCCDDA变式训练：ABC中，D、E、F 分别是 AB 、 BC、CA 的中点， BF 与 CD 交于点 O，设,.ABa ACb1证明 A、O、E 三点共线；2用, .a b表示向量AO。例 2.求等腰直角三角形两腰上的中线所构成的钝角的余弦值. 变式：已知060, 3,2CbaABC中，求边长c。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页